八年级数学第五章相交线与平行线单元测试卷检测题(WORD版含答案)

八年级数学第五章相交线与平行线单元测试卷检测题（WORD 版含答案）
一、选择题
1．如图，下列能判断AB ∥CD 的条件有 （ ）
①∠B +∠BCD =180° ②∠1 = ∠2 ③∠3 =∠4 ④∠B = ∠5 A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．如图，在三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC =，点D 是线段BC 上任意一点，连接AD ，则线段AD 的长不可能．．．
是（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
3．如图，直角三角形ABC 的直角边AB =6，BC =8，将直角三角形ABC 沿边BC 的方向平移到三角形DEF 的位置，DE 交AC 于点G ，BE =2，三角形CEG 的面积为13.5，下列结论：①三角形ABC 平移的距离是4；②EG =4.5；③AD ∥CF ；④四边形ADFC 的面积为6．其中正确的结论是
A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．②④
4．下列语句中，假命题的是（ ） A ．垂线段最短
B ．如果直线a 、b 、c 满足a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥c
C ．同角的余角相等
D ．如果∠AOB ＝80°，∠BOC ＝20°，那么∠AOC ＝60°
5．如图，点E 在CD 的延长线上，下列条件中不能判定AB ∥CD 的是（ ）
A ．∠1=∠2
B ．∠3=∠4
C ．∠5=∠B
D ．∠B +∠BDC =180°
6．如图，直线12//,,140l l αβ∠=∠∠=︒，则2∠等于（ ）
A ．140︒
B ．130︒
C ．120︒
D ．110︒
7．如图，ABC 的角平分线CD 、BE 相交于F ，90A ∠=︒，//EG BC ，且CG EG ⊥于G ，下列结论：①2CEG DCB ∠=∠；②CA 平分BCG ∠；③ADC GCD ∠=∠；④1
2
DFB CGE ∠=
∠.其中正确的结论是( )
A ．①③④
B ．①②③
C ．②④
D ．①③
8．如图1n //AB CB ，则∠1+∠2+∠3+…+∠n=（ ）
A ．540°
B ．180°n
C ．180°(n-1)
D ．180°(n+1)
9．如图，AB ∥CD ，BF ,DF 分别平分∠ABE 和∠CDE ，BF ∥DE ，∠F 与∠ABE 互补，则∠F 的
度数为
A ．30°
B ．35°
C ．36°
D ．45°
10．下列定理中，没有逆定题的是（ ） ①内错角相等，两直线平行 ②等腰三角形两底角相等 ③对顶角相等
④直角三角形的两个锐角互余． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
11．（2017•十堰）如图，AB ∥DE ，FG ⊥BC 于F ，∠CDE=40°，则∠FGB=（ ）
A ．40°
B ．50°
C ．60°
D ．70°
12．能说明命题“若a ＞b ，则3a ＞2b “为假命题的反例为（ ）
A ．a ＝3，b ＝2
B ．a ＝﹣2，b ＝﹣3
C ．a ＝2，b ＝3
D ．a ＝﹣3，b ＝﹣2
二、填空题
13．镇江市旅游局为了亮化某景点，在两条笔直且互相平行的景观道MN 、QP 上分别放置A 、B 两盏激光灯，如图所示．A 灯发出的光束自AM 逆时针旋转至AN 便立即回转；B 灯发出的光束自BP 逆时针旋转至BQ 便立即回转，两灯不间断照射，A 灯每秒转动12°，B 灯每秒转动4°．B 灯先转动12秒，A 灯才开始转动．当B 灯光束第一次到达BQ 之前，两灯的光束互相平行时A 灯旋转的时间是 ．
14．小明将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C 按如图所示的方式叠放在一起，当∠ACE ＜180°且点E 在直线AC 的上方时，他发现若∠ACE ＝_____，则三角板BCE 有一条边与斜边AD 平行．
15．α∠与β∠的两边互相垂直，且o 50α∠=，则β∠的度数为_________.
16．如图，AC ⊥AB ，AC ⊥CD ，垂足分别是点A 、C ，如果∠CDB=130°，那么直线AB 与BD 的夹角是________度．
17．如图，AB ∥CD ，∠B ＝75°，∠E ＝27°，则∠D 的度数为_____．
18．小明用一副三角板自制对顶角的“小仪器”，第一步固定直角三角板ABC ，并将边AC 延长至点P ，第二步将另一块三角板CDE 的直角顶点与三角板ABC 的直角顶点C 重合，摆放成如图所示，延长DC 至点F ，PCD ∠与ACF ∠就是一组对顶角，若
30ACF ∠=，则PCD ∠=__________，若重叠所成的(090)BCE n n ∠=<<，则
PCF ∠的度数__________．
19．如图，//AB CD ，FN AB ⊥，垂足为点O ，EF 与CD 交于点G ，若130∠=︒，则2∠=______．
20．观察下列图形：已知a b ，在第一个图中，可得∠1+∠2=180°，则按照以上规律：
112n P P ∠+∠+∠++∠=…_________度．
三、解答题
21．问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°．求∠APC度数．
小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠APC=50°+60°=110°．
问题迁移：
(1)如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，
∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；
(2)在(1)的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时(点P与点A、B、O三点不重合)，请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．
22．钱塘江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a﹣3b|+（a+b﹣4）2＝0．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN＝45°．
（1）求a、b的值；
（2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
（3）如图，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前，若射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动过程中，∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围．
23．课题学习：平行线的“等角转化”功能． 阅读理解：
如图1，已知点A 是BC 外一点，连接AB ，AC ，求BAC B C ∠+∠+∠的度数．
（1）阅读并补充下面推理过程． 解：过点A 作ED BC ∥
B EAB ∴∠=∠，
C ∠=__________． __________180=︒
180B BAC C ∴∠+∠+∠=︒
解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将BAC ∠，B ，C ∠“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
方法运用： （2）如图2，已知AB
ED ，试说明：180D BCD B ∠+∠-∠=︒（提示：过点C 做
CF AB ∥）． 深化拓展：
（3）已知AB CD ∥，点C 在点D 的右侧，70ADC ∠=︒．BE 平分ABC ∠，DE 平分ADC ∠，BE ，DE 所在的直线交于点E ，点E 在AB 与CD 两条平行线之间． ①如图3，点B 在点A 的左侧，若60ABC ∠=︒，则BED ∠的度数为________．
②如图4，点B 在点A 的右侧，且<AB CD ，AD BC <．若ABC n ∠=︒，则BED ∠的度数为________．（用含n 的代数式表示）
24．如图，如图1，在平面直角坐标系中，已知点A （﹣4，﹣1）、B （﹣2，1），将线段AB 平移至线段CD ，使点A 的对应点C 在x 轴的正半轴上，点D 在第一象限．
（1）若点C 的坐标（k ，0），求点D 的坐标（用含k 的式子表示）； （2）连接BD 、BC ，若三角形BCD 的面积为5，求k 的值；
（3）如图2，分别作∠ABC 和∠ADC 的平分线，它们交于点P ，请写出∠A 、和∠P 和∠BCD 之间的一个等量关系，并说明理由．
25．如图，AB ∥CD ．
（1）如图1，∠A 、∠E 、∠C 的数量关系为 ．
（2）如图2，若∠A ＝50°，∠F ＝115°，求∠C ﹣∠E 的度数；
（3）如图3，∠E ＝90°，AG ，FG 分别平分∠BAE ，∠CFE ，若GD ∥FC ，试探究∠AGF 与∠GDC 的数量关系，并说明理由．
26．AB ∥CD ，点P 为直线AB ，CD 所确定的平面内的一点． （1）如图1，写出∠APC 、∠A 、∠C 之间的数量关系，并证明； （2）如图2，写出∠APC 、∠A 、∠C 之间的数量关系，并证明；
（3）如图3，点E 在射线BA 上，过点E 作EF ∥PC ，作∠PEG ＝∠PEF ，点G 在直线CD 上，作∠BEG 的平分线EH 交PC 于点H ，若∠APC ＝30°，∠PAB ＝140°，求∠PEH 的度数．
27．将一副三角板中的两个直角顶点C 叠放在一起（如图①），其中30A ∠=︒，
60B ∠=︒，45D E ∠=∠=︒.
（1）猜想BCD ∠与ACE ∠的数量关系，并说明理由； （2）若3BCD ACE ∠=∠，求BCD ∠的度数；
（3）若按住三角板ABC 不动，绕顶点C 转动三角DCE ，试探究BCD ∠等于多少度时
//CE AB ，并简要说明理由.
28．如图，已知直线//AB CD ，,M N 分别是直线,AB CD 上的点.
（1）在图1中，判断,BME MEN ∠∠和DNE ∠之间的数量关系，并证明你的结论； （2）在图2中，请你直接写出,BME MEN ∠∠和DNE ∠之间的数量关系（不需要证明）；
（3）在图3中，MB 平分EMF ∠，NE 平分DNF ∠，且2180F E ∠+∠=，求FME ∠的度数.
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一、选择题 1．C 解析：C 【分析】
判断平行的条件有：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，依次判断各选项是否符
合． 【详解】
①∠B +∠BCD =180°，则同旁内角互补，可判断AB ∥CD ； ②∠1 = ∠2，内错角相等，可判断AD ∥BC ，不可判断AB ∥CD ； ③∠3 =∠4，内错角相等，可判断AB ∥CD ； ④∠B = ∠5，同位角相等，可判断AB ∥CD 故选：C 【点睛】
本题考查平行的证明，注意②中，∠1和∠2虽然是内错角关系，但对应的不是AB 与CD 这两条直线，故是错误的．
2．A
解析：A 【分析】
根据垂线段最短即可判断． 【详解】 ∵90ACB ∠=︒
∴点A 到线段CB 最短的最短距离为AC=4 ∴AD 的长最短为4 故选A ． 【点睛】
本题考查了垂线段最短，直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．
3．B
解析：B 【解析】
分析：(1)对应线段的长度即是平移的距离；(2)根据EC 的长和△CEG 的面积求EG ；(3)平移前后，对应点的连线平行且相等；(4)根据平行四边形的面积公式求.
详解：(1)因为点B ，E 是对应点，且BE ＝2，所以△ABC 平行的距离是2，则①错误； ②根据题意得，13.5×2＝(8－2)EG ，解得EG ＝4.5，则②正确； ③因为A ，D 是对应点，C ，F 是对应点，所以AD ∥CF ，则③正确； ④平行四边形ADFC 的面积为AB ·CF ＝AB ·BE ＝6×2＝12，则④错误. 故选B .
点睛：本题考查了平移的性质，平移的性质有：①平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小；②平移得到的图形与原图形中的对应线段平行(或在同一条直线上)且相等，对应角相等；对应点连线平行(或在同一条直线上)且相等.
4．D
解析：D 【分析】
分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案． 【详解】
解：A、垂线段最短是真命题，故A不符合题意；
B、如果直线a、b、c满足a∥b，b∥c，那么a∥c是真命题，故B不符合题意；
C、同角的余角相等是真命题，故C不符合题意；
D、如果∠AOB=80°，∠BOC=20°，那么∠AOC=60°或100°，是假命题，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】
主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
5．A
解析：A
【分析】
运用平行线的判定方法进行判定即可.
【详解】
解：选项A中，∠1=∠2，只可以判定AC//BD（内错角相等，两直线平行），所以A错误；
选项B中，∠3=∠4，可以判定AB//CD（内错角相等，两直线平行），所以正确；
选项C中，∠5=∠B，AB//CD（内错角相等，两直线平行），所以正确；
选项D中，∠B +∠BDC=180°，可以判定AB//CD（同旁内角互补，两直线平行），所以正确；
故答案为A.
【点睛】
本题考查平行的判定,正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键.
6．A
解析：A
【分析】
作出如下图所示的辅助线，然后再利用平行线的性质即可求解．
【详解】
解：如图所示，作直线m∥n∥l1∥l2，
此时有∠3=∠1=40°，∠6=180°-∠2，∠4=∠5，
又∠α=∠3+∠4，∠β=∠5+∠6=∠5+(180°-∠2)，
且∠α=∠β，
∴∠3+∠4=∠5+(180°-∠2)，由于∠4=∠5，
∴∠3=180°-∠2，代入数据：
40°=180°-∠2，
∴∠2=140°，
故选：A ．
【点睛】
本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．熟记性质并作辅助线是解题的关键．
7．A
解析：A
【分析】
根据平行线、角平分线、垂直的性质及三角形内角和定理依次判断即可得出答案．
【详解】
解：①∵EG ∥BC ，
∴∠CEG ＝∠ACB ，
又∵CD 是△ABC 的角平分线，
∴∠CEG ＝∠ACB ＝2∠DCB ，故本选项正确；
②无法证明CA 平分∠BCG ，故本选项错误；
③∵∠A ＝90°，
∴∠ADC +∠ACD ＝90°，
∵CD 平分∠ACB ，
∴∠ACD ＝∠BCD ，
∴∠ADC +∠BCD ＝90°．
∵EG ∥BC ，且CG ⊥EG ，
∴∠GCB ＝90°，即∠GCD +∠BCD ＝90°，
∴∠ADC ＝∠GCD ，故本选项正确；
④∵∠EBC +∠ACB ＝∠AEB ，∠DCB +∠ABC ＝∠ADC ，
∴∠AEB +∠ADC ＝90°+
12
（∠ABC +∠ACB ）＝135°， ∴∠DFE ＝360°﹣135°﹣90°＝135°， ∴∠DFB ＝45°＝
12
∠CGE ，故本选项正确． 故选：A ．
【点睛】
本题考查的是三角形内角和定理，熟知直角三角形的两锐角互余是解答此题的关键． 8．C
解析：C
【分析】
根据题意，作21//DB AB ，31//EB AB ，41//FB AB ，由两直线平行，同旁内角互补，即
可求出答案．
【详解】
解：根据题意，作21//DB AB ，31//EB AB ，41//FB AB ，
∵1n //AB CB ，
∴121180B B D ∠+∠=︒，2323180DB B B B E ∠+∠=︒，
3434180EB B B B F ∠+∠=︒，……
∴122323343411803B B D DB B B B E EB B B B F ∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒⨯，…… ∴123180(1)n n ∠+∠+∠+
+∠=︒⨯-；
故选：C ．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，解题的关键是正确作出辅助线，熟练运用两直线平行同旁内角互补进行证明． 9．C
解析：C
【解析】
【分析】
延长BG 交CD 于G,然后运用平行的性质和角平分线的定义，进行解答即可.
【详解】
解：如图延长BG 交CD 于G
∵BF ∥ED
∴∠F=∠EDF
又∵DF 平分∠CDE，
∴∠CDE=2∠F，
∵BF∥ED
∴∠CGF=∠EDF=2∠F，
∵AB∥CD
∴∠ABF=∠CGF=2∠F，
∵BF平分∠ABE
∴∠ABE=2∠ABF=4∠F，
又∵∠F 与∠ABE 互补
∴∠F +∠ABE =180°即5∠F=180°，解得∠F=36°
故答案选C.
【点睛】
本题考查了平行的性质和角平分线的定义，做出辅助线是解答本题的关键. 10．A
解析：A
【解析】试题分析：根据题意可知：
①的逆命题是两直线平行，内错角相等，是真命题，是逆定理；
②的逆命题是有两个角相等的三角形是等腰三角形，是真命题，是逆定理；
③的逆命题是相等的两个角是对顶角，是假命题，不是逆定理；
④的逆命题是有两个锐角互余的三角形是直角三角形，是真命题，是逆定理.只有一个不是逆定理.
故选：A
11．B
解析：B
【解析】
试题分析：由AB∥DE，∠CDE=40°，
∴∠B=∠CDE=40°，
又∵FG⊥BC，
∴∠FGB=90°﹣∠B=50°，
故选B．
考点：平行线的性质
12．B
解析：B
【分析】
本题每一项代入题干命题中，不满足题意即为反例．
【详解】
解：当a＝﹣2，b＝﹣3时，﹣2＞﹣3，而3×（﹣2）＝2×（﹣3），
即a＞b时，3a＝2b，
∴命题“若a＞b，则3a＞2b”为假命题，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是假命题的证明，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
二、填空题
13．6秒或19.5秒
【分析】
设A灯旋转t秒，两灯光束平行，B灯光束第一次到达BQ需要180÷4＝45（秒），推出t≤45−12，即t≤33．利用平行线的性质，结合角度间关系，构建方程即可解答．
【详
解析：6秒或19.5秒
【分析】
设A灯旋转t秒，两灯光束平行，B灯光束第一次到达BQ需要180÷4＝45（秒），推出t≤45−12，即t≤33．利用平行线的性质，结合角度间关系，构建方程即可解答．
【详解】
解：设A灯旋转t秒，两灯的光束平行，B灯光束第一次到达BQ需要180÷4＝45（秒），∴t≤45﹣12，即t≤33．
由题意，满足以下条件时，两灯的光束能互相平行：
①如图，∠MAM'＝∠PBP'，12t＝4（12+t），解得t＝6；
②如图，∠NAM'+∠PBP'＝180°，12t﹣180+4（12+t）＝180，解得t＝19.5；
综上所述，满足条件的t的值为6秒或19.5秒．
故答案为：6秒或19.5秒．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．14．或或
【分析】
分三种情形画出图形分别建立好几何模型求解，即可解决问题．
【详解】
解：有三种情形：①如图1中，当AD∥BC时．
∵AD∥BC，∴∠D＝∠BCD＝30°，
∵∠ACE+∠E
解析：30或120︒或165︒
【分析】
分三种情形画出图形分别建立好几何模型求解，即可解决问题．
【详解】
解：有三种情形：①如图1中，当AD∥BC时．
∵AD∥BC，∴∠D＝∠BCD＝30°，
∵∠ACE+∠ECD＝∠ECD+∠DCB＝90°，
∴∠ACE＝∠DCB＝30°．
②如图2中，当AD∥CE时，
∠DCE＝∠D＝30°，可得∠ACE＝90°+30°＝120°．
③如图2中，当AD∥BE时，延长BC交AD于M．
∵AD∥BE，∴∠AMC=∠B=45°，
∴∠ACM＝180°-60°-45°＝75°，
∴∠ACE＝75°+90＝165°，
综上所述，满足条件的∠ACE的度数为30°或120°或165°．
故答案为30°或120°或165°．
【点睛】
本题考查旋转变换、平行线的判定和性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的首先思考问题，属于中考常考题型．
15．130°或50°
【解析】
【分析】作图分析，若两个角的边互相垂直，那么这两个角必相等或互补，可据此解答．
【详解】如图∵β的两边与α的两边分别垂直，
∴α+β=180°
故β=130°，
在上述情
解析：130°或50°
【解析】
【分析】作图分析，若两个角的边互相垂直，那么这两个角必相等或互补，可据此解答．
【详解】如图∵β的两边与α的两边分别垂直，
∴α+β=180°
故β=130°，
在上述情况下，若反向延长∠β的一边，那么∠β的补角的两边也与∠α的两边互相垂直，故此时∠β=50；
综上可知：∠β=50°或130°，
故正确答案为：
【点睛】本题考核知识点：四边形内角和. 解题关键点：根据题意画出图形，分析边垂直的2种可能情况.
16．50
【分析】
先根据平行线的判定可得，再根据平行线的性质、两直线的夹角的定义即可得．
【详解】
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴直线AB 与BD 的夹角是50度，
故答案为：50．
【点睛】
本题考查了平
解析：50
【分析】
先根据平行线的判定可得//AB CD ，再根据平行线的性质、两直线的夹角的定义即可得．
【详解】
∵AC AB ⊥，AC CD ⊥，
∴//AB CD ，
∵130CDB ∠=︒，
∴18050ABD CDB ∠=︒-∠=︒，
∴直线AB 与BD 的夹角是50度，
故答案为：50．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质、两直线的夹角的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．
17．48°
【分析】
将BE 与CD 交点记为点F ，由两直线平行同位角相等得出∠EFC 度数，再利用三角形外角的性质可得答案．
【详解】
解：如图所示，将BE 与CD 交点记为点F ，
∵AB∥CD，∠B＝75°
解析：48°
【分析】
将BE 与CD 交点记为点F ，由两直线平行同位角相等得出∠EFC 度数，再利用三角形外角的性质可得答案．
【详解】
解：如图所示，将BE 与CD 交点记为点F ，
∵AB ∥CD ，∠B ＝75°，
∴∠EFC ＝∠B ＝75°，
又∵∠EFC ＝∠D +∠E ，且∠E ＝27°，
∴∠D ＝∠EFC ﹣∠E ＝75°﹣27°＝48°，
故答案为：48°．
【点睛】
本题考查平行线的性质和三角形外角性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等这一性质．
18．30° 180°－n°
【分析】
（1）根据对顶角相等，可得答案；
（2）根据角的和差，可得答案．
解：（1）若∠ACF=30°，则∠PCD=30°，理由是对顶角相等．
（2
解析：30° 180°－n°
【分析】
（1）根据对顶角相等，可得答案；
（2）根据角的和差，可得答案．
【详解】
解：（1）若∠ACF=30°，则∠PCD=30°，理由是对顶角相等．
（2）由角的和差，得∠ACD+∠BCE=∠ACB+∠BCD+∠BCE=∠ACB+∠DCE=180°，
∴∠ACD=180°-∠BCE=180°-n°．
故答案为：30°，180°－n°．
【点睛】
本题考查了对顶角的性质、角的和差，由图形得到各角之间的数量关系是解答本题的关键．
19．120°
【分析】
过点F作PT//AB，则有PT//CD，根据平行线的性质可得∠GFP=30゜，∠OFP=90゜，从而可求出∠2的度数.
【详解】
过点F作PT//AB，如图，
∴∠OFP=∠N
解析：120°
【分析】
过点F作PT//AB，则有PT//CD，根据平行线的性质可得∠GFP=30゜，∠OFP=90゜，从而可求出∠2的度数.
【详解】
过点F作PT//AB，如图，
∴∠OFP=∠NOA
∴∠NOA=90゜
∴∠OFP=90゜
∵AB//CD
∴CD//PT
∴∠DGF=∠GFP
∵∠DGF=∠1=30゜
∴∠GFP=30゜
∴∠2=∠OFP+∠GFP=90゜+30゜=120゜
故答案为：120゜
【点睛】
此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是掌握两直线平行，内错角相等，同位角相等．
20．（n﹣1）×180
【分析】
分别过P1、P2、P3作直线AB的平行线P1E，P2F，P3G，由平行线的性质可得出：∠1+∠3=180°，∠5+∠6=180°，∠7+∠8=180°，∠4+∠2=18
解析：（n﹣1）×180
【分析】
分别过P1、P2、P3作直线AB的平行线P1E，P2F，P3G，由平行线的性质可得出：
∠1+∠3=180°，∠5+∠6=180°，∠7+∠8=180°，∠4+∠2=180°于是得到∠1+∠2=10°，
∠1+∠P1+∠2=2×180，∠1+∠P1+∠P2+∠2=3×180°，∠1+∠P1+∠P2+∠P3+∠2=4×180°，根据规律得到结果∠1+∠2+∠P1+…+∠P n=（n+1）×180°．
【详解】
解：如图，分别过P1、P2、P3作直线AB的平行线P1E，P2F，P3G，
∵AB∥CD，
∴AB∥P1E∥P2F∥P3G．
由平行线的性质可得出：∠1+∠3=180°，∠5+∠6=180°，∠7+∠8=180°，∠4+∠2=180°
∴（1）∠1+∠2=180°，
（2）∠1+∠P1+∠2=2×180，
（3）∠1+∠P1+∠P2+∠2=3×180°，
（4）∠1+∠P1+∠P2+∠P3+∠2=4×180°，
∴∠1+∠2+∠P1+…+∠P n=（n+1）×180°．
故答案为：（n+1）×180．
本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，利用两直线平行，同旁内角互补是解答此题的关键．
三、解答题
∠=∠+∠，理由见解析；
21．（1）CPDαβ
∠=∠-∠；
（2）当点P在B、O两点之间时，CPDαβ
∠=∠-∠.
当点P在射线AM上时，CPDβα
【分析】
（1）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出
∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案；
（2）分两种情况：①点P在A、M两点之间，②点P在B、O两点之间，分别画出图形，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出结论．
【详解】
解：(1)∠CPD＝∠α＋∠β，理由如下：
如图，过P作PE∥AD交CD于E.
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE＋∠CPE＝∠α＋∠β.
(2)当点P在A、M两点之间时，∠CPD＝∠β－∠α.
理由：如图，过P作PE∥AD交CD于E.
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠CPE－∠DPE＝∠β－∠α；
当点P在B、O两点之间时，∠CPD＝∠α－∠β.
理由：如图，过P作PE∥AD交CD于E.
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE－∠CPE＝∠α－∠β.
【点睛】
本题考查了平行线的性质的运用，主要考核了学生的推理能力，解决问题的关键是作平行线构造内错角，利用平行线的性质进行推导．解题时注意：问题（2）也可以运用三角形外角性质来解决．
22．（1）a＝3，b＝1；（2）当t＝15秒或82.5秒时，两灯的光束互相平行；（3）∠BAC 与∠BCD的数量关系不发生变化，其大小比值为∠BCD:∠BAC＝2:3．
【分析】
(1)利用绝对值和完全平方式的非负性即可解决问题.
(2)分三种情况，利用平行线的性质列出方程即可解决.
(3)将∠BAC和∠BCD分别用t的代数式表示，然后在进行运算即可.
【详解】
（1）∵|a﹣3b|+（a+b﹣4）2＝0．
又∵|a﹣3b|≥0，（a+b﹣4）2≥0．
∴a＝3，b＝1；
故答案为a=3，b=1.
（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，
①当0＜t＜60时，
3t＝（30+t）×1，
解得t＝15；
②当60＜t＜120时，
3t﹣3×60+（30+t）×1＝180，
解得t＝82.5；
③当120＜t＜150时，
3t﹣360＝t+30，
解得t＝195＞150（不合题意）
综上所述，当t＝15秒或82.5秒时，两灯的光束互相平行.
故答案为：t=15秒或t=82.5秒.
（3）设A灯转动时间为t秒，
∵∠CAN＝180°﹣3t，
∴∠BAC＝45°﹣（180°﹣3t）＝3t﹣135°，
又∵PQ∥MN，
∴∠BCA＝∠CBD+∠CAN＝t+180°﹣3t＝180°﹣2t，
∵∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣∠BCA＝90°﹣（180°﹣2t）＝2t﹣90°，
∴∠BCD：∠BAC＝2：3．
故答案为：∠BAC 与∠BCD 的数量关系不发生变化，其大小比值为∠BCD:∠BAC ＝2:3.
【点睛】
本题考查了绝对值和完全平方式的非负性、平行线的性质、解方程等知识，读懂题目的意思，掌握好平行线的性质是解题的关键.
23．（1）∠DAC;EAB BAC DAC ∠+∠+∠（2）见解析（3）①65②215°−12n 【分析】 （1）根据平行线的性质即可得到结论；
（2）过C 作CF ∥AB 根据平行线的性质得到∠D+∠FCD=180°，∠B ＝∠BCF ，然后根据已知条件即可得到结论；
（3）①过点E 作EF ∥AB ，然后根据两直线平行内错角相等，即可求∠BED 的度数； ②∠BED 的度数改变．过点E 作EF ∥AB ，先由角平分线的定义可得：∠ABE ＝12∠ABC ＝12n°，∠CDE ＝12
∠ADC ＝35°，然后根据两直线平行内错角相等及同旁内角互补可得：∠BEF ＝180°−∠ABE ＝180°−
12n°，∠CDE ＝∠DEF ＝35°，进而可求∠BED ＝∠BEF ＋∠DEF ＝180°−12n°＋35°＝215°−12
n°． 【详解】
（1）过点A 作ED BC ∥
B EAB ∴∠=∠，
C ∠=∠DAC ．
EAB BAC DAC ∠+∠+∠180=︒
180B BAC C ∴∠+∠+∠=︒
故答案为：∠DAC;EAB BAC DAC ∠+∠+∠；
（2）如图2，过C 作CF ∥AB ，
∵AB ∥DE ，
∴CF ∥DE ，
∴∠D+∠FCD=180°，
∵CF ∥AB ，
∴∠B ＝∠BCF ，
∵BCD ∠=∠FCD+∠BCF ，
∴D BCD B ∠+∠-∠=
180D FCD BCF B D FCD B B D FCD ∠+∠+∠-∠=∠+∠+∠-∠=∠+∠=︒； 即180D BCD B ∠+∠-∠=︒；
（3）①如图3，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠ABE＝∠BEF，∠CDE＝∠DEF，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝60°，∠ADC＝70°，
∴∠ABE＝1
2
∠ABC＝30°，∠CDE＝
1
2
∠ADC＝35°，
∴∠BED＝∠BEF＋∠DEF＝30°＋35°＝65°；
故答案为：65；
②如图4，过点E作EF∥AB，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝n°，∠ADC＝70°
∴∠ABE＝1
2
∠ABC＝
1
2
n°，∠CDE＝
1
2
∠ADC＝35°
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠BEF＝180°−∠ABE＝180°−1
2
n°，∠CDE＝∠DEF＝35°，
∴∠BED＝∠BEF＋∠DEF＝180°−1
2
n°＋35°＝215°−
1
2
n°．
故答案为：215°−1
2 n．
【点睛】
此题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是正确添加辅助线，利用平行线的性质进行推算．
24．（1）D（k+2，2）；（2）k＝2；（3）∠BPD＝1
2
∠BCD+
1
2
∠A，理由详见解析
【分析】
（1）由平移的性质可得出答案；
（2）过点B作BE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，由四边形BEFD的面积可得出答案；
（3）过点P作PE∥AB得出∠PBA＝∠EPB，由平移的性质得出AB∥CD，由平行线的性质得出PE∥CD，则∠EPD＝∠PDC，得出∠BPD＝∠PBA+∠PDC，由角平分线的性质得出
∠PBA＝1
2
∠ABC，∠PDC＝
1
2
∠ADC，即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵点A（﹣4，﹣1）、B（﹣2，1），C（k，0），将线段AB平移至线段CD，∴点B向上平移一个单位，向右平移（k+4）个单位到点D，
∴D（k+2，2）；
（2）如图1，过点B作BE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，
∵A（﹣4，﹣1）、B（﹣2，1），C（k，0），D（k+2，2），
∴BE＝1，CE＝k+2，DF＝2，EF＝k+4，CF＝2，
∵S四边形BEFD＝S△BEC+S△DCF+S△BCD，
∴1
(12)(k4)
2
⨯+⨯+＝
11
1(k2)225
22
⨯⨯++⨯⨯+，
解得：k＝2．
（3）∠BPD＝1
2
∠BCD+
1
2
∠A；理由如下：
过点P作PE∥AB，如图2所示：
∴∠PBA＝∠EPB，
∵线段AB平移至线段CD，
∴AB∥CD，
∴PE∥CD，∠ADC＝∠A，∠ABC＝∠BCD，∴∠EPD＝∠PDC，
∴∠BPD＝∠PBA+∠PDC，
∵BP平分∠ABC，DP平分∠ADC，
∴∠PBA＝1
2
∠ABC，∠PDC＝
1
2
∠ADC，
∴∠BPD＝1
2
∠ABC+
1
2
∠ADC＝
1
2
∠BCD+
1
2
∠A．
【点睛】
本题考查了平移的综合问题，掌握平移的性质、平行线的性质、角平分线的性质是解题的关键．
25．（1）∠AEC＝∠C+∠A；（2）∠C﹣∠E＝15°；（3）2∠AGF+∠GDC＝90°．理由见解析．
【分析】
（1）过点E作EF∥AB，知AB∥CD∥EF，据此得∠A=∠AEF，∠C=∠CEF，根据
∠AEC=∠AEF+∠CEF可得答案；
（2）分别过点E、F作FM∥AB，EN∥AB，设∠NEF=x=∠EFM，知∠AEF=x+50°，
∠MFC=115°-x，据此得∠C=180°-（115°-x）=x+65°，进一步计算可得答案；
（3）分别过点E、F、G作FM∥AB，EN∥AB，GH∥AB，设∠GAE=x=∠GAB，∠GFM=y，∠MPC=z，知∠GPE=y+z，从而得2x+2y+z=90°，∠C=180°-z，根据GD∥FC得∠D=z，由GH∥AB，AB∥CD知∠AGF=x+y，继而代入可得答案．
【详解】
（1）∠AEC＝∠C+∠A，
如图1，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠A＝∠AEF，∠C＝∠CEF，
则∠AEC＝∠AEF+∠CEF＝∠A+∠C，
故答案为：∠AEC＝∠C+∠A；
（2）如图2，分别过点E、F作FM∥AB，EN∥AB，
设∠NEF＝x＝∠EFM，则∠AEF＝x+50°，∠MFC＝115°﹣x，
∴∠C＝180°﹣（115°﹣x）＝x+65°，
∴∠C﹣∠E＝x+65°﹣（x+50°）＝15°；
（3）如图3，分别过点E、F、G作FM∥AB，EN∥AB，GH∥AB，
设∠GAE＝x＝∠GAB，∠GFM＝y，∠MPC＝z，
则∠GPE＝y+z，
∴2x+2y+z＝90°，∠C＝180°﹣z，
∵GD∥FC，
∴∠D＝z，
∵GH∥AB，AB∥CD，
∴∠AGF＝x+y，
∴2∠AGF+∠GDC＝90°．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行内错角相等的性质．26．（1）∠A+∠C+∠APC＝360°，证明详见解析；（2）∠APC＝∠A−∠C，证明详见解析；（3）55°．
【分析】
（1）首先过点P作PQ∥AB，结合题意得出AB∥PQ∥CD，然后由“两直线平行，同旁内角互补”进一步分析即可证得∠A+∠C+∠APC＝360°；
（2）作PQ∥AB，结合题意得出AB∥PQ∥CD，根据“两直线平行，内错角相等”进一步分析即可证得∠APC＝∠A−∠C；
（3）由（2）知，∠APC＝∠PAB−∠PCD，先利用平行线性质得出∠BEF＝∠PQB＝110°，
然后进一步得出∠PEG＝1
2
∠FEG，∠GEH＝
1
2
∠BEG，最后根据∠PEH＝∠PEG−∠GEH即
可得出答案．
【详解】
（1）∠A+∠C+∠APC＝360°，证明如下：如图1所示，过点P作PQ∥AB，
∴∠A+∠APQ＝180°，
又∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠C+∠CPQ＝180°，
∴∠A+∠APQ+∠C+∠CPQ＝360°，
即∠A+∠C+∠APC＝360°；
（2）∠APC＝∠A−∠C，证明如下：
如图2所示，过点P作PQ∥AB，
∴∠A＝∠APQ，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠C＝∠CPQ，
∵∠APC＝∠APQ−∠CPQ，
∴∠APC＝∠A−∠C；
（3）由（2）知，∠APC＝∠PAB−∠PCD，∵∠APC＝30°，∠PAB＝140°，
∴∠PCD＝110°，
∵AB∥CD，
∴∠PQB＝∠PCD＝110°，
∵EF∥PC，
∴∠BEF＝∠PQB＝110°，
∵∠PEG＝∠PEF，
∴∠PEG ＝12
∠FEG ， ∵EH 平分∠BEG ， ∴∠GEH ＝
12∠BEG ， ∴∠PEH ＝∠PEG −∠GEH ＝
12∠FEG −12∠BEG ＝12
∠BEF ＝55°．
【点睛】
本题主要考查了利用平行线性质与角平分线性质求角度的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
27．（1）180BCD ACE ∠+∠=︒，理由详见解析；（2）135°；（3）BCD ∠等于150︒或30时，//CE AB .
【分析】
（1）依据∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD ，即可得到∠BCD+∠ACE 的度数；
（2）设∠ACE=α，则∠BCD=3α，依据∠BCD+∠ACE=180°，即可得到∠BCD 的度数； （3）分两种情况讨论，依据平行线的性质，即可得到当∠BCD 等于150°或30°时，CE//4B.
【详解】
解：（1）180BCD ACE ∠+∠=︒，理由如下：
90BCD ACB ACD ACD ∠=∠+∠=︒+∠，
∴90BCD ACE ACD ACE ∠+∠=︒+∠+∠9090180=︒+︒=︒；
（2）如图①，设ACE α∠=，则3BCD α∠=，
由（1）可得180BCD ACE ∠+∠=︒，
∴3180αα+=︒，
∴45α=，
∴3135BCD α∠==︒；
（3）分两种情况：
①如图1所示，当//AB CE 时，180120BCE B ∠=︒-∠=︒， 又90DCE ∠=︒，
∴36012090150BCD ∠=︒-︒-︒=︒；
②如图2所示，当//AB CE 时，60BCE B ∠=∠=︒， 又
90DCE ∠=︒，
∴906030BCD ∠=︒-︒=︒.
综上所述，BCD ∠等于150︒或30时，//CE AB .
【点睛】
本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行.熟练掌握定理并且能够准确识图是解题的关键.
28．（1）BME DNE MEN ∠+∠=∠，证明见析；（2）MEN BME DNE ∠=∠-∠；（3）120FME ∠=
【解析】
【分析】
(1)如图，过点E 作直线//EF AB ，由平行线的性质得到BME MEF ∠=∠，
FEN DNE ∠=∠，即可求得MEN BME DNE ∠=∠+∠；
(2)如图，记AB 与NE 的交点为G ，由平行线的性质得∠EGM=∠DNE ，由三角形外角性质得∠BME=∠MEN+∠EGM ，由此即可得到结论；
(3)由角平分线的定义设BMF BME β∠=∠=∠，设22DNF DNE α∠=∠=∠，由(1)，得E αβ∠=∠+∠，由(2)，得2F βα∠=∠-∠，再根据2180F E ∠+∠=，可求得60β∠=，继而可求得2120FME β∠=∠=.
【详解】
(1)BME DNE MEN ∠+∠=∠，证明如下：
如图，过点E 作直线//EF AB ，
∵//EF AB ，
∴BME MEF ∠=∠，
又∵//AB CD ，
∴//EF CD ，
∴FEN DNE ∠=∠，
∴MEN MEF FEN BME DNE ∠=∠+∠=∠+∠；
(2)MEN BME DNE ∠=∠-∠，理由如下：
如图，记AB 与NE 的交点为G ，
又∵AB//CD ，
∴∠EGM=∠DNE ，
∵∠BME 是△EMG 的外角，
∴∠BME=∠MEN+∠EGM ，
∴∠MEN=∠BME-∠DNE ；
(3)∵MB 平分EMF ∠，
∴设BMF BME β∠=∠=∠，
∵NE 平分DNF ∠，
∴设22DNF DNE α∠=∠=∠，
由(1)，得E BME DNE αβ∠=∠+∠=∠+∠，
由(2)，得2F BMF DNF βα∠=∠-∠=∠-∠，
又∵2180F E ∠+∠=，
∴22()180βααβ∠-∠+∠+∠=，
∴3180β∠=，
即60β∠=，
∴2120FME β∠=∠=.
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质，三角形外角的性质，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.。