山东省东营市实验中学重点中学2024届中考三模数学试题含解析

山东省东营市实验中学重点中学2024届中考三模数学试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1．如图，AD 是半圆O 的直径，AD ＝12，B ，C 是半圆O 上两点．若AB BC CD ==，则图中阴影部分的面积是（ ）
A ．6π
B ．12π
C ．18π
D ．24π
2．有若干个完全相同的小正方体堆成一个如图所示几何体，若现在你手头还有一些相同的小正方体，如果保持俯视图和左视图不变，最多可以再添加小正方体的个数为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，那么sin ∠B 等于( )
A ．AC A
B B ．B
C AB C ．AC BC
D ．BC AC
4．不等式组29611
x x x k +>+⎧⎨-<⎩的解集为2x <．则k 的取值范围为（ ） A ．1k < B ．1k C ．1k > D ．1k <
5．已知反比例函数y=﹣
6x ，当1＜x ＜3时，y 的取值范围是（ ） A ．0＜y ＜1 B ．1＜y ＜2
C ．﹣2＜y ＜﹣1
D ．﹣6＜y ＜﹣2 6．如图，已知矩形ABCD 中，BC ＝2AB ，点
E 在BC 边上，连接DE 、AE ，若EA 平分∠BED ，则ABE CDE S S 的值为（ ）
A．23
2
-
B．
233
2
-
C．
233
3
-
D．
23
3
-
7．在1
2
，0，－1，
1
2
-这四个数中，最小的数是（）
A．1
2
B．0 C．
1
2
-D．－1
8．如图所示的几何体的俯视图是（）
A．B．C．D．9．下列实数中，最小的数是（）
A．3B．π
-C．0 D．2-
10．如图，在△ABC中，cos B＝
2
2
，sin C＝
3
5
，AC＝5，则△ABC的面积是()
A．21
2
B．12 C．14 D．21
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11．如图，在矩形ABCD中，顺次连接矩形四边的中点得到四边形EFGH．若AB=8，AD=6，则四边形EFGH的周长等于__________．
12．如图，在▱ABCD中，AD=2，AB=4，∠A=30°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，
则阴影部分的面积是 ▲ （结果保留π）．
13．将半径为5，圆心角为144°的扇形围成一个圈锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 ．
14．如图，在边长为3的菱形ABCD 中，点E 在边CD 上，点F 为BE 延长线与AD 延长线的交点．若DE=1，则DF 的长为________．
15．如图，P 是⊙O 的直径AB 延长线上一点，PC 切⊙O 于点C ，PC=6，BC ：AC=1：2，则AB 的长为_____．
16．如果一个三角形两边为3cm ，7cm ，且第三边为奇数，则三角形的周长是_________．
17．一元二次方程x 2﹣4=0的解是．_________
三、解答题（共7小题，满分69分）
18．（10分）如图，在ABC ∆中，AB AC =，AE 是BC 边上的高线，BM 平分ABC ∠交AE 于点M ，经过B ，M 两点的O 交BC 于点G ，交AB 于点F ，FB 为O 的直径．
（1）求证：AM 是O 的切线；
（2）当3BE =，2cos 5C =
时，求O 的半径． 19．（5分）如图，点A 、B 在⊙O 上，点O 是⊙O 的圆心，请你只用无刻度的直尺，分别画出图①和图②中∠A 的余角.
（1）图①中，点C 在⊙O 上；
（2）图②中，点C 在⊙O 内；
20．（8分）如图，已知点A （1，a ）是反比例函数y 1=m x 的图象上一点，直线y 2=﹣1122x +与反比例函数y 1=m x
的图象的交点为点B 、D ，且B （3，﹣1），求：
（Ⅰ）求反比例函数的解析式； （Ⅱ）求点D 坐标，并直接写出y 1＞y 2时x 的取值范围；
（Ⅲ）动点P （x ，0）在x 轴的正半轴上运动，当线段PA 与线段PB 之差达到最大时，求点P 的坐标．
21．（10分）观察下列各式：
①()()2
111x x x -+=- ②()()
23111x x x x -++=- ③()()
324111x x x x x -+++=- 由此归纳出一般规律()()
111n n x x x x --++⋅⋅⋅++=__________. 22．（10分）某公司投入研发费用80万元（80万元只计入第一年成本），成功研发出一种产品．公司按订单生产（产量=销售量），第一年该产品正式投产后，生产成本为6元/件．此产品年销售量y （万件）与售价x （元/件）之间满足函数关系式y=﹣x+1．求这种产品第一年的利润W 1（万元）与售价x （元/件）满足的函数关系式；该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是多少？第二年，该公司将第一年的利润20万元（20万元只计入第二年成本）再次投入研发，使产品的生产成本降为5元/件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，
另外受产能限制，销售量无法超过12万件．请计算该公司第二年的利润W2至少为多少万元．
23．（12分）已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE=AC．
求证：BG=FG；若AD=DC=2，求AB的长．
24．（14分）已知，如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过D作DE⊥MN 于E．
求证：DE是⊙O的切线；若DE=6cm，AE=3cm，求⊙O的半径．
参考答案
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1、A
【解题分析】
根据圆心角与弧的关系得到∠AOB=∠BOC=∠COD=60°，根据扇形面积公式计算即可．
【题目详解】
∵AB BC CD
==，
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=60°.
∴阴影部分面积=
2
606
=6 360
⨯
π
π.
故答案为：A. 【题目点拨】
本题考查的知识点是扇形面积的计算，解题关键是利用圆心角与弧的关系得到∠AOB=∠BOC=∠COD=60°.
2、C
【解题分析】
若要保持俯视图和左视图不变，可以往第2排右侧正方体上添加1个，往第3排中间正方体上添加2个、右侧两个正方体上再添加1个，
即一共添加4个小正方体，
故选C．
3、A
【解题分析】
根据锐角三角函数的定义得出sinB等于∠B的对边除以斜边，即可得出答案．
【题目详解】
根据在△ABC中，∠C=90°，
那么sinB=
B
∠的对边
斜边
=
AC
AB
，
故答案选A.
【题目点拨】
本题考查的知识点是锐角三角函数的定义，解题的关键是熟练的掌握锐角三角函数的定义.
4、B
【解题分析】
求出不等式组的解集，根据已知得出关于k的不等式，求出不等式的解集即可．
【题目详解】
解：解不等式组
2961
1
x x
x k
+>+
⎧
⎨
-<
⎩
，得
2
1
x
x k
<
⎧
⎨
<+
⎩
．
∵不等式组
2961
1
x x
x k
+>+
⎧
⎨
-<
⎩
的解集为x＜2，
∴k＋1≥2，解得k≥1．
故选：B．【题目点拨】
本题考查了解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能根据不等式组的解集和已知得出关于k的不等式，难度适中．
5、D
【解题分析】
根据反比例函数的性质可以求得y的取值范围，从而可以解答本题．
【题目详解】
解：∵反比例函数y=﹣6
x
，∴在每个象限内，y随x的增大而增大，∴当1＜x＜3时，y的取值范围是﹣6＜y＜﹣1．
故选D．
【题目点拨】
本题考查了反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，求出相应的y的取值范围，利用反比例函数的性质解答．6、C
【解题分析】
过点A作AF⊥DE于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得AF=AB，利用全等三角形的判定和性质以及矩形的性质解答即可．
【题目详解】
解：如图，过点A作AF⊥DE于F，
在矩形ABCD中，AB＝CD，
∵AE平分∠BED，
∴AF＝AB，
∵BC＝2AB，
∴BC＝2AF，
∴∠ADF＝30°，
在△AFD与△DCE中
∵∠C=∠AFD=90°,
∠ADF=∠DEC,
AF=DC,，
∴△AFD≌△DCE（AAS），
∴△CDE 的面积＝△AFD 的面积＝2113AF DF AF 3AF AB 222⨯=⨯= ∵矩形ABCD 的面积＝AB •BC ＝2AB 2，
∴2△ABE 的面积＝矩形ABCD 的面积﹣2△CDE 的面积＝（2﹣3）AB 2，
∴△ABE 的面积＝
()2232
AB -, ∴23233233
2
ABE
CDE S
S --==， 故选：C ．
【题目点拨】
本题考查了矩形的性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，以及全等三角形的判定与性质，关键是根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得AF=AB ．
7、D
【解题分析】
试题分析：因为负数小于0，正数大于0，正数大于负数，所以在
12，0，－1，12
-这四个数中，最小的数是－1，故选D ．
考点：正负数的大小比较．
8、B
【解题分析】
根据俯视图是从上往下看得到的图形解答即可.
【题目详解】
从上往下看得到的图形是：
故选B.
【题目点拨】
本题考查三视图的知识，解决此类图的关键是由三视图得到相应的立体图形.从正面看到的图是正视图，从上面看到的图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图，能看到的线画实线，被遮挡的线画虚线
9、B
【解题分析】
根据正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，进行比较．
【题目详解】
∵π-<-2<0<3，
∴最小的数是-π，
故选B．
【题目点拨】
此题主要考查了比较实数的大小，要熟练掌握任意两个实数比较大小的方法．（1）正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
10、A
【解题分析】
根据已知作出三角形的高线AD，进而得出AD，BD，CD，的长，即可得出三角形的面积．
【题目详解】
解：过点A作AD⊥BC，
∵△ABC中，cosB=
2
2
，sinC=
3
5
，AC=5，
∴cosB=
2
2
=
BD
AB
，
∴∠B=45°，
∵sinC=3
5
=
AD
AC
=
5
AD
，
∴AD=3，
∴22
53
-，∴BD=3，
则△ABC的面积是：1
2
×AD×BC=
1
2
×3×（3+4）=
21
2
．
故选：A．
【题目点拨】
此题主要考查了解直角三角形的知识，作出AD⊥BC，进而得出相关线段的长度是解决问题的关键．
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11、20.
【解题分析】
分析：连接AC,BD,根据勾股定理求出BD,根据三角形中位线定理，菱形的判定定理得到四边形EHGF为菱形，根据菱形的性质计算．
解答:连接AC,BD在Rt△ABD中，BD=2210,
AB AD
+=∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD=10, ∵E、H分别是
AB、AD的中点，∴EH∥BD,EF=1
2
BD=5,同理，FG∥BD,
FG=1
2
BD=5,GH∥AC,GH=
1
2
AC=5, ∴四边形EHGF为菱形，∴四边形EFGH的周长=5×4=20，故答案为20.
点睛：本题考查了中点四边形，掌握三角形的中位线定理、菱形的判定定理是解答本题的关键.
12、
【解题分析】
过D点作DF⊥AB于点F．
∵AD=1，AB=4，∠A=30°，
∴DF=AD•sin30°=1，EB=AB﹣AE=1．
∴阴影部分的面积=平行四边形ABCD的面积－扇形ADE面积－三角形CBE的面积
=.
故答案为：.
13、1
【解题分析】
考点：圆锥的计算．
分析：求得扇形的弧长，除以1π即为圆锥的底面半径．
解：扇形的弧长为：1445
180
π⨯
=4π；
这个圆锥的底面半径为：4π÷1π=1．
点评：考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长．
14、1.1
【解题分析】
求出EC，根据菱形的性质得出AD∥BC，得出相似三角形，根据相似三角形的性质得出比例式，代入求出即可．【题目详解】
∵DE=1，DC=3，
∴EC=3-1=2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴△DEF∽△CEB，
∴DF DE BC CE
=，
∴
1 3
2 DF
=，
∴DF=1.1，
故答案为1.1．
【题目点拨】
此题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是根据菱形的性质证明△DEF∽△CEB，然后根据相似三角形的性质可求解.
15、1
【解题分析】
PC切⊙O于点C，则∠PCB=∠A，∠P=∠P，
∴△PCB∽△PAC，
∴
1
2 BP BC
PC AC
==,
∵BP=1
2
PC=3，
∴PC2=PB•PA，即36=3•PA，
∵PA=12
∴AB=12-3=1．
故答案是：1.
16、15cm、17cm、19cm．
【解题分析】
试题解析：设三角形的第三边长为xcm，由题意得：
7-3＜x ＜7+3，
即4＜x ＜10，
则x=5，7，9，
三角形的周长：3+7+5=15（cm ），
3+7+7=17（cm ），
3+7+9=19（cm ）．
考点：三角形三边关系．
17、x=±
1 【解题分析】
移项得x 1=4，
∴x=±1．
故答案是：x=±
1．
三、解答题（共7小题，满分69分）
18、（1）见解析；（2）O 的半径是157. 【解题分析】
（1）连结OM ，易证OM BC ，由于AE 是BC 边上的高线，从而可知AM OM ⊥，所以AM 是O 的切线．
（2）由于AB AC =，从而可知3EC BE ==，由2cos 5EC C AC =
=，可知：51522
AC EC ==，易证AOM ABE ∆∆，所以OM AO BE AB =，再证明2cos cos 5AOM C ∠==，所以52AO OM =，从而可求出157OM =. 【题目详解】
解：（1）连结OM ．
∵BM 平分ABC ∠，
∴12∠=∠，又OM OB =，
∴23∠∠=，
∴OM BC ，
∵AE 是BC 边上的高线，
∴AE BC ⊥，
∴AM OM ⊥，
∴AM 是O 的切线.
（2）∵AB AC =，
∴ABC C ∠=∠，AE BC ⊥，
∴E 是BC 中点，
∴3EC BE ==， ∵2cos 5EC C AC ==， ∴51522AC EC ==， ∵OM BC ，AOM ABE ∠=∠，
∴AOM
ABE ∆∆， ∴OM AO BE AB
=， 又∵ABC C ∠=∠，
∴AOM C ∠=∠，
在Rt AOM ∆中，
2cos cos 5AOM C ∠==
， ∴25
OM AO =， ∴52
AO OM =， 5722
AB OM OB OM =+=， 而152
AB AC ==， ∴71522
OM =， ∴157
OM =， ∴O 的半径是157
.
【题目点拨】
本题考查圆的综合问题，涉及锐角三角函数，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，综合程度较高，需要学生综合运用知识的能力．
19、图形见解析
【解题分析】试题分析：（1）根据同弧所对的圆周角相等和直径所对的圆周角为直角画图即可；（2）延长AC交⊙O 于点E ，利用（1）的方法画图即可.
试题解析：
如图①∠DBC就是所求的角；
如图②∠FBE就是所求的角
20、（1）反比例函数的解析式为y=﹣3
x
；（2）D（﹣2，
3
2
）；﹣2＜x＜0或x＞3；（3）P（4，0）．
【解题分析】
试题分析：（1）把点B（3，﹣1）带入反比例函数
1m
y
x
=中，即可求得k的值；
（2）联立直线和反比例函数的解析式构成方程组，化简为一个一元二次方程，解方程即可得到点D坐标，观察图象可得相应x的取值范围；
（3）把A（1，a）是反比例函数
1m
y
x
=的解析式，求得a的值，可得点A坐标，用待定系数法求得直线AB的解析式，令y=0，解得x的值，即可求得点P的坐标.
试题解析：（1）∵B（3，﹣1）在反比例函数
1m
y
x
=的图象上，
∴-1=m
3
，
∴m=-3，
∴反比例函数的解析式为
3
y
x =-；
（2）
3
11
22
y
x
y x
⎧
=-
⎪⎪
⎨
⎪=-+
⎪⎩
，
∴
3
x
-=
11
22
x
-+，
x 2-x-6=0，
（x-3）（x+2）=0，
x 1=3，x 2=-2，
当x=-2时，y=
32， ∴D （－2，32
）； y 1＞y 2时x 的取值范围是-2<x<0或x>
32
； （3）∵A （1，a ）是反比例函数1m y x =的图象上一点， ∴a=-3，
∴A （1，-3），
设直线AB 为y=kx+b,
331
k b k b +=-⎧⎨+=-⎩， ∴14k b =⎧⎨=-⎩
， ∴直线AB 为y=x-4，
令y=0，则x=4，
∴P(4，0)
21、x n+1-1
【解题分析】
试题分析：观察其右边的结果：第一个是2x ﹣1；第二个是3x ﹣1；…依此类推，则第n 个的结果即可求得． 试题解析：（x ﹣1）（n x +1n x -+…x+1）=11n x +-．
故答案为11n x +-.
考点：平方差公式．
22、（1）W 1=﹣x 2+32x ﹣2；（2）该产品第一年的售价是16元；（3）该公司第二年的利润W 2至少为18万元．
【解题分析】
（1）根据总利润=每件利润×销售量﹣投资成本，列出式子即可；
（2）构建方程即可解决问题；
（3）根据题意求出自变量的取值范围，再根据二次函数，利用而学会设的性质即可解决问题.
【题目详解】
（1）W 1=（x ﹣6）（﹣x+1）﹣80=﹣x 2+32x ﹣2．
（2）由题意：20=﹣x 2+32x ﹣2．
解得：x=16，
答：该产品第一年的售价是16元．
（3）由题意：7≤x≤16，
W 2=（x ﹣5）（﹣x+1）﹣20=﹣x 2+31x ﹣150，
∵7≤x≤16，
∴x=7时，W 2有最小值，最小值=18（万元），
答：该公司第二年的利润W 2至少为18万元．
【题目点拨】
本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程或函数解决问题.
23、（1）证明见解析；（2）AB=3
【解题分析】
（1）证明：∵90ABC ∠=，DE ⊥AC 于点F ，
∴∠ABC=∠AFE ．
∵AC=AE,∠EAF=∠CAB ，
∴△ABC ≌△AFE
∴AB=AF ．
连接AG ，
∵AG=AG ,AB=AF
∴Rt △ABG ≌Rt △AFG
∴BG=FG
（2）解：∵AD=DC ，DF ⊥AC
∴1122
AF AC AE == ∴∠E=30°
∴AB=AF=3
24、解：（1）证明见解析；
（2）⊙O的半径是7.5cm．
【解题分析】
（1）连接OD，根据平行线的判断方法与性质可得∠ODE=∠DEM=90°，且D在⊙O上，故DE是⊙O的切线．（2）由直角三角形的特殊性质，可得AD的长，又有△ACD∽△ADE．根据相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求得圆的半径．
【题目详解】
（1）证明：连接OD．
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA．
∵∠OAD=∠DAE，
∴∠ODA=∠DAE．
∴DO∥MN．
∵DE⊥MN，
∴∠ODE=∠DEM=90°．
即OD⊥DE．
∵D在⊙O上，OD为⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线．
（2）解：∵∠AED=90°，DE=6，AE=3，
∴2235
=+=
AD DE AE
连接CD．
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=∠AED=90°．
∴△ACD∽△ADE．
∴AD AC AE AD
=．
=
则AC=15（cm）．
∴⊙O的半径是7.5cm．
考点：切线的判定；平行线的判定与性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．。