2.1合情推理与演绎证明1 人教课标版
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因此tanα是周期函;数
6两条直线平,同行旁内角互.如补果A与B
是两条平行的同旁,那内么角AB1800.
上面的推理都是从性一的般原理出,推发出某
个特殊情况下的,我 结们 论把这种推理演称为
绎推理 demonstriavet reasonin.简 g 言之 ,
演绎推理是由一般殊到.想 例如,欧几里得《的 原本》就是一个典
型的演绎系,它 统从10条公理和公设出 ,利发 用 演绎推,理 推出所有命. 题
参《见 数 学 2》第 二 章 的 阅目 读 "欧 与几 思里 考得 栏
的 《原》本 与公理"化 . 方法
像这种尽可能少地原选始取概念和一组不明加证
的原始命(公 名理、公)设 ,以此为出发,应点用演绎 推理,推出尽可能多的结方论法,的 称为公理化方 法.公理化方法的精:髓 利是 用尽可能少的,推 前提 出尽可能多的.结论
继《 原 本》之 后 ,公 理 化 方 法 广 泛自应然用科于学 、 社 会 科 学.领 例域 如,牛 顿 在 他 的《自 巨然 著哲 学 的 数 学 原》中 理,以 牛 顿 三 定 理,为 运公 用理 演 绎 推 理 推 出 关 于体天 空 间 的 一 系 列 科,建 学立 理了 论牛 顿 力 学 的 一 整 套理完论整体的 . 系 至,此 我 们 学 习 了式 两 种 合推 情理 推方 理 与 推.理 思考合情推理与演绎 主推 要理 区的 别是?什么 归纳和类比是常用情的推合理 .从推理形式上 , 看 归纳是部分到整体别、到个一般的推 ,类理比是 由特殊到特殊的;推 演理 绎推理是是由一特般到 殊的推.理 从推理所得结论,合 来情 看推理的结论
的一, 半
大前提
C D
E
A
M
B
图2.13
而M 点 是 RΔtAB的 C斜 A的 B 边中 ,D点 M 是斜边上 , 的中线 小前提
所以 DM1AB.
结论
2
同理 ,EM1AB. 所以 ,DM EM . 2
大前提 : M是 P. "三段论"可以表示为小前提 : S 是 P.
结 论 : S是 P.
我 们 还 可 以 利识 用说 集"明 三 合段 知"论 :若 集 合M的 所 有 元 素 都P具 ,S是 有M的 性一 质个 子 集,那 么 S中 所 有 元 素 也质 都P.具 有 性 由 此 可 ,应见用 三 段 论 解,决 首问 先题 应时 该 明 确 什 么 是 大 前提 提.但 和为 小了 前叙 述 ,如简 洁 果 大 前 提 是,则 显可 然以 的.省 略 再来看一个例子 .
而y
1
x
是指数函数
,
2
所以 y 1 x 是增函数 . 2
1上面的推理形式正确吗 ?
2推理的结论正确吗 ? 为什么 ?
大前提 小前提
结论
上述推理的形式正确,但大前提是错误的
因为指数函y数ax,0a1是减函数,
所以所得的结论是的 错.误
"三段论 "是由古希腊的亚里德士创多立.的 亚里 多士德还提出了用推演理绎来建立各门学科体
因 , f x 1 f x 2 此 0 , 即 f x 1 f x 2 .
于 ,根 是 "三 据 ",得 段 fx 论 x 2 2 x 在 ,1
上是 . 增函数
在 演 绎 推,只 理要 中前 提 和 推 理 正形 确,式 的是 结 论 必 定 是.正 确 的
思考 因为指数函数 y ax是增函数 ,
AC,D,E是 垂 足.求 证: AB的 中
点M到D,E的 距 离 相.等 A
M
B
证明 1因为有一个内角是 图2.13
直角的三角形是直,角形
大前提
在 Δ A中 B ,AD D B ,即 C A D 90 ,B 0 小 前 提
所以ΔABD是直三角形 .
结论
同理,ΔAEB也是直三角 . 形
2因为直角三角上 形的 的中 斜线 边等于
3 在 一 个 标 准 大 气 压 下 ,水 的 沸 点 是 100 0 C , 所
以 在 一 个 标 准 大 气 压 下 把 水 加 热 到 100 0 C 时 ,水 会沸腾 ;
4一切奇数都不2能整被除, 21001是奇数 , 所以21001不能被2整除;
5三角函数都是周期,ta函nα数 是三角函,数
就数学而,演 言绎推理是证明数论学、结建立数 学体系的重要思维,但 过数 程学结论、证明思路 等的发,现 主要靠合情推 .因理此,我们不仅要学会 证明,也要学会猜. 想
同学们，再见！
不一定正 ,有确待进一步;演 证绎 明推理在大前提 小前提和推理形确 式的 都前 正提 ,得下到的结论 一定正. 确 人们在认识世界的中过 ,需程要通过观察、实验 等获取经;验 也需要辨别它们的,或真将伪积累的 知识加工、整,使理之条理化、系.合 统情 化推理 和演绎推理分别在这两个环扮节演中着重要角 色.
2.1.2 演绎推理
在日常生活和数学学习 中,我们还经常以某些 一般的判断为前提 ,得出一些个别的、具体 的 判 断 .例 如 :
1所 有 的 金 属 都 能 够 导 电 , 铀 是 金 属 , 所 以 铀
能够导电 ;
2 太阳系的大行星都以椭 圆形轨道绕太阳运
行 ,冥 王 星 是 太 阳 系 的 大 行 星 ,因 此 冥 王 星 以 椭 圆形轨道绕太阳运行 ;
上面列举的演绎推例理子的都有三,称段为"三段论 ". 其中第一段称"大为前提",如"所有的金属都能够 电",讲的是一般原 ;第理二段称"小 为前提 ",如"铀是金 属",指的是一种特殊;第 情三 况段称"结 为论",如"铀能 够导电 ",是所得的结. 论
"三段论 "是演绎推理的一,般 包模 括: 式
的定 ,这 义是证明本 . 例的关键
证明 任x取 1,x2,1,且 x1x2,
fx1fx2x1 22x1x2 22x2
x2x1x2x12.
因 x 1 为 x 2 ,所 x 2 以 x 1 0 ; 因 x 1 , x 2 1 为 , x 1 x 2 , 所 x 2 x 1 以 2 0 .
1大前提已知的一般;原理 2小前提所研究的特殊; 情况 3结论 根据一般原 ,对理特殊情况做出 . 判断
思考你能再举出 "三一 段"些 推 论用 理的例 ? 子 数 学 的 证 明绎 主推 要理 通来 过 .我 进 演们 行来 的 一 个.例 子
例5 如 图2.13所 示,在 锐 角
C D
三 角 形ABC中,ADBC,BE E
例 6证 明 fx 函 x2 数 2 x在 ,1 上 是
函. 数
分 析 证 明 本 例 所 依 据提 的是 大增 前函 数 的 定
义,即 函 数 yfx满 足:在 给 定 区 间 内 任 取 自 量 的 两 个x1,值 x2,若x1 x2,则 有fx1fx2.
小前f提 x是 x22x,x,1满足增函
6两条直线平,同行旁内角互.如补果A与B
是两条平行的同旁,那内么角AB1800.
上面的推理都是从性一的般原理出,推发出某
个特殊情况下的,我 结们 论把这种推理演称为
绎推理 demonstriavet reasonin.简 g 言之 ,
演绎推理是由一般殊到.想 例如,欧几里得《的 原本》就是一个典
型的演绎系,它 统从10条公理和公设出 ,利发 用 演绎推,理 推出所有命. 题
参《见 数 学 2》第 二 章 的 阅目 读 "欧 与几 思里 考得 栏
的 《原》本 与公理"化 . 方法
像这种尽可能少地原选始取概念和一组不明加证
的原始命(公 名理、公)设 ,以此为出发,应点用演绎 推理,推出尽可能多的结方论法,的 称为公理化方 法.公理化方法的精:髓 利是 用尽可能少的,推 前提 出尽可能多的.结论
继《 原 本》之 后 ,公 理 化 方 法 广 泛自应然用科于学 、 社 会 科 学.领 例域 如,牛 顿 在 他 的《自 巨然 著哲 学 的 数 学 原》中 理,以 牛 顿 三 定 理,为 运公 用理 演 绎 推 理 推 出 关 于体天 空 间 的 一 系 列 科,建 学立 理了 论牛 顿 力 学 的 一 整 套理完论整体的 . 系 至,此 我 们 学 习 了式 两 种 合推 情理 推方 理 与 推.理 思考合情推理与演绎 主推 要理 区的 别是?什么 归纳和类比是常用情的推合理 .从推理形式上 , 看 归纳是部分到整体别、到个一般的推 ,类理比是 由特殊到特殊的;推 演理 绎推理是是由一特般到 殊的推.理 从推理所得结论,合 来情 看推理的结论
的一, 半
大前提
C D
E
A
M
B
图2.13
而M 点 是 RΔtAB的 C斜 A的 B 边中 ,D点 M 是斜边上 , 的中线 小前提
所以 DM1AB.
结论
2
同理 ,EM1AB. 所以 ,DM EM . 2
大前提 : M是 P. "三段论"可以表示为小前提 : S 是 P.
结 论 : S是 P.
我 们 还 可 以 利识 用说 集"明 三 合段 知"论 :若 集 合M的 所 有 元 素 都P具 ,S是 有M的 性一 质个 子 集,那 么 S中 所 有 元 素 也质 都P.具 有 性 由 此 可 ,应见用 三 段 论 解,决 首问 先题 应时 该 明 确 什 么 是 大 前提 提.但 和为 小了 前叙 述 ,如简 洁 果 大 前 提 是,则 显可 然以 的.省 略 再来看一个例子 .
而y
1
x
是指数函数
,
2
所以 y 1 x 是增函数 . 2
1上面的推理形式正确吗 ?
2推理的结论正确吗 ? 为什么 ?
大前提 小前提
结论
上述推理的形式正确,但大前提是错误的
因为指数函y数ax,0a1是减函数,
所以所得的结论是的 错.误
"三段论 "是由古希腊的亚里德士创多立.的 亚里 多士德还提出了用推演理绎来建立各门学科体
因 , f x 1 f x 2 此 0 , 即 f x 1 f x 2 .
于 ,根 是 "三 据 ",得 段 fx 论 x 2 2 x 在 ,1
上是 . 增函数
在 演 绎 推,只 理要 中前 提 和 推 理 正形 确,式 的是 结 论 必 定 是.正 确 的
思考 因为指数函数 y ax是增函数 ,
AC,D,E是 垂 足.求 证: AB的 中
点M到D,E的 距 离 相.等 A
M
B
证明 1因为有一个内角是 图2.13
直角的三角形是直,角形
大前提
在 Δ A中 B ,AD D B ,即 C A D 90 ,B 0 小 前 提
所以ΔABD是直三角形 .
结论
同理,ΔAEB也是直三角 . 形
2因为直角三角上 形的 的中 斜线 边等于
3 在 一 个 标 准 大 气 压 下 ,水 的 沸 点 是 100 0 C , 所
以 在 一 个 标 准 大 气 压 下 把 水 加 热 到 100 0 C 时 ,水 会沸腾 ;
4一切奇数都不2能整被除, 21001是奇数 , 所以21001不能被2整除;
5三角函数都是周期,ta函nα数 是三角函,数
就数学而,演 言绎推理是证明数论学、结建立数 学体系的重要思维,但 过数 程学结论、证明思路 等的发,现 主要靠合情推 .因理此,我们不仅要学会 证明,也要学会猜. 想
同学们，再见！
不一定正 ,有确待进一步;演 证绎 明推理在大前提 小前提和推理形确 式的 都前 正提 ,得下到的结论 一定正. 确 人们在认识世界的中过 ,需程要通过观察、实验 等获取经;验 也需要辨别它们的,或真将伪积累的 知识加工、整,使理之条理化、系.合 统情 化推理 和演绎推理分别在这两个环扮节演中着重要角 色.
2.1.2 演绎推理
在日常生活和数学学习 中,我们还经常以某些 一般的判断为前提 ,得出一些个别的、具体 的 判 断 .例 如 :
1所 有 的 金 属 都 能 够 导 电 , 铀 是 金 属 , 所 以 铀
能够导电 ;
2 太阳系的大行星都以椭 圆形轨道绕太阳运
行 ,冥 王 星 是 太 阳 系 的 大 行 星 ,因 此 冥 王 星 以 椭 圆形轨道绕太阳运行 ;
上面列举的演绎推例理子的都有三,称段为"三段论 ". 其中第一段称"大为前提",如"所有的金属都能够 电",讲的是一般原 ;第理二段称"小 为前提 ",如"铀是金 属",指的是一种特殊;第 情三 况段称"结 为论",如"铀能 够导电 ",是所得的结. 论
"三段论 "是演绎推理的一,般 包模 括: 式
的定 ,这 义是证明本 . 例的关键
证明 任x取 1,x2,1,且 x1x2,
fx1fx2x1 22x1x2 22x2
x2x1x2x12.
因 x 1 为 x 2 ,所 x 2 以 x 1 0 ; 因 x 1 , x 2 1 为 , x 1 x 2 , 所 x 2 x 1 以 2 0 .
1大前提已知的一般;原理 2小前提所研究的特殊; 情况 3结论 根据一般原 ,对理特殊情况做出 . 判断
思考你能再举出 "三一 段"些 推 论用 理的例 ? 子 数 学 的 证 明绎 主推 要理 通来 过 .我 进 演们 行来 的 一 个.例 子
例5 如 图2.13所 示,在 锐 角
C D
三 角 形ABC中,ADBC,BE E
例 6证 明 fx 函 x2 数 2 x在 ,1 上 是
函. 数
分 析 证 明 本 例 所 依 据提 的是 大增 前函 数 的 定
义,即 函 数 yfx满 足:在 给 定 区 间 内 任 取 自 量 的 两 个x1,值 x2,若x1 x2,则 有fx1fx2.
小前f提 x是 x22x,x,1满足增函