2013届高三理科数学寒假综合训练试题(2)

高三数学寒假综合训练试题(二)
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的． 1.复数i
i
++121（i 是虚数单位）的虚部是 A ．
23 B ．2
1
C ．3
D ．1 2.已知R 是实数集，{}
11,12+-==⎭⎬⎫
⎩⎨⎧<=x y y N x x M ，则=M C N R
A ．)2,1(
B ．[]2,0
C.∅ D ．[]2,1
3.现有10个数，其平均数是4，且这10个数的平方和是200，那么这个数组的标准差是
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
4.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，0852=-a a ，则=2
4S
S
A ．5
B ．8
C ．8-
D ．15 5.已知函数)6
2sin()(π
-
=x x f ，若存在),0(π∈a ，使得)()(a x f a x f -=+恒成立，
则a 的值是 A ．
6
π
B ．
3
π
C ．
4
π
D ．
2
π
6.已知m 、n 表示直线，γβα,,表示平面，给出下列四个命题，其中真命题为 （1）βααβα⊥⊥⊂=则,,,m n n m （2）m n n m ⊥==⊥则,,,γβγαβα （3）,,βα⊥⊥m m 则α∥β （4）βαβα⊥⊥⊥⊥则,,,n m n m A ．（1）、（2） B ．（3）、（4） C ．（2）、（3） D ．（2）、（4）
7.若等边ABC ∆的边长为2，平面内一点M 满足CM +==⋅MB MA
A.98
B.913 C ．98- D ．9
13
-
题图第13
8.已知三角形ABC ∆的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为2
3，则这个三角形的周长是
A ．18
B ．21
C ．24
D ．15
9.过直线y x =上一点P 引圆22670x y x +-+=的切线，则切线长的最小值为 A ．
2
2 B ． 22
3 C ．210 D ．2
10.已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足x e f x x f ln )(2)(+'=，则=')(e f A ．1 B ．1- C ．1--e D ．e -
11.已知函数b ax x x f 2)(2-+=.若b a ,都是区间[]4,0内的数，则使0)1(>f 成立的概率
是
A ．
43 B ．41 C ．83
D ．8
5
12.已知双曲线的标准方程为116
92
2=-y x ，F 为其右焦点，21,A A 是实轴的两端点，
设P 为双曲线上不同于21,A A 的任意一点，直线P A P A 21,与直线a x =分别交于两点N M ,,若0=⋅FN FM ,则a 的值为 A ．
916 B ．59 C ．925 D ．5
16 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分 13.如图所示的程序框图输出的结果为 ．
14.
二项式6
12⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中含2
x 项的系数是
．
15.若一个底面是正三角形的三棱柱的主视图如下图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为__________.
第15题图
16.给出下列命题：
①已知,,a b m 都是正数，且
a m a
b m b
+>+，则a b <； ②已知()f x '是()f x 的导函数，若,()0x R f x '∀∈≥，则(1)(2)f f <一定成立； ③命题“x R ∃∈，使得2210x x -+<”的否定是真命题； ④“1x ≤，且1y ≤”是“2x y +≤”的充分不必要条件.
其中正确命题的序号是 .(把你认为正确命题的序号都填上) 三、解答题：本大题共６小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
已知向量),2
cos 2sin 3()2cos ,1(y x
x b x a +==→→与共线，且有函数)(x f y =．
（Ⅰ）若1)(=x f ，求)232cos(x -π
的值；
（Ⅱ ）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且满足b c C a 2cos 2=+，
求函数)(B f 的取值范围.
18．（本小题满分12分）
已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差,50,053=+≠S S d 且1341,,a a a 成等比数列．
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设⎭⎬⎫
⎩⎨⎧n n a b 是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n T .
19．（本小题满分12分）
如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，2,11==AA AB ,M 是1AB 上的动点，且
1AB AM λ=,N 是1CC 的中点. （Ⅰ）若2
1
=
λ，求证：1AA MN ⊥； （Ⅱ）若直线MN 与平面ABN 所成角的正弦值为
14
3
，试求λ的值.
20.（本小题满分12分）
四枚不同的金属纪念币D C B A ,,,，投掷时，B A ,两枚正面向上的概率均为
2
1，另两枚D C ,（质地不均匀）正面向上的概率均为a （10<<a ）.将这四枚纪念币同时投掷一次，设ξ表示出现正面向上的枚数. （Ⅰ）求ξ的分布列（用a 表示）；
（Ⅱ）若有一枚正面向上对应的概率最大，求a 的取值范围. 21．（本小题满分12分）
已知函数1)(2++=x b
ax x f 在点))1(,1(--f 的切线方程为03=++y x .
（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；
（Ⅱ）设x x g ln )(=，求证：)()(x f x g ≥在),1[+∞∈x 上恒成立； （Ⅲ）已知b a <<0，求证：2
2
2ln ln b a a
a b a b +>--.
A C
A
C
B M
N
22.（本小题满分14分）
已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于
1
2
,它的一个顶点恰好
是抛物
线2x=的焦点.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
(Ⅱ)(2,3),(2,3)
P Q-是椭圆上两点，A、B是椭圆位于直线PQ两侧的两动点，
（i）若直线AB的斜率为1
,
2
求四边形APBQ面积的最大值；
（ii）当A、B运动时，满足APQ BPQ
∠=∠，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由.
高三数学寒假综合训练试题(二)
一、选择题：B D B A D B C D C C C B 二、填空题： 13．2 14.192- 15.π3
19
16.①③④ 三、解答题
17．解：（Ⅰ）∵→a 与→
b 共线 ∴
y
x
x x 2cos 2
cos
2sin 31
=
+
2
1
)6sin()cos 1(21sin 232cos 2cos 2sin 32++=++=+=πx x x x x x y …………3分
∴121)6sin()(=+
+
=π
x x f ，即2
1
)6sin(=+πx …………………………………………4分
2
11)6(sin 21)3(cos 2)3(2cos )232cos(22-=-+=--=-=-ππππx x x x
…………………………………………6分 （Ⅱ）已知b c C a 2cos 2=+ 由正弦定理得：
C
A C A C C A C A
B
C C A sin cos 2cos sin 2sin cos sin 2)sin(2sin 2sin cos sin 2+=++==+
∴21cos =
A ， ∴在ABC ∆中 ∠3
π
=A . ……………………………8分 2
1
)6sin()(++=πB B f
∵∠3π=A ∴320π<<B ,6566π
ππ<+<B …………………………………………10分
∴1)6sin(21≤+<πB , 23)(1≤<B f ∴函数)(B f 的取值范围为]2
3
,1( . ……………………
12分
18．解：（Ⅰ）依题意得
⎪⎩⎪⎨
⎧
+=+=⨯++⨯+)
12()3(50254522331121
11d a a d a d a d a …………………………………………2分 解得⎩
⎨
⎧==23
1d a ， …………………………………………4分 1212)1(23)1(1+=+=-+=-+=∴n a n n d n a a n n 即，．……………………………6分
（Ⅱ）
13-=n n
n
a b ，113)12(3--⋅+=⋅=n n n n n a b …………………………………………7分 123)12(37353-⋅+++⋅+⋅+=n n n T n n n n n T 3)12(3)12(3735333132⋅++⋅-++⋅+⋅+⋅=
- ……………………9分
n n n n T 3)12(3232323212+-⋅++⋅+⋅+=--
n
n
n n n 323)12(3
1)
31(3231⋅-=+---⋅+=- ∴n n n T 3⋅= . ……………………………12分 19．解：（Ⅰ）证明：取AB 中点E ，连结CE ME ,，则有ME 与NC 平行且相等。

∴四边形MNCE 为平行四边形，MN ∥CE ……………2分
∵⊥1AA 面ABC ,ABC CE 面⊂
∴CE AA ⊥1,∴1AA MN ⊥.……………………4分
（Ⅱ）以1,AA AB 为x 轴，z 轴，在面ABC 内以过A 点且垂直于AB 的射线为y 轴建系如图，
)2,0,(),2,0,1()1,2
3,21(),0,0,1(1λλM B N B ，
)1,2
3
,21(),0,0,1()21,2321(==--=AN AB MN ，，λλ……………………6分
设),,(1z y x n =是平面ABN 的一个法向量，则⎪⎩⎪⎨
⎧=⋅=⋅00
11AN n AB n
∴⎪⎩
⎪⎨⎧-==⎪
⎩⎪⎨⎧=++=y z x z y x x 230
023
2
10
，令1=y ∴
)2
3
,1,0(1-
=n …………8分 设MN 与面ABN 所成角为θ
则1434
3
1)21(43)21()
12(2323,cos sin 221=+-++--+=
><=λλλθn MN ……………………
10分
14
12
72552=
⋅
+-λλλ
,化简得,
02532
=-+λλ2-=λ或3
1
=λ
由题意知0>λ， ∴3
1
=
λ . ……………………12分 20．解：（Ⅰ）由题意可得ξ的可能取值为4,3,2,1,0. ……………………………1分
()22
2)1(4
11)211()0(a a P -=--==ξ
())1(2
1)211)(1(1)211(21)1(21221
2
a a a C a C P -=--+--==ξ ())221(41)211()211(21)1(1)21()2(222121222a a a C a a C a P -+=-+--+-==ξ ()2
)211(211)21()3(122122a C a a a C P =-+-==ξ 2224
1
)21()4(a a P ===ξ ……………………………6分
∴ξ的分布列为
……………………………
7分
（Ⅱ）∵10<<a
∴)3()4(,)1()0(=<==<=ξξξξP P P P ……………………………8分
∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧>--+>-a
a a a a 21)1(2
1)221(41)1(21
2，解得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧<-<+>2122
2222a a a 或 ……………………………11分 ∴a 的取值范围为)2
2
2,
0(- . ……………………………12分 21．解：（Ⅰ）将1-=x 代入切线方程得2-=y
∴21
1)1(-=+-=
-a
b f ，化简得4-=-a b …………………………………………2分 2
22)
1(2)()1()(x x b ax x a x f +⋅+-+=' 12424)(22)1(-===-+=-'b
b a b a f 解得：2,2-==b a .∴1
2
2)(2+-=x x x f . …………………………………………4分 （Ⅱ）由已知得1
2
2ln 2
+-≥
x x x 在),1[+∞上恒成立 化简22ln )1(2
-≥+x x x
即022ln ln 2≥+-+x x x x 在),1[+∞上恒成立 设22ln ln )(2
+-+=x x x x x h ，∴21
ln 2)(-+
+='x
x x x x h …………………………………6分
24
1a
∵1≥x ∴21,0ln 2≥+≥x
x x x ，即0)(≥'x h ∴)(x h 在),1[+∞上单调递增，0)1()(=≥h x h
∴)()(x f x g ≥在),1[+∞∈x 上恒成立 …………………………………………8分
（Ⅲ）∵b a <<0 ∴1b a
>，由（Ⅱ）知有222ln ()1b b a b a a
->+， ………………………………10分 整理得222ln ln b a a a b a b +>--∴当b a <<0时，222ln ln b
a a a
b a b +>--. …………………………………12分
22．（本小题满分14分）
(Ⅰ）设C 方程为)0(122
22>>=+b a b
y a x
，则b =. 由2221,2
c a c b a ==+，得4a = ∴椭圆C 的方程为22
11612
x y +=. …………………………………………4分 (Ⅱ)（i ）解：设1122(,),(,)A x y B x y ，直线AB 的方程为t x y +=2
1， 代入22
11612
x y +=，得01222=-++t tx x 由0∆>，解得44<<-t …………………………………………6分
由韦达定理得12,22121-=-=+t x x t x x .
四边形APBQ 的面积2
213483621t x x S -=-⨯⨯=∴当0=t
，
max S =…………………8分
(Ⅱ) （ii ）解：当APQ BPQ ∠=∠，则PA 、PB 的斜率之和为0，设直线PA 的斜率为k 则PB 的斜率为k -，PA 的直线方程为3(2)y k x -=-
由22
3(2)(1)1(2)1612y k x x y -=-⎧⎪⎨+=⎪⎩
（1）代入（2）整理得222
(34)8(32)4(32)480k x k kx k ++-+--= 2143)32(82k
k k x +-=
+ …………………………………………10分 同理PB 的直线方程为)2(3--=-x k y ，可得22243)32(843)32(82k k k k k k x ++=+---=+ ∴2121222
161248,3434k k x x x x k k --+=-=++ …………………………………………12分 2
14)(3)2(3)2(212121212121=--+=---++-=--=x x k x x k x x x k x k x x y y k AB 所以AB 的斜率为定值
21. …………………………………………14分。