高中数学人教A版必修一 正切函数的图像和性质
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π
提示:当x= 2 +kπ(k∈Z)时,tan x没有意义,此时式子tan(-x)=-tan x不成立.
范例应用
例3.
关于正切函数
y tan x , 下列判断不正确的是（ B ）
A 是奇函数
B 在整个定义域上是增函数
C 在定义域内无最大值和最小值
D 平行于 x 轴的的直线被正切曲线各支所截
线段相等
讲授新知
y = tanx 是否为周期函数？
∵f x +π = tan x +π = tanx f x
问题1、正切函数
∴ y = tanx 是周期函数,
期．
是它的一个周
我们先来作一个周期内的图象。
想一想：先作哪个区间上的图象好呢？
ππ
(- , )
2 2
为什么？
y
掌握正切函数的定义域及正切
Байду номын сангаас曲线的渐近线．
目录
新壹
课
导
入
讲贰
授
新
知
当叁
堂
训
练
课肆
堂
小
结
延伍
伸
拓
展
壹
新课导入
新课导入
根据研究正弦函数、余弦函数的经验,你
认为应如何研究正切函数的图象与性质？
你能用不同方法研究正切函数吗？
我们可以从正切函数的定义出发研究
它的性质,再利用性质研究正切函数的
图象。
贰
讲授新知
范例应用
例 4. 求函数y tan( x
解:
4
)的定义域、值域和单调区间.
, 则y tan t的定义域为 t t R且t k + , k Z
4
2
x k , x k
4
2
4
设t x
因此，函数的定义域是 x x R且x k , k Z
4
叁
当堂训练
当堂训练
1.函数y＝tan 2
解析：
−
6
≠ 2 + 3, ∈
的定义域为______________．
因为2x－ ≠kπ＋ ,k∈Z,所以
6
2
x≠ + ,k∈Z
2
3
所以函数y＝tan 2 − 的定义域为
6
≠ + , ∈
2
3
当堂训练
2
课后作业
课后作业
延伸拓展
伍
延伸拓展
谢谢
tan
x
利用正切线画出函数
, x ， 的图像:
2 2
讲授新知
y
tan
x
x ，
问题2、如何利用正切线画出函数
,
2 2
的图像？
角 的终边
3
T
Y
（ ，
tan ）
3
A
0
3
3
X
利用正切线画出函数 y tan x , x ， 的图像:
2．函数y＝tan 3x的最小正周期是
________．
3
解析：
函数y＝tan 3x的最小正周期是 。
3
肆
课堂小结
课堂小结
1、正切曲线是先利用平移正切线得y tan x , x (
再利用周期性把该段图象向左、右扩展得到。
2 、y tan x 性质:
⑴ 定义域： {x | x
提示:正切函数的图象在定义域上不是连续的.
3.函数y=tan x在其定义域上是增函数.
( ✕
)
π
π
k
π,
k
π
提示:y=tan x在区间 2
2 (k∈Z)上是增函数,但在其定义域上不是增函数.
4.函数y=tan x为奇函数,故对任意x∈R都有tan(-x)=-tan x. ( ✕ )
4
值域 : R
y tan t的单调增区间是 - k , k , k Z
2
2
k x k
2
4 2
3
k x k
4
4
3
函数的单调增区间是 k
, k , k Z
4
(7)对称中心
(
kπ
,0)
2
在每一个开区间 (
2
, k Z
2
k ,
2
k ) , k Z内都是增函数。
范例应用
例1．
在下列函数中同时满足：①在 0, 上递增；
2
②以2π为周期；③是奇函数的是( C )
A．y＝tan x
B．y＝cos x
C．y＝tan
2
D．y＝－tan x
⑵ 值域：
R
k, k Z}
2
⑶ 周期性：
, )的图象，
2 2
⑷ 奇偶性：奇函数,图象关于原点对称。
k
(
, 0) 无对称轴
(5) 对称性：对称中心：
2
(6)单调性：在每一个开区间
π
π
(- + kπ, + kπ) , k Z 内都是增函数。
2
2
(7)渐近线方程： x k , k Z
第五章 三角函数
5.4 三角函数的图像和性质
5.4.3 正切函数的图像和性质
教学目标
教学目标
1.推导并理解正切函数在区间(− , )内
2 2
的性质；
2.能画出y=tanx的图象；
3.会用正切函数的性质解决有关问题。
教学重、难点
教学重、难点
重点：
能画出正切函数的图象,掌握正
切函数的性质．
难点：
范例应用
解析：
A,D的周期为π,B中函数在
减,故选C。
0,
2
上递
范例应用
例2.
判断正误,正确的画“√” ,错误的画“ ✕” 。
π
1.函数y=|tan x|是周期函数,其最小正周期为 2 .
( ✕ )
提示:y=|tan x|是周期函数,但最小正周期T=π.
2.正切函数的图象是连续不断的.
( ✕ )
2 2
作法: (1) 等分：把单位圆右半圆分成8等份。
(2) 作正切线
3
3
, , ,
,
,
(3) 平移
8
8
4
8
8
4
(4) 连线
o
3 0
2
8
4
8
8
4
3
8
2
讲授新知
正切曲线
是由通过点 (k
2
, 0)(k Z )且与 y 轴相互平行的
直线隔开的无穷多支曲线组成
渐
进
线
0
渐
进
线
讲授新知
性质 :
⑴ 定义域：{x | x
⑵ 值域： R
⑶ 周期性：
k, k Z}
2
⑷ 奇偶性： 奇函数,图象关于原点对称。
⑸ 单调性： 在每一个开区间
( k , k )
,k Z 内都是增函数。
2
2
x k
(6)渐近线方程：
提示:当x= 2 +kπ(k∈Z)时,tan x没有意义,此时式子tan(-x)=-tan x不成立.
范例应用
例3.
关于正切函数
y tan x , 下列判断不正确的是（ B ）
A 是奇函数
B 在整个定义域上是增函数
C 在定义域内无最大值和最小值
D 平行于 x 轴的的直线被正切曲线各支所截
线段相等
讲授新知
y = tanx 是否为周期函数？
∵f x +π = tan x +π = tanx f x
问题1、正切函数
∴ y = tanx 是周期函数,
期．
是它的一个周
我们先来作一个周期内的图象。
想一想：先作哪个区间上的图象好呢？
ππ
(- , )
2 2
为什么？
y
掌握正切函数的定义域及正切
Байду номын сангаас曲线的渐近线．
目录
新壹
课
导
入
讲贰
授
新
知
当叁
堂
训
练
课肆
堂
小
结
延伍
伸
拓
展
壹
新课导入
新课导入
根据研究正弦函数、余弦函数的经验,你
认为应如何研究正切函数的图象与性质？
你能用不同方法研究正切函数吗？
我们可以从正切函数的定义出发研究
它的性质,再利用性质研究正切函数的
图象。
贰
讲授新知
范例应用
例 4. 求函数y tan( x
解:
4
)的定义域、值域和单调区间.
, 则y tan t的定义域为 t t R且t k + , k Z
4
2
x k , x k
4
2
4
设t x
因此，函数的定义域是 x x R且x k , k Z
4
叁
当堂训练
当堂训练
1.函数y＝tan 2
解析：
−
6
≠ 2 + 3, ∈
的定义域为______________．
因为2x－ ≠kπ＋ ,k∈Z,所以
6
2
x≠ + ,k∈Z
2
3
所以函数y＝tan 2 − 的定义域为
6
≠ + , ∈
2
3
当堂训练
2
课后作业
课后作业
延伸拓展
伍
延伸拓展
谢谢
tan
x
利用正切线画出函数
, x ， 的图像:
2 2
讲授新知
y
tan
x
x ，
问题2、如何利用正切线画出函数
,
2 2
的图像？
角 的终边
3
T
Y
（ ，
tan ）
3
A
0
3
3
X
利用正切线画出函数 y tan x , x ， 的图像:
2．函数y＝tan 3x的最小正周期是
________．
3
解析：
函数y＝tan 3x的最小正周期是 。
3
肆
课堂小结
课堂小结
1、正切曲线是先利用平移正切线得y tan x , x (
再利用周期性把该段图象向左、右扩展得到。
2 、y tan x 性质:
⑴ 定义域： {x | x
提示:正切函数的图象在定义域上不是连续的.
3.函数y=tan x在其定义域上是增函数.
( ✕
)
π
π
k
π,
k
π
提示:y=tan x在区间 2
2 (k∈Z)上是增函数,但在其定义域上不是增函数.
4.函数y=tan x为奇函数,故对任意x∈R都有tan(-x)=-tan x. ( ✕ )
4
值域 : R
y tan t的单调增区间是 - k , k , k Z
2
2
k x k
2
4 2
3
k x k
4
4
3
函数的单调增区间是 k
, k , k Z
4
(7)对称中心
(
kπ
,0)
2
在每一个开区间 (
2
, k Z
2
k ,
2
k ) , k Z内都是增函数。
范例应用
例1．
在下列函数中同时满足：①在 0, 上递增；
2
②以2π为周期；③是奇函数的是( C )
A．y＝tan x
B．y＝cos x
C．y＝tan
2
D．y＝－tan x
⑵ 值域：
R
k, k Z}
2
⑶ 周期性：
, )的图象，
2 2
⑷ 奇偶性：奇函数,图象关于原点对称。
k
(
, 0) 无对称轴
(5) 对称性：对称中心：
2
(6)单调性：在每一个开区间
π
π
(- + kπ, + kπ) , k Z 内都是增函数。
2
2
(7)渐近线方程： x k , k Z
第五章 三角函数
5.4 三角函数的图像和性质
5.4.3 正切函数的图像和性质
教学目标
教学目标
1.推导并理解正切函数在区间(− , )内
2 2
的性质；
2.能画出y=tanx的图象；
3.会用正切函数的性质解决有关问题。
教学重、难点
教学重、难点
重点：
能画出正切函数的图象,掌握正
切函数的性质．
难点：
范例应用
解析：
A,D的周期为π,B中函数在
减,故选C。
0,
2
上递
范例应用
例2.
判断正误,正确的画“√” ,错误的画“ ✕” 。
π
1.函数y=|tan x|是周期函数,其最小正周期为 2 .
( ✕ )
提示:y=|tan x|是周期函数,但最小正周期T=π.
2.正切函数的图象是连续不断的.
( ✕ )
2 2
作法: (1) 等分：把单位圆右半圆分成8等份。
(2) 作正切线
3
3
, , ,
,
,
(3) 平移
8
8
4
8
8
4
(4) 连线
o
3 0
2
8
4
8
8
4
3
8
2
讲授新知
正切曲线
是由通过点 (k
2
, 0)(k Z )且与 y 轴相互平行的
直线隔开的无穷多支曲线组成
渐
进
线
0
渐
进
线
讲授新知
性质 :
⑴ 定义域：{x | x
⑵ 值域： R
⑶ 周期性：
k, k Z}
2
⑷ 奇偶性： 奇函数,图象关于原点对称。
⑸ 单调性： 在每一个开区间
( k , k )
,k Z 内都是增函数。
2
2
x k
(6)渐近线方程：