高中数学第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系复习学案新人教A版选修1-1

1.1 命题及其关系
自主复习
考点清单： 四种命题
四种命题及其相互关系
考点详情：
重点一：四种命题
一般地，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。

其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。

1. 原命题与逆命题
一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．也就是说，如果原命题为“若p ，则q ”，那么它的逆命题为“若q ，则p ”． 2. 否命题
对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做互否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题．也就是说，如果原命题为“若p ，则q ”，那么它的否命题为“若p ⌝，则q ⌝”． 3. 逆否命题
对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做原命题的逆否命题．
也就是说，如果原命题为“若p ，则q ”，那么它的逆否命题为“若q ⌝，则p ⌝”．
注意：在对原命题的条件和结论进行否定时，一定要注意问题的全面性，千万不能遗漏或重复．
重点二：四种命题及其相互关系 1. 四种命题间的相互关系
2. 四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性.
②两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系. 例题
1．设m ∈R ，命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实根”的逆否命题是
A ．若方程20x x m +-=有实根，则0m >
B ．若方程20x x m +-=有实根，则0m ≤
C ．若方程20x x m +-=没有实根，则0m >
D ．若方程20x x m +-=没有实根，则0m ≤
【答案】D
【解析】一个命题的逆否命题，要将原命题的条件、结论加以否定，并且加以互换，故选D ． 2．命题“0x ∃∈∞(0,+)，lnx 0=x 0－1”的否定是( ) A.(0,)x ∀∈+∞,lnx ≠x －1 B.(0,)x ∀∉+∞,lnx=x －1 C.0x ∃∈∞(0,+),lnx 0≠x 0－1
D.0x ∃∉∞(0,+),lnx 0=x 0－1
【答案】C
名师导学：
1．写一个命题的其他三种命题时的2个注意点
(1) 对于不是“若p ，则q”形式的命题，需先改写； (2) 若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提． 2．命题真假的两种判断方法
(1) 联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断． (2) 利用原命题与逆否命题，逆命题与否命题的等价关系进行判断．
3．易混淆否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论． 4．易忽视A 是B 的充分不必要条件(A ⇒B 且B
A)与A 的充分不必要条件是B(B ⇒A 且A
B)两者的不同．
巩固练习
1. 设实数a ，b ，t 满足|a+1|=|ainb|=t( ) A. 若t 确定,则b 2
唯一确定 B. 若t 确定,则a 2
+2a 唯一确定 C. 若t 确定,则sin
2
b
唯一确定 D. 若t 确定,则a 2
+a 唯一确定
2. 已知a ，b ，c ∈R,命题“若a+b+c=3，则a 2+b 2+c 2≥3”的否命题是( ) A. 若a+b+c≠3,则a 2
+b 2
+c 2
<3 B. 若a+b+c=3,则a 2+b 2+c 2
<3 C. 若a+b+c≠3,则a 2+b 2+c 2≥3
D. 若a 2+b 2+c 2≥3,则a+b+c=3
3. 命题“若4
απ
=，则tan α=1”的逆否命题是( ) A. 若4
απ
≠
,则tan α≠1 B. 若4
απ
=,则tan α≠1 C. 若tan α≠1,则4
απ
≠
D. 若tan α≠1,则4
απ
=
4. 给出命题：若函数y=f(x)是幂函数，则函数y=f(x)的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( ) A. 3
B. 2
C. 1
D. 0
5. 已知命题p:x ∀∈R ，2x
<3x
；命题q:x ∃∈R ，x 3
=1－x 2
，则下列命题中为真命题的是( )
A. p ∧q
B. p q ⌝∧
C. p q ∧⌝
D. p q ⌝∧⌝
6. 已知命题p:12,x x ∀∈R ，(f(x 2)－f(x 1))(x 2－x 1)≥0，则p ⌝是( ) A. 12,x x ∃∈R ,(f(x 2)－f(x 1))(x 2－x 1)≤0 B. 12,x x ∀∈R ,(f(x 2)－f(x 1))(x 2－x 1)≤0 C. 12,x x ∃∈R ,(f(x 2)－f(x 1))(x 2－x 1)<0
D. 12,x x ∀∈R ,(f(x 2)－f(x 1))(x 2－x 1)<0
7. 下列命题中的假命题是( )
A. x ∃∈R ,lgx=0
B. x ∃∈R ,tanx=1
C. x ∀∈R ,x 3>0
D. x ∀∈R ,2x >0
参考答案与解析
1.【答案】B
2.【答案】A
【解析】由否命题的定义可知原命题的否命题为:若a+b+c≠3,则a 2+b 2+c 2<3,既否定条件,又否定结论. 3.【答案】C
【解析】根据命题“若p,则q”的逆否命题是“若非q,则非p”的知识求解.命题“若4
απ
=,则tan α=1”的逆否命题是“若tan α≠1,则4
απ≠”. 4.【答案】C
【解析】因为函数是幂函数,所以可设f(x)=x a ,(a 为常数),所以当x ＞0时,x a ＞0,故函数图象不可能过第四象限,故原命题正确,从而其逆否命题也正确,但是其逆命题显然是错误的,故三个命题中真命题只有一个.
5.【答案】B
【解析】∵命题p:x ∀∈R ,2x <3x 是假命题,命题q:x ∃∈R ,x 3=1－x 2是真命题,∴命题p ∧q 是假命题,命题
p q ⌝∧是真命题,命题p q ∧⌝假命题,命题p q ⌝∧⌝是假命题,故选B.
6.【答案】C
【解析】命题的否定只否定量词和结论,故原命题的否定为“∃x 1,x 2∈R,(f(x 2)－f(x 1))(x 2－x 1)<0”. 7.【答案】C。