中山市华侨中学届高三一模数学试题及答案复习备考卷数学试题及答案

中山市华侨中学高三一模复习备考卷（一） 参考公式：
① 均值定理：若，则，当且仅当取等号。

一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．）． 1．设集合，若（为自然对数底），则( ) A ． B. C. D.
2. 我们把复数叫做复数的共轭复数，记作, 若是虚数单位，
，为复数的共轭复数，则( )
A
B C
． D
． 3. 已知等差数列的公差为,若成等比数列, 则( ) A ． B
C D
4．沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图X12-3所示，则该几何体的侧视图为( )
A.答案A
B.答案B
C.答案C
D.答案D 5. 给出下列命题，其中错误命题的个数为( )
（1）直线a 与平面不平行，则a 与平面内的所有直线都不平行； （2）直线a 与平面不垂直，则a 与平面内的所有直线都不垂直； （3）异面直线a 、b 不垂直，则过a 的任何平面与b 都不垂直； （4）若直线a 和b 共面，直线b 和c 共面，则a 和c 共面 A ． 1 B 2 C 3 D 4
6． 某小卖部销售一品牌饮料的零售价x (元/瓶)与销量y (瓶)的关系统计如下：
+
∈R c b a ,,33abc c b a ≥++c b a =={|2}A x x =>e
e m ln =e A ∅∈A m ∉A m ∈{}
m x x A >⊆bi a -bi a z +=()R b a ∈,z i 1z i =+z z 1z z z ⋅+-=1311{}n a 2431,,a a a 2a =4-6-8-10-αααα
已知x，y的关系符合线性回归方程y＝b x＋a，其中b＝－20，a＝y－b x．当单价为4.2元时，估计该小卖部销售这种品牌饮料的销量为()
A．20 B．22 C．24 D．26
7.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有( )
A．140种 B. 120种 C. 35种 D. 34种
8．已知函数f(x)＝ka x－a－x(a＞0且a≠1)在R上是奇函数，且是增函数，则函数g(x)＝log a(x －k)的大致图像是()
A B
C D
二、填空题：（本大共6小题,每小题5分,共30分,把答案填在答题卡的相应位置．）（一）必做题（9-13题）
9. 计算.
10. 不等式的解集是______________.
11．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查,发现其用电量都在50到350度之间,频率分布直方图所示.在这些用户中,用电量落在区间内的户数为_____________.
32
1
(321)__________
x x dx
-
-+=
⎰
1
x x
-≤
[)
100,250
12.若变量满足约束条件，则的最大值和最小值之和等于
13.下列关于向量的命题中，正确的有 。

（1） （2）
（3）
(4)
(5) 若,则中至少一个为
（6）若，，则 (7) 若，，则 (8)若与共线，则存在一个实数，使得成立 （9）与向量平行的单位向量有两个
（二）选做题（14～
15题，考生只能从中选做一题）
14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆的极坐标方程为，，，则圆的圆心的极坐标为___________.
15.（几何证明选做题）如图，过点作△的外接圆的切线交的延长线于点.若，，则___________.
三、解答题：本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16、(本小题满分12
分)已知函数，.
（1）在给定的直角坐标系中，运用“五点法”画出该函数在的图像。

（2）若为锐角，且满足，求的值。

c b a ,,=⇒⋅=⋅)()(c b a c b a ⋅⋅=⋅⋅=⋅()
2
2
+=+0=⋅,
//////⊥⊥⊥λλ=C ρθ=0>ρ]2,0[πθ∈C C ABC O BA D CD =2AB AC ==BC =)3
2sin(2)(π
+
=x x f R x ∈⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-∈65,6ππx θ1)()(=--θθf f θ
17、(本小题满分12分)盒中有大小相同的编号为1,2,3,4,5,6的6只小球，规定：从盒中一次摸出两只球，如果这两只球的编号均能被3整除，则获得一等奖，奖金10元，如果这两只球的编号均为偶数，则获得二等奖，奖金2元，其他情况均不获奖。

（1）若某人参加摸球游戏一次获奖金元，求的分布列与期望； （2）若某人摸一次且获奖，求他获得一等奖的概率。

18、(本小题满分14分)如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面
，,,是的中点，为上一点。

（1）求证：平面
(2)当为何值时，二面角为.
19． 设椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，且过点⎝⎛⎭⎫－1，－6
2．
(1)求椭圆E 的方程；
(2)设椭圆E 的左顶点是A ，直线l ：x －my －t ＝
0与椭圆E 相交于不同的两点M ，N (M ，
x x ABCD P -ABCD ⊥PA ABCD 1==PA AB 3=AD F PB E BC ⊥AF
PBC BE D PE C --
45
N 均与A 不重合)，且以MN 为直径的圆过点A ，试判断直线l 是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标．
20． 已知函数f 1(x )＝
2
x ＋1，f n ＋1(x )＝f 1(f n (x ))，且a n ＝f n （0）－1f n （0）＋2
. (1)求证：{a n }为等比数列，并求其通项公式；
(2)设b n ＝（－1）n －
12a n ，g (n )＝1＋12＋13＋…＋1
n (n ∈N *)，求证：g (b n )≥n ＋22
.
21．已知函数f (x )＝1＋ln x
x
．
(1)若函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫2a －1，a ＋1
4内有极值，求实数a 的取值范围； (2)当x ≥1时，不等式f (x )≥k
x ＋1
恒成立，求实数k 的取值范围；
(3)求证：[(n ＋1)！]2＞(n ＋1)e n －2＋2
n ＋1．(n ∈N *，e 为自然对数的底数)
参考答案：
一、选择题：
1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 解析：
3、B 二、填空题：
9、24 10、 11、70 12、6 13、
（4） 14、 15、 三、解答题
16、解：（1）(1)列表 （2）描点 （3）连线
……………….3分
C A B B C
D D A 2
2
14322222,(2)(4)(2),212,6a a a a a a a a =-+=+=-=-⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧≥
21x x ⎪⎭
⎫
⎝
⎛2,
2π32
………………6分
（2）由题意可知道：，………………7分
所以：……….. .8分 所以，即 ……………………………9分
因为，所以 ……………………………10分
所以或 ……………………………….11分 所以或 ……………………………….12分
17. 解(1):的可能值为0、2、10. ……………….1分
……………….2分
……………….3分
……………….4分 的分布列为
1)3
2sin(2)3
2sin(2=+
--+
π
θπ
θ)2,0(π
θ∈3
sin
2cos 3
cos
2sin π
θπ
θ+3
sin
)2cos(3
cos
)2sin(π
θπ
θ----2
1
=
2
13
cos
2sin 2=
π
θ21
2sin =θ)2
,
0(π
θ∈),0(2πθ∈6
2π
θ=
6
52π
θ=
12πθ=12
5πθ=x 15
3
)2P 2623===C C x （15
1
)10P 2622===C C x （15
11
)10()2(1)0P =
=-=-==x P x P x （x
……………….6分
. ……………….8分（2）设摸一次得一等奖的事件为A，摸一次得二等奖的事件为B. 则……………….9分某人摸一次且获奖为事件A+B，有因为A,B互斥，所以
……………….10分
……………….12分18、证明：(1)…….1分
…….2分
…………..3分
…………..4分
…………..5分
. …………..6分(2)如图
以A为原点，分别以AD,AB,AP为轴建系. …………..7分
15
16
15
1
10
15
3
2
15
11
0=
⨯
+
⨯
+
⨯
=
Ex
15
1
)
A
P
2
6
2
2=
=
C
C
（
15
3
)B
P
2
6
2
3=
=
C
C
（
15
4
15
3
15
1
)B
A
P=
+
=
+
（
4
1
15
4
15
1
B
A
P
A
P
)B
A
A
P=
÷
=
+
=
+
）
（
）
（
（
BC
PA
ABCD
BC
ABCD
PA⊥
∴
⊂
⊥，
平面
，
平面
.
ABCD AB
BC⊥
∴
是矩形，
，
平面AB
A,
AB
PA P
BC⊥
=
⋂
BC
AB⊥
∴
⊂AF
P
AF，
平面
又
.
F
PA
AB PB
AF
PB⊥
∴
=中点，
是
，
BC
B
BC
PB P
AF平面
，
又⊥
∴
=
⋂
z
y
x,
,
设BE=，则，，， . …………..8分 ，则
. …………..10分 . …………..11分 . …………..12分
. ………..13分 . …………..14分 19．解：(1)由e 2
＝c 2a 2＝a 2－b 2
a 2＝1
2
，可得a 2＝2b 2,
所以椭圆E 的方程为x 22b 2＋y 2
b 2＝1.
代入点⎝
⎛⎭
⎫
－1，－
62，可得b 2＝2，所以a 2＝4， 故椭圆E 的方程为x 24＋y 2
2
＝1.
(2)由x －my －t ＝0，得x ＝my ＋t ，把它代入椭圆E 的方程得
()m 2＋2y 2＋2mty ＋t 2－4＝0.设M (x 1，y 1)，N ()x 2，y 2，则
y 1＋y 2＝－2mt
m 2＋2，y 1y 2＝t 2－4m 2＋2，
故x 1＋x 2＝m ()y 1＋y 2＋2t ＝4t
m 2＋2
，
x 1x 2＝()my 1＋t ()my 2＋t ＝m 2
y 1y 2＋tm ()y 1＋y 2＋t 2
＝2t 2－4m 2
m 2＋2
.
因为以MN 为直径的圆过点A ，所以AM ⊥AN,
所以AM →·AN →
＝()x 1＋2，y 1·()x 2＋2，y 2＝x 1x 2＋2()x 1＋x 2＋4＋y 1y 2＝2t 2
－4m 2
m 2＋2＋2×4t m 2＋2＋4＋t 2－4m 2＋2＝3t 2＋8t ＋4m 2＋2＝()t ＋2()
3t ＋2m 2＋2
＝0.
a )1,0,0(P )0,0,3(D )0,1,(E a )2
1
,21,
0(F ),,(PDE z y x n =
的法向量为设平面⎪⎩⎪⎨⎧=-=⋅=⋅=+-=-⋅=⋅0
3)1,0,3(),,(0
)3()0,1,3(),,(z x z y x PD n y x a a z y x DE n
)3,3,1(,3,3,1a n z a y x -=∴=-==
得令），，（的法向量为平面又2
1
2
10PCE =
6
3
5,2
27322
2
213cos 2=
∴=
+-⋅-=
=∴a a a a
n
045A -DE -P 6
3
5BE 为时，二面角当=
∴
又因为M ，N 均与A 不重合，所以t ≠－2，所以t ＝－2
3
，
故直线l 的方程是x －my ＋2
3＝0，直线l 过定点T ⎝⎛⎭⎫－23，0.由于点T 在椭圆内部，所以满足判别式大于0，所以直线l 过定点T ⎝⎛⎭
⎫－2
3，0.
20．解： (1)a 1＝f 1（0）－1f 1（0）＋2＝14，a n ＋1a n ＝f n ＋1（0）－1f n ＋1（0）＋2
f n （0）－1f n （0）＋2＝2
f n （0）＋1
－1
2f n （0）＋1＋2
f n （0）－1f n （0）＋2＝1－f n （0）
2f n （0）＋4f n （0）－1
f n （0）＋2＝
－12
，∴a n ＝⎝⎛⎭⎫－12n ＋1.
(2)证明：由(1)知b n ＝2n ，g (b n )＝1＋12＋13＋…＋12n ，只要证：1＋12 ＋13＋…＋12n ≥n ＋2
2.
下面用数学归纳法证明：
n ＝1时，1＋12＝1＋2
2
，结论成立；
假设n ＝k (k ≥1)时，1＋12＋13＋…＋12k ＞k ＋2
2
成立，
那么n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1＞k ＋22＋12k ＋1＋…＋1
2k ＋1＞k ＋22＋
1
2k ＋1＋1
2k ＋1＋…＋1
2k ＋1＝k ＋22＋2k 2k ＋1＝k ＋32，结论也成立． 所以n ∈N *时g (b n )≥n ＋2
2
恒成立．
21．解： (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－
ln x
x 2
，由f ′(x )＝0得x ＝1， 当0＜x ＜1时，f ′(x )＞0；当x ＞1时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，故函数f (x )在x ＝1处取得唯一的极值，
由题意得⎩⎨⎧a ＋1
4
＞2a －1，2a －1＜1＜a ＋14
⇒3
4
＜a ＜1，故实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫34，1. (2)x ≥1时，不等式f (x )≥k
x ＋1化为1＋ln x x ≥k x ＋1
⇒k ≤（x ＋1）（1＋ln x ）x ，
令g (x )＝（x ＋1）（1＋ln x ）x ，由题意知k ≥g (x )在[1，＋∞)上恒成立，g ′(x )＝x －ln x
x 2，
再令h (x )＝x －ln x (x ≥1)，则h ′(x )＝1－1
x
≥0，当且仅当x ＝1时取等号，
因此h (x )＝x －ln x 在[1，＋∞)上递增，所以h (x )≥h (1)＝1＞0，
故g ′(x )＝x －ln x x 2
＞0，所以g (x )在[1，＋∞)上递增，g (x )min ＝g (1)＝2， 因此k ≤2，即k 的取值范围为(－∞，2]．
(3)由(2)知，当x ≥1时，f (x )≥2x ＋1恒成立，即1＋ln x x ≥2x ＋1，∴ln x ≥1－2x ＋1
＞1－2x . 令x ＝k (k ＋1)，k ∈N *，则有ln[k (k ＋1)]＞1－2k （k ＋1）
＝1－2⎝⎛⎭⎫1k －1k ＋1， 分别令k ＝1，2，3，…，n ，
则有ln(1×2)＞1－2⎝⎛⎭⎫1－12，ln(2×3)＞1－2⎝⎛⎭⎫12－13，…，ln[n (n ＋1)]＞1－2⎝⎛⎭
⎫1n －1n ＋1， 将这n 个不等式相加可得：
ln[1×22×32×…×n 2(n ＋1)]＞n －2⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝n －2＋2n ＋1
， 故12×22×32×…×n 2(n ＋1)＞e n －2＋2n ＋1，从而[(n ＋1)！]2＞(n ＋1)e n －2＋2n ＋1
.。