2016年山东省菏泽市高考数学二模试卷(理科)(解析版)

2016年山东省菏泽市高考数学二模试卷（理科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知复数z满足z•i＝2﹣i，i为虚数单位，则z的共轭复数等于（）A．2﹣i B．﹣1+2i C．1+2i D．﹣1﹣2i
2．（5分）集合M＝{x|lg（1﹣x）＜0}，集合N＝{x|﹣1≤x≤1}，则M∩N＝（）A．（0，1）B．[0，1）C．[﹣1，1]D．[﹣1，1）3．（5分）已知平面向量＝（﹣2，m），＝，且（﹣）⊥，则实数m的值为（）
A．B．C．D．
4．（5分）函数f（x）＝+的定义域为（）
A．{x|x＜1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|0＜x≤1}D．{x|x＞1}
5．（5分）“a＝2”是“函数f（x）＝x2+2ax﹣2在区间（﹣∞，﹣2]内单调递减”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
6．（5分）已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为+＝1，双曲线C2的方程为﹣＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为（）
A．x±y＝0B．x±y＝0C．2x±y＝0D．x±2y＝0 7．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的x、y∈R，那么输出的S的最大值为（）
A．0B．1C．2D．3
8．（5分）已知抛物线y2＝8x的准线与双曲线＝1相交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，△ABF为直角三角形，则双曲线的离心率为（）
A．3B．2C．D．
9．（5分）定义在R上的函数f（x）是最小正周期为2π的偶函数，f′（x）是f（x）的导函数，当x∈[0，π]时，0＜f（x）＜1，当x∈（0，π）且x≠时，（x﹣）f′（x）＞0，则函数y＝f（x）﹣sin x在[﹣3π，π]上的零点个数为（）
A．2B．4C．6D．8
10．（5分）若实数a，b，c，d满足（b+a2﹣3lna）2+（c﹣d+2）2＝0，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为（）
A．B．8C．D．2
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11．（5分）（2x﹣1）（3﹣2x）5的展开式中，含x次数最高的项的系数是（用数字作答）．
12．（5分）在约束条件下，当3≤m≤5时，目标函数z＝3x+2y的最大值的
取值范围是（请用区间表示）．
13．（5分）函数y＝（x+a）e x在x＝0处的切线与直线x+y+1＝0垂直，则a的值为．
14．（5分）若不等式x2+y2≤2所表示的区域为M，不等式组表示的平面区域为
N，现随机向区域N内抛一粒豆子，则豆子落在区域M内的概率为．
15．（5分）抛物线y2＝8x的准线与x轴相交于点P，过点P作斜率为k（k＞0）的直线交抛物线于A、B两点，F为抛物线的焦点，若|F A|＝2|FB|，则k＝．
三、解答题：本大题共6小题，共75分.
16．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2a﹣b）cos C﹣c cos B ＝0．
（Ⅰ）求角C的值；
（Ⅱ）若三边a，b，c满足a+b＝13，c＝7，求△ABC的面积．
17．（12分）心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如右表：（单位：人）
（1）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？
（2）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5～7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6～8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率．（3）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为X，求X的分布列及数学期望EX．
附表及公式
K2＝．
18．（12分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB＝2，AA1＝2，D是
AA1的中点，BD与AB1交于点O，且CO⊥平面ABB1A1．
（1）证明：CD⊥AB1；
（2）若OC＝OA，求直线CD与平面ABC所成角的正弦值．
19．（12分）已知数列{a n}前n项和S n满足：2S n+a n＝1
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设b n＝，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＜．20．（13分）已知函数．
（Ⅰ）记函数，求函数F（x）的最大值；
（Ⅱ）记函数若对任意实数k，总存在实数x0，使得H（x0）＝k 成立，求实数s的取值集合．
21．（14分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，直线x+y+2﹣1＝0与以椭圆C的右焦点为圆心，椭圆的长半轴为半径的圆相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点B，C，D是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B与点D关于原点O对称，设直线CD，CB，OB，OC的斜率分别为k1，k2，k3，k4，且k1k2＝k3k4．
（i）求k1k2的值；
（ii）求OB2+OC2的值．
2016年山东省菏泽市高考数学二模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知复数z满足z•i＝2﹣i，i为虚数单位，则z的共轭复数等于（）A．2﹣i B．﹣1+2i C．1+2i D．﹣1﹣2i
【解答】解：z•i＝2﹣i，
∴﹣i•z•i＝﹣i（2﹣i），
∴z＝﹣1﹣2i，
则z的共轭复数＝﹣1+2i．
故选：B．
2．（5分）集合M＝{x|lg（1﹣x）＜0}，集合N＝{x|﹣1≤x≤1}，则M∩N＝（）A．（0，1）B．[0，1）C．[﹣1，1]D．[﹣1，1）
【解答】解：由题意知M＝{x|0＜x＜1}，
∴M∩N＝{x|0＜x＜1}＝（0，1），
故选：A．
3．（5分）已知平面向量＝（﹣2，m），＝，且（﹣）⊥，则实数m的值为（）
A．B．C．D．
【解答】解：由，
所以＝．
再由（a﹣b）⊥b，
所以
＝．
所以m＝．
故选：B．
4．（5分）函数f（x）＝+的定义域为（）
A．{x|x＜1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|0＜x≤1}D．{x|x＞1}
【解答】解：要使函数有意义，则，
即，得0＜x＜1，
即函数的定义域为{x|0＜x＜1}，
故选：B．
5．（5分）“a＝2”是“函数f（x）＝x2+2ax﹣2在区间（﹣∞，﹣2]内单调递减”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【解答】解：当a＝2时，f（x）＝x2+2ax﹣2＝（x+a）2﹣a2﹣2＝（x+2）2﹣6，
由二次函数可知函数在区间（﹣∞，﹣2]内单调递减；
若f（x）＝x2+2ax﹣2＝（x+a）2﹣a2﹣2在区间（﹣∞，﹣2]内单调递减，
则需﹣a≥﹣2，解得a≤2，不能推出a＝2，
故“a＝2”是“函数f（x）＝x2+2ax﹣2在区间（﹣∞，﹣2]内单调递减”的充分不必要条件．
故选：A．
6．（5分）已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为+＝1，双曲线C2的方程为﹣＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为（）
A．x±y＝0B．x±y＝0C．2x±y＝0D．x±2y＝0
【解答】解：a＞b＞0，椭圆C1的方程为+＝1，C1的离心率为：，
双曲线C2的方程为﹣＝1，C2的离心率为：，
∵C1与C2的离心率之积为，
∴，
∴＝，＝，
C2的渐近线方程为：y＝，即x±y＝0
故选：B．
7．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的x、y∈R，那么输出的S的最大值为（）
A．0B．1C．2D．3
【解答】解：模拟程序框图的运行过程，知：
执行该算法后输出的是：当时，求函数S＝x+2y的最大值，
否则，S＝1；
画出可行域如图所示：
当时，S＝x+2y的值最大，且最大值为2；
综上，该程序运行后输出S的最大值为2．
故选：C．
8．（5分）已知抛物线y2＝8x的准线与双曲线＝1相交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，△ABF为直角三角形，则双曲线的离心率为（）
A．3B．2C．D．
【解答】解：依题意知抛物线的准线x＝﹣2，代入双曲线方程得
y＝±•，不妨设A（﹣2，）．
∵△F AB是等腰直角三角形，∴＝p＝4，求得a＝，
∴双曲线的离心率为e＝＝＝＝3，
故选：A．
9．（5分）定义在R上的函数f（x）是最小正周期为2π的偶函数，f′（x）是f（x）的导函数，当x∈[0，π]时，0＜f（x）＜1，当x∈（0，π）且x≠时，（x﹣）f′（x）＞0，则函数y＝f（x）﹣sin x在[﹣3π，π]上的零点个数为（）
A．2B．4C．6D．8
【解答】解：∵当x∈[0，π]时，0＜f（x）＜1，f（x）为偶函数，
∴当x∈[﹣π，2π]时，0＜f（x）＜1；
当x∈（0，π）且x≠时，（x﹣）f′（x）＞0，
∴x∈[0，]时，f（x）为单调减函数；x∈[，π]时，f（x）为单调增函数，
∵x∈[0，π]时，0＜f（x）＜1，
在R上的函数f（x）是最小正周期为2π的偶函数，在同一坐标系中作出y＝sin x和y＝f（x）草图象如下，
由图知y＝f（x）﹣sin x在[﹣3π，π]上的零点个数为4个．
故选：B．
10．（5分）若实数a，b，c，d满足（b+a2﹣3lna）2+（c﹣d+2）2＝0，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为（）
A．B．8C．D．2
【解答】解：∵（b+a2﹣3lna）2+（c﹣d+2）2＝0，
∴b＝﹣（a2﹣3lna），d＝c+2；
∴（a﹣c）2+（b﹣d）2＝（a﹣c）2+（3lna﹣a2﹣（c+2））2，
其表示了点（a，3lna﹣a2）与点（c，c+2）的距离的平方；
作函数y＝3lnx﹣x2与函数y＝x+2的图象如下，
∵（3lnx﹣x2）′＝﹣2x＝；
故令＝1得，x＝1；
故切点为（1，﹣1）；
结合图象可知，
切点到直线y＝x+2的距离为＝2；
故（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为8；
故选：B．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11．（5分）（2x﹣1）（3﹣2x）5的展开式中，含x次数最高的项的系数是﹣64（用数字作答）．
【解答】解：（3﹣2x）5的展开式的通项公式：T r+1＝35﹣r（﹣2x）r，
令r＝5，
可得：（2x﹣1）（3﹣2x）5的展开式中，含x次数最高的项的系数为2×（﹣2）5＝﹣64．故答案为：﹣64．
12．（5分）在约束条件下，当3≤m≤5时，目标函数z＝3x+2y的最大值的
取值范围是[7，8]（请用区间表示）．
【解答】解：由⇒交点为A（2，0），B（4﹣m，2m﹣4），C（0，m），C'（0，4），
当3≤m＜4时可行域是四边形OABC，此时，7≤z≤8
当4≤m≤5时可行域是△OAC'此时，z max＝8
故答案为：[7，8]．
13．（5分）函数y＝（x+a）e x在x＝0处的切线与直线x+y+1＝0垂直，则a的值为0．【解答】解：∵函数y＝（x+a）e x在x＝0处的切线与直线x+y+1＝0垂直，
∴函数y＝（x+a）e x在x＝0处的切线斜率k＝1，
∵f′（x）＝（x+a+1）e x，
∴f′（0）＝（a+1）e0＝a+1＝1，
得a＝0，
故答案为：0．
14．（5分）若不等式x2+y2≤2所表示的区域为M，不等式组表示的平面区域为
N，现随机向区域N内抛一粒豆子，则豆子落在区域M内的概率为．
【解答】解：由题，图中△OCD表示N区域，其中C（6，6），D（2，﹣2）
所以S N＝×＝12，S阴影＝＝，
所以豆子落在区域M内的概率为．
故答案为：．
15．（5分）抛物线y2＝8x的准线与x轴相交于点P，过点P作斜率为k（k＞0）的直线交
抛物线于A、B两点，F为抛物线的焦点，若|F A|＝2|FB|，则k＝．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2）
由已知|F A|＝2|FB|，得：x1+2＝2（x2+2），即x1＝2x2+2，①
∵P（﹣2，0），则AB的方程：y＝kx+2k，
与y2＝8x联立，得：k2x2+（4k2﹣8）x+4k2＝0，则x1x2 ＝4，②
由①②得x2＝1，则A（1，），
∴k＝＝．
故答案为：．
三、解答题：本大题共6小题，共75分.
16．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2a﹣b）cos C﹣c cos B ＝0．
（Ⅰ）求角C的值；
（Ⅱ）若三边a，b，c满足a+b＝13，c＝7，求△ABC的面积．
【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，c cos B＝（2a﹣b）cos C，
∴由正弦定理，可得sin C cos B＝（2sin A﹣sin B）cos C，
即sin C cos B+sin B cos C＝2sin A cos C，所以sin（B+C）＝2sin A cos C，
∵△ABC中，sin（B+C）＝sin（π﹣A）＝sin A＞0，
∴sin A＝2sin A cos C，即sin A（1﹣2cos C）＝0，可得cos C＝．
又∵C是三角形的内角，∴C＝．
（Ⅱ）∵C＝，a+b＝13，c＝7，
∴由余弦定理可得：72＝a2+b2﹣2ab cos C＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝132﹣3ab，解得：ab＝40，
∴S△ABC＝ab sin C＝40×＝10．
17．（12分）心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如右表：（单位：人）
（1）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？
（2）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5～7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6～8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率．（3）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为X，求X的分布列及数学期望EX．
附表及公式
K2＝．
【解答】解：（1）由表中数据得K2的观测值
，
所以根据统计有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关；
（2）设甲、乙解答一道几何题的时间分别为x、y分钟，则基本事件满足的区域为（如图所示）
设事件A为“乙比甲先做完此道题”则满足的区域为x＞y，
∴由几何概型即乙比甲先解答完的概率为；
（3）由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有种；恰有一人被抽到有种；两人都被抽到有种，
∴X可能取值为0，1，2，，，
X的分布列为：
∴．
18．（12分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB＝2，AA1＝2，D是AA1的中点，BD与AB1交于点O，且CO⊥平面ABB1A1．
（1）证明：CD⊥AB1；
（2）若OC＝OA，求直线CD与平面ABC所成角的正弦值．
【解答】（1）证明：∵D是矩形AA1的中点，∴AD＝AA1＝
∴＝，∴△DAB∽△ABB1，∴∠ABD＝∠AB1B，
∵∠BAB1+∠AB1B＝90°，∴∠BAB1+∠ABD＝90°，∴BD⊥AB1．
∵CO⊥平面ABB1A1，AB1⊂平面ABB1A1，
∴CO⊥AB1，又CO⊂平面BCD，BD⊂平面BCD，CO∩BD＝O，
∴AB1⊥平面BCD，∵CD⊂平面BCD，
∴CD⊥AB1．
（2）解：以O为原点，以OD，OB1，OC为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：
则A（0，﹣，0），B（﹣，0，0），C（0，0，），D（，0，0）．
∴＝（，0，﹣），＝（﹣，，0），＝（0，，）．设平面ABC的法向量为＝（x，y，z），则，
即，令x＝1得＝（1，，﹣）．
∴＝，∴cos＜＞＝＝．
∴直线CD与平面ABC所成角的正弦值为．
19．（12分）已知数列{a n}前n项和S n满足：2S n+a n＝1
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设b n＝，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＜．
【解答】（I）解：∵2S n+a n＝1，
∴当n≥2时，2S n﹣1+a n﹣1＝1，
∴2a n+a n﹣a n﹣1＝0，化为．
当n＝1时，2a1+a1＝1，∴a1＝．
∴数列{a n}是等比数列，首项与公比都为．
∴．
（II）证明：b n＝
＝
＝
＝，
∴数列{b n}的前n项和为T n＝++…+
＝．
∴T n＜．
20．（13分）已知函数．
（Ⅰ）记函数，求函数F（x）的最大值；
（Ⅱ）记函数若对任意实数k，总存在实数x0，使得H（x0）＝k 成立，求实数s的取值集合．
【解答】解：（Ⅰ）函数．
函数，F（x）＝x2﹣lnx，x
，令F′（x）＝0，得．
∴，F（2）＝4﹣ln2，且，∴x＝2时，函数F（x）取得最大值，最大值为4﹣ln2．…（4分）
（Ⅱ）∵对任意实数k，总存在实数x0，使得H（x0）＝k成立，∴函数H（x）的值域为R．函数在[s，+∞）单调递增，其值域为．
函数，．当x＝e时，y'＝0．
当x＞e时，y'＜0，函数在[e，+∞）单调递减，
当0＜x＜e时，y'＞0，函数在（0，e）单调递增．…（8分）
（1）若s＞e，函数在（0，e）单调递增，在（e，s）单调递减，其值域为，又，不符合题意；
（2）若0＜s≤e，函数在（0，s）单调递增，其值域为，
由题意得，即s2﹣2elns≤0；
令u（s）＝s2﹣2elns，．
当时，u'（s）＞0，u（s）在单调递增；
当，u'（s）＜0，u（s）在单调递减．
∴时，u（s）有最小值，从而u（s）≥0恒成立（当且仅当时，u（s）＝0）．
由（1）（2）得，u（s）＝0，所以．
综上所述，实数s的取值集合为．…（13分）
21．（14分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，直线x+y+2﹣1＝0与以椭圆C的右焦点为圆心，椭圆的长半轴为半径的圆相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点B，C，D是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B与点D关于原点O对称，设直线CD，CB，OB，OC的斜率分别为k1，k2，k3，k4，且k1k2＝k3k4．
（i）求k1k2的值；
（ii）求OB2+OC2的值．
【解答】解：（1）设椭圆C的右焦点F2（c，0），则c2＝a2﹣b2（c＞0），
由题意，以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为（x﹣c）2+y2＝a2，
∴圆心到直线x+y+2﹣1＝0的距离①，
∵椭圆C的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，
∴，a＝2c，代入①式得，，
故所求椭圆方程为；
（2）（i）设B（x1，y1），C（x2，y2），则D（﹣x1，﹣y1），
于是＝；
（ii）由（i）知，，故．
∴，
即，
∴．
又＝，故．
∴OB2+OC2＝．。