淮安市选修一第二单元《直线和圆的方程》测试卷(答案解析)

一、选择题
1．下列命题中，正确的是（ ）
A ．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大
B ．若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α
C ．若直线倾斜角2,43ππα⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦
，则斜率k 的取值范围是(,[1,)-∞⋃+∞ D ．当直线的倾斜角2,43ππα⎡⎤
∈⎢
⎥⎣
⎦时，直线的斜率在这个区间上单调递增. 2．1m =-是直线(21)10mx m y +-+=和直线390x my ++=垂直的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
3．设点(1,2),(2,3)A B -，若直线10ax y ++=与线段AB 有交点，则a 的取值范围是
（ ） A ．[3,2]- B ．[2,3]-
C ．(,2][3,)
-∞-⋃+∞
D ．(,3][2,)-∞-⋃+∞
4．若圆222(3)(5)x y r -+-=上有且只有四个点到直线432x y +=的距离等于1，则半径r 的取值范围是（ ） A ．(4,6)
B ．[4,6]
C ．(,4)-∞
D ．(6,)+∞
5．已知圆M ：22(1)(2)5x y -+-=和点(3,5)P ，过点P 做圆M 的切线，切点分别为
A 、
B ，则下列命题：①4PA PB k k ⋅=-；②PA =；③AB 所在直线方程为：
23130x y +-=；④PAB △外接圆的方程为2247130x y x y +--+=．其中真命题的
个数为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
6．若圆22:60,(0,0)M x y ax by ab a b +++--=>>平分圆
22:4240N x y x y +--+=的周长，则2a b +的最小值为（ ）
A ．8
B ．9
C ．16
D ．20
7．圆C ：x 2＋y 2－6x －8y ＋9＝0被直线l ：ax ＋y －1－2a ＝0截得的弦长取得最小值时，此
时a 的值为（ ） A ．3
B ．－3
C ．
1
3
D ．－
13
8．已知0a >，0b >，直线1l ：()410x a y +-+=，2l ：220bx y +-=，且12l l ⊥，则
11
12a b
++的最小值为（ ） A ．2
B ．4
C ．
23
D ．
45
9．两圆交于点(1,3)A 和(,1)B m ，两圆的圆心都在直线02
c
x y -+=上， 则m c += . A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
10．若过点(2,1)P 的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y -+=的距离是（ ）
A B C D 11．已知直线1l ：(4)10kx k y +-+=与2l ：2230kx y -+=平行，则k 的值是（ ） A ．1或0
B ．5
C ．0或5
D ．1或5
12．设点()0,1M x ，若在圆22:1O x y +=上存在点N ，使得45OMN ︒∠=，则0x 的取值范围是（ ）
A ．[0,1]
B ．[1,1]-
C ．22⎡-
⎢⎣⎦
D ．2⎡⎢⎣⎦
二、填空题
13．直线:20l mx y m --+=与圆22:6O x y +=交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则
AOB 面积的最大值为__________.
14．已知圆C ：224x y +=，直线l ：(0)x y m m +=>，圆C 上恰有两个点到直线l 的距离为1.则m 的取值范围是_____________.
15．已知直线y x b =+与曲线x =恰有两个交点，则实数b 的取值范围为______. 16．当直线:(21)(1)740()l m x m y m m R +++--=∈被圆22:(1)(2)25C x y -+-=截得的弦最短时，m 的值为____________.
17．过点()10,10-且在x 轴上的截距是在y 轴上截距的4倍的直线的方程为_____________.
18．直线l 过点()2,3P -且与x 轴、y 轴分别交于,A B 两点，若P 恰为线段AB 的中点，则直线l 的方程为_________．
19．已知定点A 到动直线l ：(
)2
21420+---=mx m y m （m R ∈）的距离为一常数，
则定点A 的坐标为________．
20．过点()5,0P -作直线()()()121430m x m y m m R +-+--=∈的垂线，垂足为
M ，已知点()3,11N ，则MN 的取值范围是______. 三、解答题
21．已知直线l 经过点(2,5)P -，l 的一个方向向量为(4,3)d =-. （1）求直线l 的方程；
（2）若直线m 与l 平行，且点P 到直线m 的距离为3，求直线m 的方程. 22．已知圆C ：()()2
2
344x y +++=，直线l 过定点()1,0A -.
（1）若l 与圆相切，求l 的方程；
（2）若l 与圆相交于PQ 两点，PQ 线段中点为M ，又l 与0l ：220x y +-=交点为
N ，求证：AM AN ⋅为定值.
23．已知直线方程为()()221340m x m y m -++++=，其中m R ∈. （1）当m 变化时，求点()3,4Q 到直线的距离的最大值；
（2）若直线分别与x 轴、y 轴的负半轴交于A ，B 两点，求AOB 面积的最小值及此时的直线方程.
24．已知直线l ：43100x y ++=，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线
l 的右上方.
（1）求圆C 的方程；
（2）直线4y kx =-与圆C 交于不同的M ，N 两点，且120MCN ∠=︒，求直线l 的斜
率；
（3）过点()1,0M 的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分ANB ∠？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.
25．已知点E 与两个定点1,0A ，()4,0B 的距离的比为12
. （1）记点E 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的轨迹方程.
（2）过点()2,3G 作两条与曲线C 相切的直线，切点分别为M ，N ，求直线MN 的方程. （3）若与直线1:22l y x =-垂直的直线l 与曲线C 交于不同的两点P ，Q ，若POQ ∠为钝角，求直线l 在y 轴上的截距的取值范围.
26．已知正方形的一条边AB 所在直线为310--=x y ，正方形的中心为()0,1R .
求:（1）该正方形的面积;
（2）该正方形的两条对角线所在直线的一般式方程.
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一、选择题 1．C
【分析】
根据直线斜率与倾斜角存在的关系tan k α=对每个选项逐一分析，需要注意直线有倾斜角但不一定有斜率. 【详解】
倾斜角的范围为0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
时，直线斜率0k >，倾斜角的范围为,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，直线斜率
0k <，故A 错误；直线的倾斜角=
2
πα时，直线斜率不存在，故B 错误；直线倾斜角
2
,43ππα⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，则斜率tan k α=的范围为(,[1,)-∞⋃+∞，故C 正确；斜率
tan k α=在,42ππ⎡⎫⎪⎢
⎣⎭和2,23
ππ⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
上单调递增，故D 错误. 故选：C. 【点睛】
关于直线的倾斜角与直线斜率之间的关系需要注意： （1）当直线倾斜角为=2
π
α时，直线的斜率不存在；
（2）倾斜角的范围为0,2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
时，直线斜率0k >，直线斜率随着倾斜角增大而增大；倾斜角的范围为,2ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
时，直线斜率0k <，直线斜率随着倾斜角增大而增大； （3）利用倾斜角的范围研究斜率的范围，或者利用斜率的范围研究倾斜角的范围，需要利用函数tan k α=分析定义域与值域的关系.
2．A
解析：A 【分析】
因为直线(21)10mx m y +-+=和直线390x my ++=垂直，所以0m =或1m =-，再根据充分必要条件的定义判断得解. 【详解】
因为直线(21)10mx m y +-+=和直线390x my ++=垂直， 所以2
3(21)0,220,0m m m m m m ⨯+-⨯=∴+=∴=或1m =-. 当1m =-时，直线(21)10mx m y +-+=和直线390x my ++=垂直； 当直线(21)10mx m y +-+=和直线390x my ++=垂直时，1m =-不一定成立. 所以1m =-是直线()2110mx m y +-+=和直线390x my ++=垂直的充分不必要条件， 故选：A ．
方法点睛：充分必要条件的常用的判断方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法.要根据已知条件选择合适的方法求解.
3．D
解析：D 【分析】
求出线段AB 的方程，列方程组求得直线与线段交点坐标（横坐标），由21x -≤≤可求得a 的范围． 【详解】
321213
AB k -=
=---，∴AB 方程为1
2(1)3y x -=--，即370x y +-=，
由10370ax y x y ++=⎧⎨+-=⎩
，解得10
13x a =-，（显然310a -≠），
由10
2113a -≤
≤-解得3a ≤-或2a ≥． 故选：D ． 【点睛】
方法点睛：本题考查直线与线段有公共点问题，解题方法有两种：
（1）求出直线AB 方程，由直线AB 方程知直线方程联立方程组求得交点坐标（只要求得横坐标），然后由横坐标在已知两个点的横坐标之间列不等式解之可得；
（2）求出直线过定点P ，再求出定点P 与线段两端点连线斜率，结合图形可得直线斜率范围，从而得出参数范围．
4．D
解析：D 【分析】
首先求圆心到直线的距离d ，再根据条件，列式1d +和半径r 比较大小，求r 的取值范围. 【详解】
圆心()3,5到直线432x y +=的距离5d =
=，
若圆上有四个点到直线432x y +=的距离等于1，则51r >+，即6r >. 故选：D 【点睛】
思路点睛：本题考查直线与圆的位置关系，与直线432x y +=距离为1的两条直线与圆有4个交点，根据点到直线的距离，建立不等式求解.
5．D
解析：D 【分析】
设出斜率k ，得出切线方程，利用相切可得2+2440k k -=，即可得出4PA PB k k ⋅=-，判断①
；由PA =
②；可得,,,P A B M 四点共圆，圆心为PM 中
点，即72,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
，半径为2PM =
④；两圆相减可得直线AB 方程，判断③. 【详解】
可知切线的斜率存在，设斜率为k ，则切线方程为53y k x ，即
350kx y k ，
=2+2440k k -=，
可得,PA PB k k 是该方程的两个根，故4PA PB k k ⋅=-，故①正确； 又
PM =
=PA MA ⊥
，PA ∴==故②正确；
,PA MA PB MB ⊥⊥，,,,P A B M ∴四点共圆，且圆心为PM 中点，即72,2⎛⎫
⎪⎝⎭
，半径
为
2PM =
故PAB △外接圆的方程为2
2
7
13(2)()2
4
x y -+-=，即22
47130x y x y +--+=，故④正确；
将两圆方程相减可得23130x y +-=，即直线AB 方程，故③正确. 故选：D. 【点睛】
本题考查过圆外一点作圆的切线问题，解题的关键是利用相切关系得出圆心到直线的距离为半径，且,,,P A B M 四点共圆.
6．A
解析：A 【分析】
由两圆的相交弦是圆N 的直径得出,a b 的关系，然后由基本不等式求得最小值． 【详解】
两圆方程相减得，(4)(2)100a x b y ab +++--=，此为相交弦所在直线方程， 圆N 的标准方程是22(2)(1)1x y -+-=，圆心为(2,1)N ， ∴2(4)2100a b ab +++--=，12
1a b
+=， ∵0,0a b >>，
∴12442(2)()4428b a b a
a b a b a b a b a b
+=++=+
+≥+⨯=，当且仅当4b a a b =即2,4a b ==时等号成立．
故选：A ． 【点睛】
本题考查圆的方程，考查基本不等式求最值．圆的性质：（1）圆的直径平分圆；（2）相交两圆方程相减所得一次方程是两圆公共弦所在直线方程．
7．C
解析：C 【分析】
先判断直线l 恒过点(2,1)P ，可得直线l 垂直于直线PC 时，截得的弦长最短，利用直线垂直的性质可得答案. 【详解】
直线:120+--=l ax y a 可化为:(2)(1)0-+-=l a x y ， 故直线l 恒过点(2,1)P .
圆2
2
:6890+--+=C x y x y 的圆心为(3,4)C ，半径为4. 当直线l 垂直于直线PC 时，截得的弦长最短， 因为直线PC 的斜率41
332PC k -=
=-， ax ＋y －1－2a ＝0的斜率为a -， 此时1313
PC l k k a a ⋅=-=-⇒=.
故选：C . 【点睛】
方法点睛：判断直线过定点主要形式有： （1）斜截式，0y kx y =+，直线过定点()00,y ； （2）点斜式()00,y y k x x -=-直线过定点()00,x y ；
（3）化为()(),,0tf x y g x y +=的形式，根据()(),0
,0f x y g x y ⎧=⎪⎨
=⎪⎩
求解. 8．D
解析：D 【分析】
根据12l l ⊥得到125a b ++=，再将11
12a b
++化为积为定值的形式后，利用基本不等式可求得结果. 【详解】
因为12l l ⊥，所以240b a +-=，即125a b ++=，
因为0,0a b >>，所以10,20a b +>>， 所以
11
12a b ++=1112a b ⎛⎫+ ⎪
+⎝⎭()1125a b ⨯++1212512b a a b +⎛⎫=++ ⎪+⎝⎭
14255⎛≥+= ⎝， 当且仅当35
,24
a b ==时，等号成立. 故选：D 【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
9．C
解析：C 【分析】
由两圆相交且圆心都在直线02c x y -+=上可知线段AB 中点在02
c
x y -+=上，代入中点坐标整理即可. 【详解】
由题意可知：线段AB 的中点1,22m +⎛⎫
⎪⎝⎭
在直线02c x y -+=上
代入得：
12022
m c
+-+= 整理可得：3m c += 本题正确选项：C 【点睛】
本题考查两圆相交时相交弦与圆心连线之间的关系，属于基础题.
10．C
解析：C 【分析】
由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为(),,0a a a >，可得圆的半径为a ，写出圆的标准方程，利用点()2,1在圆上，求得实数a 的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线230x y -+=的距离.
【详解】
由于圆上的点()2,1在第一象限，若圆心不在第一象限，
则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限， 设圆心的坐标为
(),a a ，则圆的半径为a ，
圆的标准方程为()()2
2
2x a y a a -+-=. 由题意可得()()2
2
221a a a -+-=， 可得2650a a -+=，解得1a =或5a =， 所以圆心的坐标为()1,1或()5,5，
圆心()1,1到直线230x y -+=的距离均为1d =
=
圆心()5,5到直线230x y -+=的距离均为2d ==
圆心到直线230x y -+=的距离均为5
d ==
；
所以，圆心到直线230x y -+=. 故选：C. 【点睛】
关键点点睛：本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的圆心是解题的关键，考查计算能力.
11．C
解析：C 【分析】
由两直线平行得出()224k k k -=-，解出k 的值，然后代入两直线方程进行验证. 【详解】 解:
直线1l ：(4)10kx k y +-+=与2l ：2230kx y -+=平行，
()224k k k ∴-=-，整理得()50k k -=，解得0k =或5.
当0k =时，直线11:4
l y =-
，23
:2l y =，两直线平行；
当5k =时，直线1:510l x y -+=，23
:502
l x y -+=，两直线平行. 因此，0k =或5. 故选:C. 【点睛】
方法点睛:本题考查直线的一般方程与平行关系，在求出参数后还应代入两直线方程进行验
证.
(1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ⇔=≠; ②12121l l k k ⊥⇔=-.
(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A1、A2、B1、B2都不为零, ①111
12222
||A B C l l A B C ⇔
=≠； ②2112210A A l B B l +⇔=⊥；
12．B
解析：B 【分析】
首先根据题中条件，可以判断出直线MN 与圆O 有公共点即可，从而可以断定圆心O 到直线MN 的距离小于等于半径，列出对应的不等关系式，求得结果. 【详解】
依题意，直线MN 与圆O 有公共点即可， 即圆心O 到直线MN 的距离小于等于1即可，
过O 作OA ⊥MN ，垂足为A ， 在Rt OMA ∆中，因为OMA ∠045=， 故02
sin 452
OA OM ==1≤， 所以2OM ≤2012x +≤，
解得011x -≤≤．
故选：B. 【点睛】
该题考查的是有关直线与圆的问题，涉及到的知识点有直线与圆的位置关系，解直角三角形，属于简单题目.
二、填空题
13．3【分析】设出圆心到直线的距离为利用几何法求出表示出面积再利用二次函数的性质即可求出【详解】可得直线的定点在圆内则设圆心到直线的距离为
则当即即时取得最大值为3故答案为：3【点睛】关键点睛：本题考查圆
解析：3 【分析】
设出圆心O 到直线的距离为d ，利用几何法求出AB ，表示出面积，再利用二次函数的性质即可求出. 【详解】
可得直线:20l mx y m --+=的定点()1,2在圆内，则m R ∈ 设圆心O 到直线的距离为d
，则d =
AB =，
∴
1
2
AOB
S
AB d d =⨯⨯=== 当23d =，即
()2
2
231
m m -=
+，即m =
时，AOB
S 取得最大值为3.
故答案为：3. 【点睛】
关键点睛：本题考查圆内三角形面积的最值问题，解题的关键是利用几何法求出AB ，表示出三角形面积，利用二次函数性质求解.
14．【分析】根据圆的几何性质结合点到直线距离公式进行求解即可【详解】圆C ：的半径为2圆心坐标为：设圆心到直线l ：的距离为要想圆C 上恰有两个点到直线l 的距离为1
只需即而所以故答案为：【点睛】关键点睛：利用
解析：
【分析】
根据圆的几何性质，结合点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】
圆C ：2
2
4x y +=的半径为2，圆心坐标为：(0,0) 设圆心(0,0)到直线l ：x y m +=的距离为d ，
要想圆C 上恰有两个点到直线l 的距离为1，只需112d <<+，
即13m <
<⇒<< 0
m >
m <<
.
故答案为： 【点睛】
关键点睛：利用圆的性质转化为点到直线的距离是解题的关键.
15．【分析】由曲线方程可知其曲线为半圆进而画出曲线来要使直线与曲线恰有两个交点可以通过数形结合分析得解【详解】曲线有即表示一个半圆（单位圆左半部分）如图当直线经过点点时求得；当直线和半圆相切时由圆心到直
解析：)
1,2⎡⎣
【分析】
由曲线方程可知其曲线为半圆，进而画出曲线来，要使直线与曲线恰有两个交点，可以通过数形结合分析得解. 【详解】
曲线2x 1y =--有即22
1x y +=(0)x ，表示一个半圆（单位圆左半部分）．
如图，(0,1)A 、(1,0)B -、(0,1)C -，
当直线y x b =+经过点B 、点A 时，01b =-+，求得1b =； 当直线y x b =+和半圆相切时，由圆心到直线的距离等于半径，可得12
=
，求得
2b =，或2b =-（舍去），
故要求的实数b 的范围为12b <， 故答案为：)
1,2⎡⎣
【点睛】
易错点睛：本题在把方程2x 1y =--化简找其对应的曲线时，容易漏掉0x ≤，从而把曲线的范围扩大为整个单位圆，导致结果出错.在把方程转化时，一定要注意变量范围的等价性.
16．【分析】先求得直线过定点分析可知当直线与CM 垂直时直线被圆截得的弦长最短进而利用斜率的关系即可求得m 的值【详解】直线的方程可化为所以直线会经过定点解得定点坐标为圆C 圆心坐标为当直线与CM 垂直时直线被
解析：34
-
【分析】
先求得直线过定点()3,1M ，分析可知当直线l 与CM 垂直时，直线被圆截得的弦长最短 ，进而利用斜率的关系即可求得m 的值．
直线l 的方程可化为()2740x y m x y +-++-= 所以直线l 会经过定点270
40
x y x y +-=⎧⎨
+-=⎩，解得定点坐标为()3,1M ，圆C 圆心坐标为()1,2
当直线l 与CM 垂直时，直线被圆截得的弦长最短
211132CM k -=
=-- ，21
1
l m k m +=-+ 所以121121CM l m k k m +⎛⎫⎛⎫
⨯=-⨯-=- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭
，解方程得34m =- 【点睛】
本题考查了直线与圆的位置关系，根据斜率关系求得参数的值，属于基础题．
17．或【分析】分类讨论：直线过坐标原点直线不过坐标原点再根据截距的关系求解出直线的方程【详解】当直线过坐标原点时显然直线的斜率存在设代入所以所以所以直线方程为；当直线不过坐标原点时设所以横截距为纵截距为
解析：y x =-或115
42
y x =-+ 【分析】
分类讨论：直线过坐标原点、直线不过坐标原点，再根据截距的关系求解出直线的方程. 【详解】
当直线过坐标原点时，显然直线的斜率存在，设y kx =，代入()10,10-， 所以1010k -=，所以1k =-，所以直线方程为y x =-； 当直线不过坐标原点时，设()1010y k x -=+，所以横截距为10
10k
-
-，纵截距为1010k +，
所以()101041010k k --=+，解得1
4k =-或1k =-（舍），所以直线方程为11542
y x =-+，
故答案为：y x =-或115
42
y x =-+
. 【点睛】
本题考查根据截距关系求解直线方程，难度一般.根据截距的倍数求解直线方程时，要注意直线过坐标原点的情况.
18．3x ﹣2y+12=0【详解】设A （x0）B （0y ）由中点坐标公式得：解得：x=﹣4y=6由直线过点（﹣23）（﹣40）∴直线的方程为：即3x ﹣2y+12=0故答案为3x ﹣2y+12=0
解析：3x ﹣2y+12=0
设A （x ，0）、B （0，y ），由中点坐标公式得：002322
x y
++=-=， 解得：x=﹣4，y=6，由直线l 过点（﹣2，3）、（﹣4，0），
∴直线l 的方程为：32
0342
y x -+=--+， 即3x ﹣2y+12=0． 故答案为3x ﹣2y+12=0
19．【解析】【分析】设出定点A 根据点到直线的距离公式求出点到直线l 的距离由距离为常数利用一般到特殊的思想令分析可得定点A 的坐标检验一般性可知动直线l 是以为圆心半径为的圆的切线系即可求出定点A 的坐标为【详 解析：()2,1
【解析】 【分析】
设出定点A ，根据点到直线的距离公式求出点A 到直线l 的距离，由距离为常数，利用一般到特殊的思想，令
0,1,1
m =-分析可
得，定点A 的坐标，检验一般性可知，动直线l 是以()2,1 为圆心,半径为1的圆的切线系,即可求出定点A 的坐标为()2,1. 【详解】
设定点A 为(),a b ，所以点A 到直线l 的距离
d =
无论m R ∈，d 为定值，所以令0m = 可得，2d b =-，令1m = 可得，3d a =-， 令1m =-可得，1d a =- ，由31a a -=- 可得，2a =，即有1b =或3b = ． 当定点A 为()2,1 时，
22111m d m
+=
==+ ，符合题意； 当定点A 为()2,3
时，22
131m d m -=
=
+ ，显然d 的值随m 的变
化而变化，不符题意，舍去．
综上可知，动直线l 是以()2,1 为圆心,半径为1的圆的切线系，所以定点A 为
2
,1
．
故答案为：()2,1． 【点睛】
本题主要考查直线系方程的识别和应用，点到直线的距离公式的应用，考查学生的转化能
力和数学运算能力，属于中档题．
20．【分析】化已知直线为即有且解方程可得定点可得在以为直径的圆上运动求得圆心和半径由圆的性质可得最值【详解】解：由直线化为令解得所以直线过定点因为为垂足所以为直角三角形斜边为所以在以为直径的圆上运动由点
解析：13⎡⎣
【分析】
化已知直线为()()2430--+--=m x y x y ，即有240x y --=且30x y --=，解方程可得定点Q ，可得M 在以PQ 为直径的圆上运动，求得圆心和半径，由圆的性质可得最值． 【详解】
解：由直线()()()121430m x m y m m R +-+--=∈化为
()()2430--+--=m x y x y ，
令24030x y x y --=⎧⎨--=⎩，解得1
2
x y =⎧⎨=-⎩，所以直线过定点()1,2Q -，因为M 为垂足，所以PQM 为直角三角形，斜边为PQ ，所以M 在以PQ 为直径的圆上运动，由点()
5,0P -
可知以PQ 为直径的圆圆心为()2,1C --，半径为
=
=r
则MN 的取值范围-≤≤+CN r MN CN r ，又因为
13=
=CN ，
所以MN 的取值范围是13⎡+⎣.
故答案为：13⎡-⎣.
【点睛】
本题考查直线恒过定点，以及圆的方程的运用，圆外一点与圆上的点的距离的最值求法，考查运算能力，属于中档题．
三、解答题
21．（1）34140x y +-=；（2）3410x y ++=或34290x y +-=. 【分析】
（1）利用l 的方向向量，求出直线l 的斜率，代入点斜式方程求出直线l 的方程； （2）根据（1）设直线m 的方程为340x y c ++=，将点到直线的距离转化为平行线间的距离求c ，从而求出直线m 的方程. 【详解】
（1）由l 的一个方向向量为(4,3)d =-，即直线l 的斜率34
k =- 由点斜式方程得：3
5(2)4
y x -=-
+，即34140x y +-=. 所以直线l 的方程为：34140x y +-=
（2）因为直线m 与l 平行，则可设m 的方程为340x y c ++=，
由平行线间的距离公式得，|14|
35
c +=，解得：1c =或29-. 所以直线m 的方程为：3410x y ++=或34290x y +-=.
【点睛】
结论点睛：本题主要考查两直线的位置关系与斜率的关系，常用结论：在斜率存时， （1）1212//l l k k ⇔= （121221//0l l A B A B ⇔-=）；
（2）12121l l k k ⊥⇔⋅=-（1212120l l A A B B ⊥⇔⋅+⋅=），这类问题尽管简单却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心. 22．（1）1x =-或3430x y -+=；（2）证明见解析. 【分析】
（1）设直线l 的方程为1x ty =-，由圆心到直线距离等于半径可求得参数，得直线方程； （2）设直线l 的方程为1x ty =-，与0l 方程联立解得N 点坐标，PQ 线段中点为M ，则
CM PQ ⊥，设直线CM 的方程为()43y t x +=-+，与l 方程联立求得M 点坐标，由
,,A M N 共线，得AM AN ⋅AM AN =⋅，即得结论．
【详解】
解：（1）由题意知直线的斜率不为0，设直线l 的方程为1x ty =-，则由l 与圆相切得：
2d =
=，解得：0t =或4
3，故l 的方程为1x =-或3430x y -+=.
（2）∵l 与圆相交于PQ 两点，故l 斜率存在且不为0.设直线l 的方程为1x ty =-，
联立122x ty x y =-⎧⎨+=⎩得31
2
32t x t y t ⎧=-⎪⎪+⎨⎪=
⎪+⎩
，故331,22t N t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭； ∵PQ 线段中点为M ，∴CM PQ ⊥，设直线CM 的方程为()43y t x +=-+，
联立14(3)x ty y t x =-⎧⎨+=-+⎩，得222
2411241t t
x t t y t ⎧--=-⎪⎪+⎨--⎪=
⎪+⎩
，故222
24241,11t t t M t t ⎛⎫----- ⎪++⎝⎭；
∴222
2424,11t t t AM t t ⎛⎫----= ⎪++⎝⎭
，33,22t
AN t t ⎛⎫= ⎪++⎝⎭， ∴6AM AN ⋅=-，又由于A ，M ，N 三点共线， ∴6AM AN ⋅=得证，AM AN ⋅为定值.． 【点睛】
关键点点睛：本题在计算AM AN ⋅时，利用A ，M ，N 三点共线，这样有
AM AN ⋅AM AN =⋅，为此求出,M N 的坐标即可，设出l 方程为1x ty =-，由直线
相交得交点坐标，M 是弦PQ 中点，利用CM PQ ⊥，由l 方程写出CM 方程后可得交点
M 坐标，由坐标运算求得向量的数量积，
23．（1）2）4，240x y ++= 【分析】
（1）求出动直线所过定点(1,2)P --,当m 变化时，PQ ⊥直线l 时，点()3,4Q 到直线l 的距离的最大．
（2）直线l 的斜率k 存在且0k ≠，因此可设直线l 的方程为2(1)y k x +=+，求出直线在x 轴、y 轴的截距．可得AOB 的面积，利用基本不等式的性质即可得出结果． 【详解】
（1）直线方程为(2) (21) 340m x m y m -++++=， 可化为(24)(23)0x y m x y +++-++=对任意m 都成立，
所以230240x y x y -++=⎧⎨++=⎩，解得1
2x y =-⎧⎨=-⎩
，
所以直线恒过定点(1,2)--.
设定点为(1,2)P --,当m 变化时，PQ ⊥直线l 时，
点(3,4)Q 到直线的距离最大，可知点Q 与定点(1,2)P --的连线的距离就是所求最大值，
=
（2）由于直线l 经过定点(1,2)P --．直线l 的斜率k 存在且0k ≠， 因此可设直线方程为2(1)y k x +=+ 可得与x 轴、y 轴的负半轴交于21,0A k ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，(0,2)B k -两点 ∴
20k
k
-<，20k -<，解得0k <． ∴121221|2|1(2)2224222AOB
k
S k k k k k -⎛⎫=
--=--=++≥+= ⎪-⎝⎭
当且仅当2k =-时取等号，面积的最小值为4
此时直线l 的方程为：22(1)y x +=-+，化为：240x y ++=．
【点睛】
关键点点睛：求三角形面积最小时，一般首先表示出三角形的面积，本题利用直线在坐标轴的截距表示可得222
k S k -=++-,再根据均值不等式或利用函数求最值，确定最值取得的条件，求解即可.
24．（1）224x y +=；（2
）k =；（3）(4,0). 【分析】
（1）设出圆心(,0)C a ，根据直线与圆C 相切，得到圆心到直线的距离等于4，确定圆心坐标，即可得圆C 的方程.
（2）根据垂径定理及勾股定理，由过点(1,1)P 的直线1l 被圆C
截得的弦长等于斜率存在与不存在两种情况讨论，即可求出直线1l 的方程.
（3）当AB x ⊥轴时，则x 轴平分ANB ∠，当直线AB 的斜率存在时，设出方程与圆的方程联立，结合AN BN k k =-，即可求出点N 的坐标. 【详解】
（1）设圆心5(,0)2C a a ⎛⎫>-
⎪⎝⎭
，则|410|
25a ， 解得0a =或5a =-（舍）． 故圆C 的方程为22
4x y +=．
（2）由题意可知圆心C 到直线1l 的距离为2sin301．
1
，解得k =.
（3）当直线AB x ⊥轴时，对x 轴正半轴上任意一点,N x 轴平分ANB ∠； 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为
()()1122(1)(0),(,0),,,,y k x k N t A x y B x y =-≠， 由224,(1)
x y y k x ⎧+=⎨=-⎩得()2222
1240k x k x k +-+-=， 22121222
24
,11
k k x x x x k k -∴+==++ 若x 轴平分ANB ∠，则AN BN k k =-，即12120y y
x t x t
+=--， 即
()()1212110k x k x x t
x t
--+
=--，
即()12122(1)20x x t x x t -+++=，
即()
2222
242(1)2011
k k t t k k -+-+=++，解得4t =．
综上，当点N 的坐标为(4,0)时，x 轴平分ANB ∠． 【点睛】
关键点点睛：本题第二问解题的关键是得到圆心到直线的距离为1，第三问解题的关键是由x 轴平分ANB ∠，得AN BN k k =-，进而利用坐标表示斜率求解. 25．（1）224x y +=；（2）2340x y +-=；（3）(2,0)(0,2)-
【分析】
（1）设点E 点坐标为(),x y ，则||1
||2
EA EB =，利用两点间的距离公式得到方程，整理即可得解；
（2）连接OG ，OM ，求出以G 为圆心，||GM 为半径的圆的方程，再跟圆C 求公共弦，即切点弦方程；
（3）设直线的方程为：y x b =-+，()11,P x y ，()22,Q x y ，利用根与系数的关系可得
P ，Q 两点横坐标的和与积，结合POQ ∠为钝角，得0OP OQ <，即12120x x y y +<，
从而可得直线l 的纵截距的取值范围． 【详解】
解：（1）设点E 点坐标为(),x y ，则
||1
||2
EA EB = 得
2222(1)1
(4)4
x y x y -+=-+ 整理得：2
2
33120x y +-= 曲线C 的方程是2
2
4x y +=.
（2）过G 点()2,3作两条与曲线C 相切的直线，G 点在圆外，
连接OG ，OM ，由题意知||OG =||3GM =，
∴以G 为圆心，||GM 为半径的圆的方程为22(2)(3)9x y -+-=①，
又圆C 的方程为2
2
4x y +=②，
由①-②得直线MN 的方程是2340x y +-=；
（3）设直线的方程为：y x b =-+，联立22
4x y +=
得：222240x bx b -+-=，
设直线l 与圆的交点()11,P x y ，()22,Q x y 由(
)
2
2
(2)840b b ∆=--->，得28b <，
12x x b +=.2124
2
b x x -⋅=
因为POQ ∠为钝角，所以0OP OQ ⋅<， 即12120x x y y +<，且OP 与OQ 不是反向共线， 又11y x b =-+，22y x b =-+，
所以()2
1212121220x x y y x x b x x b +=-++<
12x x b +=，21242
b x x -= 222121240x x y y b b b +=--+<
得24b <，即22b -<<，
当OP 与OQ 反向共线时，直线y x b =-+过原点，此时0b =，不满足题意， 故直线l 在y 轴上的截距的取值范围是22b -<<，且0b ≠. 【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系的应用，训练了利用圆系方程求两圆公共弦所在的直线方程，考查了平面向量的数量积运算，对于过圆222()()x a y b r -+-=外一点()00,x y 的切点弦方程为()()()()2
00x a x a y b y b r --+--=．
26．（1）
32
5
；（2）220x y +-=或210x y -+=.
【分析】
（1
）利用点到直线的距离公式得到d =，再利用2(2)S d =，即可求出结果.（2）设对角线所在直线的方程为(0)(1)0a x b y -+-=，可设两直线的法向量分别为
1(,)n a b =，2(1,3)n =-，设两直线夹角为θ，12122cos 2
n n n n θ⋅=
=⋅，代入得到2a b =或20a b +=，即可求出结果.
【详解】
（1）正方形的一条边AB 所在直线为310--=x y
，
正方形的中心为()0,1R
，
则正方形的中心到AB 所在直线的距离为： d ==， 所以正方形的面积：232(2)5
S d ==
； （2）设对角线所在直线的方程为(0)(1)0a x b y -+-=， 边AB 所在直线为310--=x y ，
两直线的法向量分别为1(,)n a b =，2(1,3)n =-，
设两直线夹角为θ，
则12122cos 22n n n n θ⋅==⇒=⋅， 222320(2)(2)02a ab b a b a b a b +-=⇒-+=⇒=或20a b +=，
两条对角线方程为(0)2(1)0x y -+-=或2(0)(1)0x y ---=，
即220x y +-=或210x y -+=.
【点睛】
关键点睛：设两直线的法向量分别为1(,)n a b =，2(1,3)n =-，利用夹角得到,a b 的关系式是解决本题的关键.。