九年级数学下册 专题突破讲练 二次函数在几何图形中的应用试题 (新版)青岛版

二次函数在几何图形中的应用
二次函数在几何图形中的应用
1. 可用二次函数解决的几何问题特点：与面积相关。

2. 可用二次函数解决的几何问题类型：三角形、四边形、圆等。

3. 建立二次函数模型的依据：三角形、四边形、圆的面积公式。

方法归纳
（1）在圆的问题中，设半径或直径为自变量，则圆面积是半径或直径的二次函数。

（2）在矩形中，设一边为自变量，另一边用自变量表示，则其面积是这一边长的二次函数。

（3）在三角形或一般四边形中，通常设一边为自变量，用自变量表示这条边上的高，则其面积是这一边长的二次函数。

总结：
1. 能够根据几何图形的特点建立二次函数模型。

2.
会利用二次函数解决与几何图形相关的实际应用问题。

例题1 如图所示，有一块直角三角形的铁板，要在其内部作一个长方形ABCD ，其中AB 和BC 分别在两直角边上，设AB ＝x m ，长方形的面积为y m 2
，要使长方形的面积最大，其边长x 应为（ ）
A. 4m
B. 3m
C. 2m
D. 52m A B C
D
5m 12m 解析：根据长方形的面积＝大三角形的面积－两个小三角形的面积确定x 与y 之间的函数关系式，求出函数值y 最大时自变量x 的取值即可。

答案：根据题意得：y ＝30－12（5－x ）×y x －12x （12－y x ），整理得y ＝－125x 2＋12x ＝－125
[x 2－5x ＋（52）2－254]＝－125（x －52）2＋15．∵－125
＜0，∴长方形面积有最大值，当长方形面积最大时，
边长x 应为52m ，故选D 。

点拨：求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次项系数a 的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如y ＝－x 2－2x ＋5，y ＝3x 2
－6x ＋1等用配方法求解比较简单。

例题2 某建筑物的窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长（图中所有黑线的长度和）为15m ．当半圆的半径等于多少时，窗户通过的光线最多？（结果精确到0.01m ）此时，窗户的面积是多少？（精确到0.01m 2）
解析：先将图形分割成半圆和矩形，分别表示各部分的面积，建立函数关系式，再利用二次函数的性质求最值。

本题的突破口是找出圆的半径与小矩形竖直边长之间的关系。

答案：设半圆的半径为r m ，小矩形的竖直边长为y m ，大矩形水平边长为2rm 。

则4y ＋7r ＋πr ＝15，∴y ＝。

设窗户的面积为S ，则S ＝12πr 2＋2ry ＝12
πr 2＋2r ×＝－3.5r 2＋7.5r ， 因为－3.5＜0，所以S 有最大值。

当r ＝－7.52×（－3.5）≈1.07（m ）时，S 最大值＝－（7.5）2
4×（－3.5）
≈4.02（m 2）。

即当半径约为1.07m 时，窗户通过的光线最多，此时窗户的面积约为4.02m 2。

点拨：二次函数与几何图形相结合时，往往题目并未明确表示二次函数的关系式，二次函数的关系式可能隐藏在几何图形中，这时我们需要根据题中所给的信息设出自变量和函数，推导出函数关系式，再求出相应最值。

建立三角形或四边形的面积与边长之间的二次函数关系时，关键是找出三角形或四边形的高，用面积公式建立二次函数关系，当所给几何图形的边长与高之间的关系不明显时，常常把几何图形分割成三角形或四边形，或利用等积式将问题转化，
满分训练 某水渠的横截面呈抛物线形，水面的宽度为AB （单位：米），现以AB 所在直线为x 轴，以抛物线的对称轴为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设坐标原点为O 。

已知AB ＝8米，设抛物线解析式为y ＝ax 2
－4。

（1）求a 的值；
（2）点C （－1，m ）是抛物线上一点，点C 关于原点O 的对称点为点D ，连接CD ，BC ，BD ，求△BCD 的面积。

解：（1）∵AB＝8，由抛物线的性质可知OB ＝4，∴B（4，0），把B 点坐标代入解析式得：16a
－4＝0，解得：a ＝14； （2）过点C 作CE⊥AB 于E ，过点
D 作DF⊥AB 于F ，∵a ＝14，∴y ＝14
x 2－4，令x ＝－1，∴m ＝14×（－1）2－4＝－154，∴C （－1，－154），∵C 关于原点的对称点为D ，∴D 的坐标为（1，154
），则CE ＝DF ＝154，S △BCD ＝S △BOD ＋S △BOC ＝12OB ·DF ＋12OB ·CE ＝12×4×154＋12×4×154
＝15，∴△BCD 的面积为15平方米。

A B C D
E F O
x
y
分析：本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是熟练掌握用待定系数法函数解析式。

解答这类问题时注意充分利用图象中的某些特殊点，如顶点、抛物线与x 轴的交点等。

理解线段的长度与点的坐标之间的关系是解题关键。

一、选择题
1. 设等边三角形的边长为x （x ＞0），面积为y ，则y 与x 的函数关系式是（ ）
A. y ＝12x 2
B. y ＝14x 2
C. y ＝32x 2
D. y ＝34
x 2 2. 长方形的周长为24cm ，其中一边为x （其中x ＞0），面积为ycm 2，则这样的长方形中y 与x
的关系可以写为（ ）
A. y ＝x 2
B. y ＝（12－x 2）
C. y ＝（12－x ）•x
D. y ＝2（12－x ）
3. 如图，在平面直角坐标系中，点A 是抛物线y ＝a （x －3）2＋k 与y 轴的交点，点B 是这条抛
物线上的另一点，且AB ∥x 轴，则以AB 为边的等边三角形ABC 的周长为（ ） A. 9 B. 12 C. 18 D. 20
A B
C O
x
y
*4. 在平面直角坐标系中，如果横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点，将二次函数y ＝－x 2
＋6x －274
的图象与x 轴所围成的封闭图形染成红色，则在此红色区域内部及其边界上的整点的个数是（ ）
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8 **5. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝a ，BC ＝b ，b
3
≤a ≤3b ，AE ＝AH ＝CF ＝CG ，则四边形EFGH 的面积的最大值是（ ）
A. 116（a ＋b ）2
B. 18（a ＋b ）2
C. 14
（a ＋b ）2 D. 12（a ＋b ）2
**6. 数学活动课上，老师向同学们讲学校正在规划筹建周长为400m 的跑道的消息，鼓励同学们试
着给要建的跑道画一个示意图。

要求跑道的两端是半圆形，中间是直线跑道，且跑道中间矩形面积最大。

下面是四位同学给出的示意图，你认为正确的是（ ）
二、填空题 7. 在半径为
4cm 的圆中，挖去一个半径为x cm 的圆面，剩下一个圆环的面积为y cm 2
，则y 与x 的函数关系式为__________。

8. 如图，已知等腰直角△ABC 的直角边长与正方形MNPQ 的边长均为20厘米，AC 与MN 在同一直线上，开始时点A 与点N 重合。

让△ABC 以每秒2厘米的速度向左运动，最终点A 与点M 重合，则重叠部分面积y （厘米2）与时间t （秒）之间的函数关系式为__________。

A B C M N P Q
*9. 如图，△ABC 是直角三角形，∠A ＝90°，AB ＝8cm ，AC ＝6cm ，点P 从点A 出发，沿AB 方向以2cm /s 的速度向点B 运动；同时点Q 从点A 出发，沿AC 方向以1cm /s 的速度向点C 运动，其中一个动点到达终点，则另一个动点也停止运动，则三角形APQ 的最大面积是__________。

**10. 如图所示，从边长为5的正方形纸片ABCD 中剪去直角△EBF （点E 在边AB 上，点F 在边
BC上）。

若EB＋BF＝15
，则五边形AEFCD的面积的最小值是__________。

A B
C
D
F
三、解答题
11. 某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体。

其中，抽屉底面周长为180cm，高为20cm。

请通过计算说明，当底面的宽x为何值时，抽屉的体积y最大？最大为多少？（材质及其厚度等暂忽略不计）。

12. 已知抛物线y＝x2－2x＋m－1与x轴只有一个交点，且与y轴交于A点，如图，设它的顶点为B。

（1）求m的值；
（2）过A作x轴的平行线，交抛物线于点C，求证：△ABC是等腰直角三角形。

A
B C
O x
y
*13. 如图，四边形ABCD是矩形，A、B两点在x轴的正半轴上，C、D两点在抛物线y＝－x2＋6x 上。

设OA＝m（0＜m＜3），矩形ABCD的周长为l，求l与m的函数解析式。

**14. 用长为12m的篱笆，一边利用足够长的墙围出一块苗圃。

如图，围出的苗圃是五边形ABCDE，AE⊥AB，BC⊥AB，∠C＝∠D＝∠E。

设CD＝DE＝x m，五边形ABCDE的面积为S m2。

问：怎样设计才能使围出的苗圃面积最大，最大面积是多少？
**15. 用长度为20m的金属材料制成如图所示的金属框，下部为矩形，上部为等腰直角三角形，其斜边长为2x m。

当该金属框围成的图形面积最大时，图形中矩形的相邻两边长各为多少？请求出金属框围成的图形的最大面积。

45°45°
1. D 解析：作出BC 边上的高AD 。

∵△ABC 是等边三角形，边长为x ，∴CD ＝12x ，AD ＝32
x ，∴y ＝1
2x ×AD ＝34
x 2． 2. C 解析：∵长方形的周长为24cm ，其中一边为x （其中x ＞0），∴长方形的另一边长为12－x ，∴y ＝（12－x ）•x ．故选C 。

3. C 解析：由题意可知抛物线的对称轴为x ＝3，所以AB ＝6，所以等边三角形ABC 的周长为18。

*4. C 解析：抛物线与x 轴两交点坐标分别为（32，0）、（92，0），当x ＝2时y ＝－4＋12－274＝54
，所以红色区域内在直线x ＝2上的整点有（2，0）和（2，1）；当x ＝3时y ＝94
，且抛物线的对称轴是x ＝3，所以红色区域内在直线x ＝3上的整点有（3，0）、（3，1）、（3，2）；由抛物线的对称性可知在红色区域内直线x ＝4上的整点有两个。

所以满足题意的整点共7个。

本题可用数形结合法，画出图象，结果一目了然。

**5. B 解析：设AE ＝AH ＝CF ＝CG ＝x ，则BE ＝DG ＝a －x ，BF ＝DH ＝b －x ，设四边形EFGH 的面积为y ，依题意，得y ＝ab －x 2－（a －x ）（b －x ），即y ＝－2x 2
＋（a ＋b ）x ，∵－2＜0，抛物线
开口向下，函数有最大值为0－（a ＋b ）24×（－2）＝18
（a ＋b ）2。

故选B 。

**6. B 解析：设矩形的长为x m ，半圆的半径是r m ，中间的矩形区域面积是S m 2，根据题意知2x ＋2πr ＝400。

所以S ＝2rx ＝r （400－2πr ）＝－2πr 2＋400r ，即S 是r 的二次函数，其图象
开口向下，当r ＝－4002×（－2π）＝100π时，S 取得最大值。

此时x ＝400－2πr 2
＝100（m ），所以，应设计矩形的长为100m ，宽约为2r ＝200π
≈63.7m 时，矩形面积最大，故选B 。

7. y ＝－πx 2＋16π 解析：半径为4的圆的面积是16π，半径为x 的圆的面积是πx 2，所以函数解析式为y ＝－πx 2＋16π。

8. y ＝12
（20－2t ）2 解析：由题意可知重叠部分为等腰直角三角形，且AM ＝20－2t ，所以重叠部分的面积y ＝12
（20－2t ）2。

9. 16cm 2 解析：根据题意，点P 沿AB 方向以2cm /s 的速度向点B 运动；同时点Q 从点A 出发，沿AC 方向以1cm /s 的速度向点C 运动，∴AP ＝2t ，AQ ＝t ，S △APQ ＝t 2，∵0＜t ≤4，∴三角形APQ 的最大面积是16。

10. 2318 解析：本题即是求△EBF 面积的最大值，设其面积为y ，y ＝12
BE ·BF ，因为EB ＋BF ＝15，设BE ＝x ，则BF ＝15－x ，所以y ＝12x ·（15－x ）＝－12x 2＋152
x 。

由二次函数的性质可知当x ＝152时y 取得最大值为y ＝158。

所以五边形AEFCD 的面积的最小值是25－158＝1858。

11. 解：已知抽屉底面宽为x cm ，则底面长为180÷2－x ＝（90－x ）cm 。

由题意得：y ＝x （90－x ）×20＝－20（x 2－90x ）＝－20（x －45）2
＋40500，当x ＝45时，y 有最大值，最大值为40500。

答：当抽屉底面宽为45cm 时，抽屉的体积最大，最大体积为40500cm 3。

12. 解：（1）抛物线与x 轴只有一个交点，说明△＝0，即（－2）2－4（m －1）＝0，∴m ＝2。

（2）由（1）得抛物线的解析式是y ＝x 2－2x ＋1，∴A（0，1），B （1，0），∴△AOB 是等腰直角三角形。

又AC∥OB，∴∠BAC＝∠OAB＝45°，A ，C 是抛物线上一对对称点，∴AB＝BC ，∴△ABC 是等腰直角三角形。

*13. 解：把x ＝m 代入抛物线y ＝－x 2＋6x 中，得AD ＝－m 2＋6m ，把y ＝－m 2＋6m 代入抛物线y ＝－x 2＋6x 中，得－m 2＋6m ＝－x 2＋6x ，解得x 1＝m ，x 2＝6－m ，∴C 的横坐标是6－m ，故AB ＝6－m －m ＝6－2m ，∴矩形的周长l ＝2（－m 2＋6m ）＋2（6－2m ），即l ＝－2m 2＋8m ＋12。

**14. 解：连接EC ，作DF ⊥EC ，垂足为F ，∵∠DCB ＝∠CDE ＝∠DEA ，∠EAB ＝∠CBA ＝90°，∴∠DCB ＝∠CDE ＝∠DEA ＝120°，∵DE ＝CD ，∴∠DEC ＝∠DCE ＝30°，∴∠CEA ＝∠ECB ＝90°，∴四
边形EABC 为矩形，∵DE ＝x m ，∴AE ＝6－x ，DF ＝12x ，EC ＝3x ，S ＝－334
x 2＋63x （0＜x ＜6）。

∴当x ＝4m 时，S 最大＝123m 2。

**15. 解：根据题意等腰直角三角形的直角边长为2x m ，矩形的一边长为2x m 。

所以S ＝2x ·[10
－2x －2x ]＋12×2x ×2x ＝－（3＋22）x 2＋20x ，（0＜x ＜10－52）。

当x ＝103＋22
＝30－202时，金属框围成的面积最大，此时矩形的一边长2x ＝60－402（m ），相邻边长为10－（2＋2）·10（3－22）＝102－10（m ），S 最大＝100（3－22）＝300－2002（m 2）。