同一点处电磁波的电磁场能量密度是常量的证明

同一点处电磁波的电磁场能量密度是常量的证明
肖军
根据麦克斯韦场方程导出的电磁波的波函数并不是仅有
()
()
cos cos m m E E kx t B B kx t ωω=-=- （1）
一种结果。

由于 ()()0cos sin kx t k x x t ωω-=+-⎡⎤⎣⎦ （2）
及
()()()000
sin sin k x x t k x x t x x x ωω∂∂+-=+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∂∂+ （3） 其中
02kx π=
（4）
（1）也可写成形式为 ()
()0cos sin m m E E kx t B B k x x t ωω=-=+-⎡⎤⎣⎦ （5）
（1）、（5）两式虽然都能满足于麦克斯韦场方程，但它们给出的电场和磁场的变化规律不同。

（1）式给出的电场和磁场都是按余弦规律变化，在同一时刻同
图1
绿线为电场变化曲线，篮线为磁场变化曲线
一点处，电场达到最大值，磁场也达到最大值，电场为零，磁场也为零，见图1a 所示。

在同一点处电磁场总的能量密度是
()222221111+cos 222m m w E B E B kx t εεωμμ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭
（6） 若令
（a ） （b ）
221
=m m E B εμ （7）
则有
()22cos m w E kx t εω=- （8）
（5）式给出的则是电场在x 点处按余弦规律变化，磁场在0x x +点处按正弦规律变化，并在同一时刻同一点处，电场达到最大值时，磁场为零，磁场达到最大值时，电场为零，见图1b 所示。

在同一点处电磁场总的能量密度是
()()2222221111cos +sin 222m m w E B E kx t B kx t εεωωμμ⎛⎫=+=-- ⎪⎝⎭
（9） 把（7）式代入（9）式，可得到
212
m w E ε= （10） 上面由麦克斯韦场方程得到的电磁场能量密度有(8)式和(10)式两种结果，这两种结果究竟那一个是正确的，那一个是错误，从理论上是能够给予选择，下面就讨厌论这个问题。

对于在真空中传播的电磁场,其在体积V 内即不存在有电源，也没有传导电流，因而电磁场应满足
()0E H d ∑⨯⋅∑=⎰
（11）
又因 ()V w E H d dV t ∑
∂⨯⋅∑=-∂⎰⎰ （12） 所以必有
0w t
∂=∂ （13） 也就是有
w =常量 （14）
由此可证明（10）式正确，而（8）式不能成立。

把（10）式代入（9）式，就可得到
2221
m E B E εεμ+= （15）。