不断尝试 审辨反思 感悟思想——“神奇的尺子”教学实践与思考

2020.11m农f鑣学嫌丨
课前思考：
拓展课是近年来数学课堂实践的热门内容，主题涵盖数学魔术、数学实验、数学绘本等。

诸多 好素材被运用到了课堂，学生开阔了视野、锻炼了 思维。

如何将数学的一些本体性知识开发成拓展 课的资源?这是一线教师一直在探索的话题。

而开 发的难度在于:有些数学知识本身就比较“高端”，如果原封不动地呈现给学生，会感觉味同嚼蜡，难 以接受，需要教师进行智慧化的加工与创作。

一把长度为n的尺子，第一个刻度按习惯对 应于0,若尺上的每一对刻度可度量出不同的长 度，这样的尺子被称为哥隆尺。

图1是一把四阶的 哥隆尺，每两个刻度之间的长度是唯一的。

哥隆尺 没有要求能度量出所有的长度，但如果能做 到这一点的话，那么就称为完美哥隆尺（如图2)。

图1
图2简单的情境出发，将复杂的数学知识简单化处理，从而激发学生的探究兴趣，在操作思辨的过程中提升学习能力。

带着这些思考，我与四年级学生共同进行了一次尝试。

教学过程：
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课件出示一把尺子（如图3),询问：如果只 测一次，不累加，这把尺子可以测量出哪些长度？
(单位：cm)
图3
生：可以测量出1厘米到11厘米这些长度。

师：嗯，那如果想量出3厘米，该怎么量？
生：可以从刻度0量到刻度3。

生：也可以从1到4或者2到5,只要有3 格就行。

师：确实有多种方法，为了方便记录，我们可 以用减法算式来表示，比如刻度0到3,我们表示成3-0;刻度2到5,我们表示成5-2。

（教师边 说边板书）
师：接下来，我们要把这把尺子变一下，让它变得神奇一些。

(课件出示图4)
图4
由以上例子可知，哥隆尺与完美哥隆尺虽可 M以理解为有关集合与函数的知识，但其包含的数 @学思想非常朴实，哥隆尺中蕴含着唯一、不重复 一q的思想，完美哥隆尺中又蕴含着全纳、不遗漏的 思想，这些思想对发展学生数学思维有一定的帮i助。

尺子又是学生日常使用的学习用品，可以从
师：尺子哪里变了？
生：2,3,5,7这些刻度没有了。

师：还能量出丨〜11厘米这11种长度吗？请 判断并在活动单上记录方法，每一个长度记录一 种方法就可以。

学生进行思考并记录（如表丨）。

56
表1
长度
/cm
123456
7
8
9
1011
方法
反馈，发现都可以测量，而且有些长度有多 种方法。

【设计意图】通过对常规尺子测一次、不累加 能测量出哪些长度的讨论，明晰了记录方法；通 过去掉4个刻度后是否仍旧能测量出所有长度 的思考，学生独立尝试、记录，并在交流反馈的过 程中明晰有些长度可以用多种方法进行测量。

會去刻度，荨我濕羅靈—(一）去1个刻度，寻找完美尺子。

师：接下来我们一起来把尺子变得更加神奇 一些，如果在之前的基础上再去掉1个刻度，还 能测出1厘米到11厘米的所有长度，你觉得可 以去掉哪个刻度呢？（出示活动单1)
活动单1
活动要求：
1. 独立思考。

尝试去掉1个刻度，去掉刻度 后，依然能量出1〜11厘米所有的长度。

2. 小组交流。

a . 同桌2人相互核对是否符合要求。

b . 在4人小组中汇报成功的方法，方法少
的先说，组长负责记录。

c .
思考有什么发现并准备汇报。

0 1 4
6
8 9 10 11
我去掉的是（
）。

长度
/cm
1234
5
6
7
8
9
1011
方法
学生活动后进行反馈。

生：我们组一共有去掉1、去掉6、去掉8这 三种方法，验证过了都是成功的。

生：我们组有补充，去掉4或去掉9也都是 可以的。

生：去掉10也是可以的，我们组发现除了 0 和11,其他的都可以去掉。

师：为什么0和11不能去掉呢？
生：这个我们刚才讨论过了，主要是跟11厘
米这个长度有关，这把尺中能量出11厘米的方 法只有11-0这样一种方法，所以去掉0或 11，11厘米这个长度就量不出来了。

师:很棒，不但能发现规律，而且能解释规律 后面隐藏着的道理。

(二)去多个刻度，寻找完美尺子。

师：刚才我们发现去掉1个刻度，除了 0和 11不能去掉，其他的都成立。

下面我们要增加点 难度，把尺子变得更为神奇。

能不能去掉2个或 2个以上的刻度，仍旧能测量出所有的长度？（出 示活动单2)
活动单2
1. 独立思考。

尝试去掉2个或2个以上刻度， 去掉刻度后，依然能量出1~11厘米所有的长度。

2. 小组交流。

a .成功的同学汇报自己的方法，并请其他 组员进行验证；如果组内没有成功的方法，请 再进行相互启发和讨论。

b .思考有什么发现并准备汇报。

我去掉的是（ ）。

长度
/cm
1234567891011
方法
学生活动后进行汇报。

生：我们组只想出了一种成立的情况，去掉 2个刻度8和10,1~11分别可以这样表示：1 = 1-
0,2=6-4...
生：我们组也是去掉2个刻度的，找到2组， 分别是去掉4和9,或者是去掉1和6;我们验证
过了，成功。

我把我们的表格展示给大家。

(生边说边在实物展台上进行展示）师：还有补充吗？
师：大家已经非常厉害了，找到了三种成功 的方法，其实还有一'种，去掉6和8也能成功。

你 们刚才在找的时候有没有什么好的方法呢？
生：我们是靠试得出来的，0和11肯定不能 去掉，其他的选两个，6、8、9、10这里排得比较
物
焦
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—t f f .丨，孑&2020.11
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密，感觉至少要去掉i个。

师：这样的直觉也是非常重要的。

如果我们
要找好的策略，能不能从留下哪几个去思考呢？
谁愿意跟老师一起来试一试？
生：我来试一试,0和11肯定要，这样11已
经有了；想要得到10,需要留下1或10,我选择
1,这样1和10也有了；想要得到9,因为10已
经没有了，所以9必须在，这样9和2也有了；
再想8，因为9-1=8，那么8就可以不要了；剩下
的都要:7=11-4,6=6-0,5=11-6,4=4-0,3=4-1。

(学生边表达教师边在黑板上记录）
师：当然，如果一开始不留下1而留下10,
或者都留下而再考虑9或8是否留下，可能就
找到其他方法了。

感兴趣的同学可以课后再尝
试一下。

【设计意图】通过研究去掉1个刻度仍旧可
以测量1~11厘米所有长度的活动，让学生感受
“猜测一尝试一验证”的思考方法，并有效地利
用活动单，将学生不同方法进行呈现，通过比较
发现头、尾两个刻度不能去掉，并明晰了其中的
缘由，锻炼学生的思辨能力。

去掉几个刻度仍可
以测量1~11厘米所有长度的探究活动，是前一
个活动的跟进，有一定的难度，利用活动单引导
学生群策群力寻找成功的方法，并在教师的引
导下尝试利用推理寻找方法，感受推理的力量。

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师：刚才我们发现去掉2个刻度是可以成
功的，那有没有同学尝试去掉3个刻度的？
生：尝试了，但不行。

师：确实，去掉3个很难成功。

国外有个叫
哥隆的人，他在刚才我们的这把尺上去掉了3
个刻度，是这样去的，你能帮忙验证一下他成功
了吗？请在表格里填一填。

（课件出示，如图5)
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图5
学生在活动单的表格上验证。

教师同屏展示几个学生验证的表格。

（如
表2)
表2
长度
/c m1234567891011
方法1-011-94-14-09-411-49-19-011-111-0
师：哥隆成功了吗？
生：（齐）没有，6厘米没法测。

师：这把尺子很神奇，是以哥隆的名字命名
的，叫作“哥隆尺”。

大家观察一下这几个同学验
证的表格，你有什么发现？
生：哦，我发现了，这把尺测量出这些长度
的方法都是一样的。

师:有的同学可能没有听明白，谁能再解释一下?
生：之前的尺子，测量某一个长度可以有多
种方法；这把尺子虽然不能测量出6厘米，但其
他的长度都只有一种测量方法。

师：确实很神奇，像这样测量方法唯一的尺
子就称为“哥隆尺”，而像之前能够测量出I到
最大刻度之间所有长度的尺子，我们称为“完美
尺”。

那么大家想一想，会有“完美哥隆尺”吗？
生：应该有吧。

师:确实有,但只有4把。

老师先告诉你们1把,
看看你们能不能看懂。

(教师在黑板上画尺子，如图6)
图6
生：我看懂了，很简单，1=1-0、2=3-1、3=3-0,
所有的长度都是唯一的，而且1〜3都能测量出来。

师：真厉害，那另外的3把会是怎么样的
呢？我们留到课后去思考。

师：这节课你有什么收获？
(生答略）
【设计意图】通过“去掉3个刻度是否成功”的
交流，引出“哥隆尺”。

通过比较多个学生的验证方
法，发现这把尺子虽然不能测量出6,但其他长度
的测量方法都是唯一的，从而理解“哥隆尺”的神
奇之处。

由此再进一步了解“完美哥隆尺”，通过教
师引导，发现1把简单的“完美哥隆尺”，并留下悬
念，激发学生继续寻找另外3把“完美哥隆尺”的
兴趣，让兴趣成为学生继续探究的动力。

(作者单位：浙江杭州市天长小学）[]] 58。