辽宁省实验中学东戴河分校2020届高三数学12月月考试题理

辽宁省实验中学东戴河分校2020届高三数学12月月考试题 理
说明：
1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第（1）页至第（3）页，第Ⅱ卷第（4）页至第（6）页。

2、本试卷共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）
注意事项：
1、答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、班级填涂在答题卡上，贴好条形码。

答题卡不要折叠
2、每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的题目标号涂黑。

答在试卷上无效。

3、考试结束后，监考人员将试卷答题卡收回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合{}
{}2
|0|2M x x x N x x =-=＜，＜，则
( ) A ．M N ⋂=∅ B ．M N M ⋂= C ．M N M ⋃= D ．M N R =U
2． “”是“方程
表示双曲线”的
（ )
A ．充分不必要条件
B ．充要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
3．正项等差数列{}n a 中的11a ，4027a 是函数()3
214433
f x x x x =
-+-的极值点，则20192log =( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
4．函数1sin cos (0)y x a x a =+>的图象是由函数25sin 5cos y x x =+的图像向左平移ϕ个单位得到的，则cos ϕ=（ ） A ．
35
B ．
45
C 32
D ．
22
5
5．新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试（合格考）和选择性考试（选择考）.其中“选择考”成绩将计入高考总成绩，即“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进行排序，评定为A 、B 、C 、D 、E 五个等级.某试点高中2018年参加“选择考”总人数是2016年参加“选择考”总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况，统计了该校2016年和2018年“选择考”成绩等级结果，得到如下图表：
针对该校“选择考”情况，2018年与2016年比较，下列说法正确的是 （ ）
A ．获得A 等级的人数减少了
B ．获得B 等级的人数增加了1.5
倍
C ．获得
D 等级的人数减少了一半
D ．获得
E 等级的人数相同
6．设()0
sin cos a x x dx π
=+⎰，且21n
x ax ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中只有第4项的二项式系数最大，那么
展
开
式
中
的
所
有
项
的
系
数
之
和
是
（ ）
A ．1
B ．
1256 C ．64 D ．164
7．直线(1)(2)0()x y R λλλλ+-++=∈恒过定点A ，若点A 在直线20mx ny ++=上，其中0m >，0n >，则21
m n
+的最小值为 （ ） A ．22B ．4
C ．
52 D ．92
8．《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积1
2
=
⨯（弦×矢+矢2），弧田（如图阴影部分所示）是由圆弧和弦围成，公式
中的“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为
2
3
π，矢为2的弧田，按照上述方法计算出其面积是 ( )
A ．2+43
B ．13+
2
C ．2+83
D ．4+83
9．执行如图所示的程序框图，则输出n 的值是 （ ）
A ．3
B ．5
C ．7
D ．9
10．已知函数()sin (0)f x x ωω=>，点A ，B 分别为()f x 图像在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点，O 为坐标原点，若OAB ∆为锐角三角形，则ω的取值范围为（ ）
A ．30,2π⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
B ．3,22ππ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
C ．0,
2π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
D ．,2π⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
11．设函数()f x 在R 上存在导函数'()f x ，x R ∀∈，有3
()()f x f x x --=，在(0,)+∞上
有2
2'()30f x x ->，若2
(2)()364f m f m m m --≥-+-，则实数m 的取值范围为（ ）
A ．[1,1]-
B ．(,1]-∞
C ．[1,)+∞
D ．(,1][1,)-∞-+∞U
12．已知函数22,0()(2),0
x x x f x f x x ⎧--<=⎨-≥⎩，以下结论正确的是（ ）
A ．(3)(2019)3f f -+=-
B ．()f x 在区间[]4,5上是增函数
C ．若方程() 1f x k x =+恰有3个实根，则11,24k ⎛⎫
∈-
- ⎪⎝
⎭ D ．若函数()y f x b =-在(,4)-∞上有6个零点(1,2,3,4,5,6)i x i =，则()6
1
i
i
i x f x =∑的取值范
围是()0,6
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13．已知
34a b R a i
b i i
+=+∈，（，）其中i 为虚数单位，则a bi +=________； 14．已知数列
{}n a 的首项11a =，且满足11(2)n n n n a a a a n ---=≥，则
122320142015a a a a a a +++=L ；
15．如图，在矩形ABCD 中，4,2AB AD ==，E 为AB 的中点．将ADE V 沿DE 翻折，得到四棱锥1A DEBC -．设1A C 的中点为M ，在翻折过程中，有下列三个命题：
①总有BM ∥平面1A DE ； ②线段BM 的长为定值；
③存在某个位置，使DE 与1A C 所成的角为90°． 其中正确的命题是_______．（写出所有正确命题的序号）
16．已知双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点为F ，左顶点为A ，以F 为圆心，FA
为半径的圆交C 的右支于M ，N 两点，且线段AM 的垂直平分线经过点N ，则C 的离心率为_________.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分） 已知函数2()cos 2cos 2()3
f x x x x R π⎛
⎫
=-
-∈ ⎪⎝
⎭
(1)求函数()f x 的单调递增区间；
(2)ABC ∆内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若3
()22
B
f =-，1b =，3c =，且a b >，试求角B 和角C .
18．（本小题满分10分）
如图，在PBE △中，AB PE ⊥，D 是AE 的中点，C 是线段BE 上的一点，且5AC =
1
22
AB AP AE ==
=，将PBA ∆沿AB 折起使得二面角P AB E --是直二面角． （l ）求证：CD 平面PAB ；
（2）求直线PE 与平面PCD 所成角的正切值．
19．（本小题满分10分）
2019年3月5日，国务院总理李克强作出的政府工作报告中，提到要“惩戒学术不端，力戒学术不端，力戒浮躁之风”．教育部2014年印发的《学术论文抽检办法》通知中规定：每篇抽检的学术论文送3位同行专家进行评议，3位专家中有2位以上（含3位）专家评议意见为“不合格”的学术论文，将认定为“存在问题学术论文”．有且只有1位专家评议意见为“不合格”的学术论文，将再送另外2位同行专家（不同于前3位专家）进行复评，2位复评专家中有1位以上（含1位）专家评议意见为“不合格”的学术论文，将认定为“存在问题学术论文”．设每篇学术论文被每位专家评议为“不合格”的概率均为()01p p <<，且各篇学术论文是否被评议为“不合格”相互独立． （1）若1
2
p =
，求抽检一篇学术论文，被认定为“存在问题学术论文”的概率； （2）现拟定每篇抽检论文不需要复评的评审费用为900元，需要复评的总评审费用1500元；若某次评审抽检论文总数为3000篇，求该次评审费用期望的最大值及对应p 的值．
20．（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy 中，椭圆G 的中心为坐标原点，左焦点为F 1（﹣1，0），离心率
2
2
e =
． （1）求椭圆G 的标准方程；
（2）已知直线11l y kx m =+： 与椭圆G 交于 A B ， 两点，直线2212l y kx m m m =+≠：（）
与椭圆G 交于C D ， 两点，且AB CD = ，如图所示．
①证明：120m m += ；
②求四边形ABCD 的面积S 的最大值．
21．（本小题满分10分）
已知函数()22
,0
2,0x x x f x x ax ax x e
⎧-<⎪
=⎨+-≥⎪⎩在(),-∞+∞上是增函数． ()1求实数a 的值；
()2若函数()()g x f x kx =-有三个零点，求实数k 的取值范围．
22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos 3x y α
α
=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），在以原点
为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为2sin 42
πρθ⎛
⎫
-= ⎪
⎝
⎭． （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；
（2）设点()1,0P - ，直线l 和曲线C 交于,A B 两点，求||||PA PB +的值．
23．已知函数()()210f x x a x a =++->. （1）当1a =时，求不等式()4f x >的解集；
（2）若不等式()42f x x >-对任意的[]3,1x ∈--恒成立，求a 的取值范围.
（数学理）1-5 BDCBB 6-10 DDADB 11.B 12 BCD
13.5 14. 15. ①② 16. 4 3
17【解析】
（1）
233
()cos2cos2sin2cos23sin2
32
2
3
f x x x x x x
ππ
⎛⎫⎛⎫
=--=-=-
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭Q，
令222,
232
k x k k Z
πππ
ππ
--+∈
剟，解得
5
,
1212
k x k k Z
ππ
ππ
-+∈
剟
∴故函数()
f x的递增区间为
5
,()
1212
k k k
ππ
ππ
⎡⎤
-+∈
⎢⎥
⎣⎦
Z.
（2）
31
3sin,sin
2332
B
f B B
ππ
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=-=-∴-=-
⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
2
0,,,
333366
B B B B
ππππππ
π
<<∴-<-<∴-=-=
Q即，
由正弦定理得：
13
sin sin
sin
6
a
A C
π
==
，
3
sin
2
C
∴=，0Cπ
<<
Q，
3
C
π
∴=或
2
3
π
.
当
3
c
π
=时，
2
A
π
=：当
2
3
C
π
=时，
6
A
π
=（不合题意，舍）
所以,
63
B C
ππ
==.
18．如图，在PBE
△中，AB PE
⊥，D是AE的中点，C是线段BE上的一点，且5
AC=，
1
2
2
AB AP AE
===，将PBA
V沿AB折起使得二面角P AB E
--是直二面角．
（l）求证：CD平面PAB；
（2）求直线PE与平面PCD所成角的正切值．
【答案】（1）证明见解析.
（2）1
3
.
【解析】
分析：（1）推导出4,
AE AC
=是Rt ABE
∆的斜边上的中线，从而C是BE的中点，由此能证明//
CD平面PAB；
（2）三棱锥E PAC
-的体积为
E PAC P ACE
V V
--
=，由此能求出结果．
详解：（1）因为
1
2
2
AE=，所以4
AE=，又2
AB=，AB PE
⊥，
所以2222
2425
BE AB AE
=+=+=，又因为
1
5
2
AC BE
==，
所以AC是Rt ABE
n的斜边BE上的中线，
所以C是BE的中点，又因为D是AE的中点．所以CD是ABE
n的中位线，所以CD AB
n，又因为CD⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，所以CD n平面PAB．
（2）据题设分析知，AB，AE，AP两两互相垂直，以A为原点，AB，AE，AP分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系：
因为
1
2
2
AB AP AE
===，且C，D分别是BE，AE的中点，
所以4
AE=，2
AD=，
所以()
040
E n n，()
120
C n n，()
002
P n n，()
020
D n n，
所以()
042
PE=-
u u
n
v
n
u
，()
122
PC=-
u u
n
v
n
u
，()
100
CD=-
u u
n
v
n
u
，
设平面PCD的一个法向量为()
n x y z
'''
=n n，
则
n CD
n PC
⎧⋅=
⎨
⋅=
⎩
u u u v
u u u v，即
220
x
x y z
'
'''
-=
⎧
⎨
+-=
⎩
，所以
x
z y
=
⎧
⎨
=
'
''
⎩
，令1
y'=，则()
011
n=n n，
设直线PE 与平面PCD 所成角的大小为θ
，则sin 10PE n PE n
θ⋅==⋅u u u v u u u v ． 故直线PE 与平面PCD 所成角的正切值为
1
3
． 19．2019年3月5日，国务院总理李克强作出的政府工作报告中，提到要“惩戒学术不端，力戒学术不端，力戒浮躁之风”．教育部2014年印发的《学术论文抽检办法》通知中规定：每篇抽检的学术论文送3位同行专家进行评议，3位专家中有2位以上（含3位）专家评议意见为“不合格”的学术论文，将认定为“存在问题学术论文”．有且只有1位专家评议意见为“不合格”的学术论文，将再送另外2位同行专家（不同于前3位专家）进行复评，2位复评专家中有1位以上（含1位）专家评议意见为“不合格”的学术论文，将认定为“存在问题学术论文”．设每篇学术论文被每位专家评议为“不合格”的概率均为()01p p <<，且各篇学术论文是否被评议为“不合格”相互独立． （1）若1
2
p =
，求抽检一篇学术论文，被认定为“存在问题学术论文”的概率； （2）现拟定每篇抽检论文不需要复评的评审费用为900元，需要复评的总评审费用1500元；若某次评审抽检论文总数为3000篇，求该次评审费用期望的最大值及对应p 的值． 【答案】(1)
2532 (2) 最高费用为350万元．对应13
p =． （1）因为一篇学术论文初评被认定为“存在问题学术论文”的概率为()2
2
3
3
331C p p C p -+，
一篇学术论文复评被认定为“存在问题学术论文”的概率为()()221
3111C p p p ⎡⎤---⎣⎦
， 所以一篇学术论文被认定为“存在 问题学术论文”的概率为
()()()()2222331
3331111f p C p p C p C p p p ⎡⎤=-++---⎣⎦
()()()22
23313111p p p p p p ⎡⎤=-++---⎣⎦
5432312179p p p p =-+-+．
∴1
2p =
时，125232f ⎛⎫= ⎪⎝⎭
所以抽检一篇的学术论文被认定为“存在问题学术论文”的概率为
25
32
． （2）设每篇学术论文的评审费为X 元，则X 的可能取值为900，1500．
()()21315001P X C p p ==-，()()21390011P X C p p ==--，
所以()()()()2221133900111500190018001E X C p p C p p p p ⎡⎤=⨯--+⨯-=+-⎣⎦
． 令()()21g p p p =-，()0,1p ∈，()()()()()2
121311g p p p p p p '=---=--． 当10,3p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g p '>，()g p 在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递增； 当1,13p ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭时，()0g p '<，()g p 在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递减． 所以()g p 的最大值为14327
g ⎛⎫
= ⎪⎝⎭． 所以评审最高费用为44300090018001035027-⎛⎫⨯+⨯
⨯= ⎪⎝
⎭（万元）．对应13p =． 20．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆G 的中心为坐标原点，左焦点为F 1（﹣1，0），离心率2e =． （1）求椭圆G 的标准方程；
（2）已知直线11l y kx m =+： 与椭圆G 交于 A B ， 两点，直线2212l y kx m m m =+≠：（）
与椭圆G 交于C D ， 两点，且AB CD = ，如图所示．
①证明：120m m += ；
②求四边形ABCD 的面积S 的最大值．
（1）设椭圆G 的方程为（a ＞b ＞0）
∵左焦点为F 1（﹣1，0），离心率e =．∴c =1，a =，
b 2=a 2﹣
c 2=1
椭圆G 的标准方程为：．
（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），D （x 4，y 4） ①证明：由消去y 得（1+2k 2）x 2+4km 1x +2m 12
﹣2=0 ，
x 1+x 2=，x 1x 2=；
|AB |==2；
同理|CD |=2，
由|AB |=|CD |得2=2，
∵m 1≠m 2，∴m 1+m 2=0 ②四边形ABCD 是平行四边形，设AB ，CD 间的距离d =
∵m 1+m 2=0，∴
∴s =|AB |×d =2× =.
所以当2k 2+1=2m 12时，四边形ABCD 的面积S 的最大值为2
21．已知函数()22,02,0x x x f x x ax ax x e
⎧-<⎪=⎨+-≥⎪⎩在(),-∞+∞上是增函数．
()1求实数a 的值；
()2若函数()()g x f x kx =-有三个零点，求实数k 的取值范围．
【答案】（1）12a e =；（2）ln211,2e e ⎧⎫⎡⎫⋃-+∞⎨⎬⎪⎢⎩⎭⎣⎭
解：()1当0x <时，()2f x x =-是增函数，且()()00f x f <=，
故当0x ≥时，()f x 为增函数，即()'0f x ≥恒成立，
当0x ≥时，函数的导数
()()()211'2221120()x x x x x e xe x f x ax a a x x a e e e --⎛⎫=+-=+-=--≥ ⎪⎝⎭
恒成立， 当1x ≥时，10x -≤，此时相应120x a e -≤恒成立，即12x a e ≥恒成立，即max 112()x a e e ≥=恒成立，
当01x ≤<时，10x ->，此时相应
120x a e -≥恒成立，即12x a e ≤恒成立，即12a e ≤恒成立， 则12a e =，即12a e
=． ()2若0k ≤，则()g x 在R 上是增函数，此时()g x 最多有一个零点，不可能有三个零点，则不满足条件．
故0k >，
当0x <时，()2
g x x kx =--有一个零点k -， 当0x =时，()()0000g f =-=，故0也是故()g x 的一个零点，
故当0x >时， ()g x 有且只有一个零点，即()0g x =有且只有一个解， 即202x x x x kx e e e +--=，得22x x x x kx e e e
+-=，(0)x >， 则112x x k e e e
=
+-，在0x >时有且只有一个根， 即y k =与函数()112x x h x e e e
=+-，在0x >时有且只有一个交点， ()11'2x h x e e =-+，
由()'0h x >得1102x e e -+>，即112x e e <
得2x e e >，得ln21ln2x e >=+，此时函数递增， 由()'0h x <得1102x e e -+<，即112x e e >得2x e e <，得0ln21ln2x e <<=+，此时函数递减，
即当1ln2x =+时，函数取得极小值，此时极小值为()1ln21
1ln211ln22h e e e
+++=+- ln211ln2111ln21ln2222222e e e e e e e e e e
=++-=++-=⋅， ()110101h e e
=+-=-， 作出()h x 的图象如图，
要使y k =与函数()112x x h x e e e =
+-，在0x >时有且只有一个交点， 则ln22k e =或11k e
≥-， 即实数k 的取值范围是ln211,2e e ⎧⎫⎡⎫⋃-+∞⎨
⎬⎪⎢⎩⎭⎣⎭． 22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos 3x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩
（α为参数），在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为2sin 42
πρθ⎛⎫-
= ⎪⎝⎭． （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；
（2）设点()1,0P - ，直线l 和曲线C 交于,A B 两点，求||||PA PB +的值． 【答案】（1）22193x y +=，10x y -+=；（266.
（1）因为曲线C
的参数方程为3cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩
（α为参数）， 所以曲线C 的普通方程为22
193
x y +=.
因为sin 42
πρθ⎛
⎫-= ⎪⎝⎭， 所以sin cos 1,10x y ρθρθ-=∴-+=.
所以直线l 的直角坐标方程为10x y -+=.
（2）由题得点()1,0P -在直线l 上，直线l
的参数方程为12x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，
代入椭圆的方程得2280t -=，
所以1212+40t t t t ==-<，
所以12|PA|+|PB|=||2
t t -==. 23．已知函数()()210f x x a x a =++->.
（1）当1a =时，求不等式()4f x >的解集；
（2）若不等式()42f x x >-对任意的[]3,1x ∈--恒成立，求a 的取值范围.
【答案】（1）5|13x x x >⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭或；（2）()5,+∞
（1）当1a =时，()121f x x x =++-，
故()4f x >等价于1314x x ≤-⎧⎨-+>⎩或1134x x -<≤⎧⎨-+>⎩或1314
x x >⎧⎨->⎩，解得1x <-或53x >. 故不等式()4f x >的解集为5|13x x x >⎧
⎫<-⎨⎬⎩⎭或.
（2）当[]3,1x ∈--时，由()42f x x >-得22240x a x x ++-+->，
即2x a +>，即2a x >-或2a x <--对任意的[]3,1x ∈--恒成立. 又()max 25x -=，()min 21x --=-，故a 的取值范围为()(),15,-∞-+∞U . 又0a >，所以5a >，
综上，a 的取值范围为()5,+∞.。