苏教版高中同步学案数学必修第一册精品课件 第8章 函数应用 8.1 二分法与求方程近似解

(1)f(x)=x2+7x+6;
(2)f(x)=1-log2(x+3);
(3)f(x)=2x-1-3;
2 +4-12
(4)f(x)=
.
-2
解(1)解方程f(x)=x2+7x+6=0,
得x=-1或x=-6,所以函数的零点是-1,-6.
(2)解方程f(x)=1-log2(x+3)=0,得x=-1,所以函数的零点是-1.
当x>0时,令-2+ln x=0,解得x=e2.
2 + 2-3, ≤ 0,
所以函数 f(x)=
的零点为-3 和 e2.
-2 + ln, > 0
(2)由已知得f(3)=0,即3a-b=0,即b=3a,
故g(x)=3ax2+ax=ax(3x+1),
令 g(x)=0,即 ax(3x+1)=0,解得 x=0 或
解的个数分别为(
A.4,4
B.3,4
C.5,4
D.4,3
)
答案 D
解析 图象与x轴有4个交点,所以零点的个数为4.左、右函数值异号的零点
有3个,所以可以用二分法求解的个数为3.故选D.
规律方法
判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是:其图象在零点
附近是连续不断的,且该零点为变号零点,因此,用二分法求函数的零点近
似值的方法仅对函数的变号零点适合,对函数的不变号零点不适合.
变式训练4
若二次函数f(x)=2x2+3x+m存在零点,且能够利用二分法求得此零点,则实
数m的取值范围是
答案
.
9
(-∞, )
8
解析 由题意知,Δ=9-8m>0,即
9
m< .
8
探究点四 用二分法求函数零点的近似值或方程的近似解
【例5】 求函数f(x)=x2-5的负零点的近似值(精确到0.1).
个公共点,即f(x)=2x+lg(x+1)-2有且只有一个零点.
规律方法
判断函数零点个数的常用方法
(1)解方程f(x)=0.
(2)直接作出函数f(x)的图象,图象与x轴公共点的个数就是函数f(x)零点的
个数.
(3)f(x)=g(x)-h(x)=0,得g(x)=h(x),在同一平面直角坐标系中作出y1=g(x)和
第8章
8.1.1 函数的零点
8.1.2 用二分法求方程的近似解
课标要求
1.结合学过的函数图象,了解函数零点与方程解的关系;
2.结合具体连续函数及其图象的特点,了解函数零点存在定理,探索用二分
法求方程近似解的思路并会画程序框图,能借助计算工具用二分法求方程
近似解,了解用二分法求方程近似解具有一般性.
y2=h(x)的图象,则两个图象公共点的个数就是函数y=f(x)零点的个数.
(4)若证明一个函数的零点唯一,也可先由零点存在定理判断出函数有零点,
再证明该函数在定义域内单调.
变式训练2
1
零点的个数.
判断函数f(x)=x2-
解 (方法一)令 f(x)=x
1
2 1
- =0,得 x = ,即 x3=1,解得
C.(1,2) D.(2,3)
答案 (1)C
(2)C
2
解析 (1)因为f(1)=ln 2- <0,f(2)=ln 3-1>0,且函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,
1
所以函数的零点所在区间为(1,2).故选C.
(2)构造函数f(x)=ex-x-3,由题表可得f(-1)=0.37-2=-1.63<0,
)
答案 C
解析 在A中,函数无零点;在B和D中,函数有零点,但它们在零点左右的函数
值符号相同,因此它们都不能用二分法来求零点;而在C中,函数图象是连续
不断的,且图象与x轴有交点,并且在交点两侧的函数值符号相反,所以C中

的函数能用二分法求其零点.
2.函数f(x)=2x2-3x+1的零点个数是(
A.0


2
x=1,故函数 f(x)=x
1
- 只有一

2
个零点.
(方法二)令 f(x)=x
1
2 1
-=0,得 x =,设
2
g(x)=x
2
1
(x≠0),h(x)=,在同一坐标系中分别
画出函数 g(x)和 h(x)的图象,如图所示.
由图象可知,两个函数图象只有一个交点,
故函数只有一个零点.
探究点二 判断函数零点所在的区间
(3)解方程f(x)=2x-1-3=0,得x=log26,所以函数的零点是log26.
(4)解方程
2 +4-12
f(x)=
=0(x≠2),得
-2
x=-6,所以函数的零点为-6.
角度2函数零点个数的判断
【例2】 判断函数f(x)=2x+lg(x+1)-2的零点个数.
解 (方法一)∵f(0)=1+0-2=-1<0,
f(0)=1-3=-2<0,
f(1)=2.72-4=-1.28<0,
f(2)=7.39-5=2.39>0,
f(3)=20.09-6=14.09>0,
f(1)·f(2)<0,所以方程的一个根所在区间为(1,2),故选C.
规律方法
判断函数零点所在区间的步骤
变式训练3

若函数f(x)=x+ (a∈R)在区间(1,2)上有零点,则a的值可能是(
A.-2
B.0
C.1
)
D.3
答案 A

解析 f(x)=x+ (a∈R)的图象在(1,2)上是连续不断的,逐个选项代入验证,
当a=-2时,f(1)=1-2=-1<0,f(2)=2-1=1>0,故f(x)在区间(1,2)上有零点.同理,其
他选项不符合.故选A.
探究点三 二分法的概念
【例4】 已知函数f(x)的图象如图所示,其中零点的个数与可以用二分法求
所以函数 g(x)的零点为 0
规律方法
1
x=-3.
1
和- .
3
函数零点的求法
(1)代数法:求方程f(x)=0的实数根.
(2)几何法:对于不能用求根公式的方程f(x)=0,可以将它与函数f(x)的图象
联系起来,图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.
变式训练1
判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出;否则,请说明理由.
(2)用二分法求函数零点近似值时,每次等分区间后,零点必定在右侧区间
内.( × )
2.若函数y=f(x)在定义域内有零点,该零点是否一定能用二分法求解?
提示二分法只适用于函数的变号零点(即函数在零点两侧符号相反),因此
函数在零点两侧同号的零点不能用二分法求解,如f(x)=(x-1)2的零点就不能
用二分法求解.
f(2)=4+lg 3-2=2+lg 3>0,
∴函数f(x)在(0,2)上有零点.
又f(x)=2x+lg(x+1)-2在区间(-1,+∞)上为增函数,故f(x)有且只有一个零点.
(方法二)令h(x)=2-2x,g(x)=lg(x+1),在同一平面直角坐标系中作出h(x)与g(x)
的图象如图所示.
由图象知g(x)=lg(x+1)和h(x)=2-2x的图象有且只有一


2.若函数y=f(x)在[a,b]上的图象连续不断,并具有单调性,则当f(a)f(b)<0
时,y=f(x)有几个零点?当f(a)f(b)>0时呢?
提示 函数y=f(x)在[a,b]上的图象连续不断,并具有单调性,当f(a)f(b)<0
时,y=f(x)有且仅有一个零点;当f(a)f(b)>0时,没有零点.
f(1.5)<0,f(2)>0⇒x0∈(1.5,2);
f(1.75)<0,f(2)>0⇒x0∈(1.75,2);
f(1.75)<0,f(1.875)>0⇒x0∈(1.75,1.875);
f(1.75)<0,f(1.812 5)>0⇒x0∈(1.75,1.812 5).
∵1.75和1.812 5精确到0.1的近似值为1.8,
解由于f(-2)=-1<0,f(-3)=4>0,故函数f(x)的零点在区间(-3,-2)内.用二分法逐
次计算,列表如下:
区间
(-3,-2)
(-2.5,-2)
(-2.25,-2)
(-2.25,-2.125)
(-2.25,-2.187 5)
(-2.25,-2.218 75)
(-2.25,-2.234 375)
f(a)f(b)<0,则函数y=f(x)一定有零点.
(2)由函数y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点不一定
能推出f(a)f(b)<0,如图.事实上,只有当函数图象
通过零点(不是偶次零点)时,函数值才变号,即
相邻两个零点之间的函数值同号.
(3)若函数f(x)在区间[a,b]上具有单调性,且f(x)的图象是连续不断的一条曲
∴方程的近似解可取为1.8.
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)函数零点的定义;
(2)函数零点存在定理及其应用;
(3)二分法求函数零点的步骤.
2.方法归纳:转化化归、数形结合.
3.常见误区:
(1)忽视函数零点存在定理的适用条件;
(2)不能把函数、方程问题相互灵活转化.
学以致用•随堂检测全达标
1.通过下列函数的图象,判断能用二分法求其零点的是(
重难探究•能力素养全提升
探究点一 求函数的零点或零点的个数
角度1求函数的零点
2 + 2-3, ≤ 0,
【例 1】 (1)求函数 f(x)=
的零点;
-2 + ln, > 0
(2)已知函数f(x)=ax-b(a≠0)的零点为3,求函数g(x)=bx2+ax的零点.
解(1)当x≤0时,令x2+2x-3=0,解得x=-3或x=1(舍);
中点的值
-2.5
-2.25
-2.125
-2.187 5
-2.218 75
-2.234 375
-2.242 187 5
中点函数值(近似值)
1.25
0.062 5
-0.484 4
-0.214 8
-0.077 1
-0.007 6
0.027 4
由于-2.242 187 5与-2.234 375精确到0.1的近似值为-2.2,所以函数的一个近
知识点3 二分法求方程近似解的步骤
前提是要先判断某解所在的区间
名师点睛
二分法的实质:用二分法求方程的近似解,实质上就是通过“取中点”的方法,
运用“逼近”思想逐步缩小零点所在的区间,进而得到一个近似解.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)用二分法最后一定能求出函数零点.( × )
方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)函数y=ax(a>0且a≠1)没有零点.( √ )
(2)函数y=logax(a>0且a≠1)只有一个零点1.( √ )
2.函数的零点是函数与x轴的交点吗?
提示不是.函数的零点不是一个点,而是一个数,该数是函数图象与x轴交点
线,则f(a)f(b)<0⇔函数f(x)在(a,b)上只有一个零点.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)已知函数y=f(x),若f(a)f(b)>0,则y=f(x)在(a,b)内无零点.( × )
(2)设f(x)= 1 ,因为f(-1)·f(1)<0,所以f(x)= 1 在(-1,1)内有零点.( × )
的横坐标.
知识点2 函数零点存在定理
若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条不间断的曲线,
且 f(a)f(b)<0
,则函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点.
名师点睛
f(a)f(b)<0与函数f(x)存在零点的关系
(1)若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有
似负零点可取-2.2.
变式训练5
求方程lg x=2-x的近似解(精确到0.1).
解在同一平面直角坐标系中,作出y=lg x,y=2-x的图象如图所示,可以发现
方程lg x=2-x有唯一解,记为x0,并且解在区间(1,2)内.若f(x)=lg x+x-2,则f(x)
的零点为x0.
用计算器计算,得f(1)<0,f(2)>0⇒x0∈(1,2);
B.1
C.2
D.3
)
答案 C
解析
由f(x)=0得2x2-3x+1=0,解得x=
1
或x=1,所以函数f(x)有2个零点.
2
3.(2022山东模拟)在用二分法求方程3x+3x-8=0在(1,2)上近似解的过程中,
已经得到f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的解所在区间是(
内
容
索
引
01
基础落实•必备知识全过关
02
重难探究•能力素养全提升
03
学以致用•随堂检测全达标
基础落实•必备知识全过关
知识点1 函数的零点
函数y=f(x)的零点也就是方程f(x)=0的解
一般地,我们把使函数y=f(x)的值为0的
实数x
称为函数y=f(x)的零
点.
名师点睛
方程、函数、函数图象之间的关系
【例3】 (1)函数f(x)=ln(x+1)-
2
的零点所在的大致区间是(

)
A.(3,4) B.(2,e)
C.(1,2) D.(0,1)
(2)根据表格内的数据,可以断定方程ex-x-3=0的一个根所在区间是(
)
x
-1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.39
20.09
x+3
2
3
4
5
6
A.(-1,0) B.(0,1)