海口市2019-2020学年高一下期末监测数学试题含解析

海口市2019-2020学年高一下期末监测数学试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．2021年某省新高考将实行“312++”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式.某同学已选了物理，记事件A ：“他选择政治和地理”，事件B ：“他选择化学和地理”，则事件A 与事件B （ ）
A ．是互斥事件，不是对立事件
B ．是对立事件，不是互斥事件
C ．既是互斥事件，也是对立事件
D ．既不是互斥事件也不是对立事件
【答案】A
【解析】
【分析】
事件A 与事件B 不能同时发生，是互斥事件，他还可以选择化学和政治，不是对立事件，得到答案.
【详解】
事件A 与事件B 不能同时发生，是互斥事件
他还可以选择化学和政治，不是对立事件
故答案选A
【点睛】
本题考查了互斥事件和对立事件，意在考查学生对于互斥事件和对立事件的理解.
2．已知()3,0A ,()1,1B ,()2,3C 三点,则ABC ∆的形状是( )
A ．钝角三角形
B ．直角三角形
C ．锐角三角形
D ．等腰直角三角形 【答案】D
【解析】
【分析】
计算三角形三边长度，通过边关系进行判断.
【详解】
由两点之间的距离公式可得：
AB ==
AC ==
BC == 因为AB BC =，且222
AB BC AC +=
故该三角形为等腰直角三角形.
故选：D.
【点睛】
本题考查两点之间的距离公式，属基础题.
3．已知函数()tan f x x =，则下列结论不正确的是（ ）
A ．2π是()f x 的一个周期
B ．33()()44f f ππ-=
C ．()f x 的值域为R
D ．()f x 的图象关于点(,0)2π对称 【答案】B
【解析】
【分析】
利用正切函数的图像和性质对每一个选项逐一分析得解.
【详解】
A ．()tan f x x =的最小正周期为π，所以2π是()f x 的一个周期，所以该选项正确； B. 33()1,()1,44
f f ππ-==-所以该选项是错误的； C. ()tan f x x =的值域为R ，所以该选项是正确的；
D. ()tan f x x =的图象关于点(
,0)2π对称,所以该选项是正确的.
故选B
【点睛】
本题主要考查正切函数的图像和性质，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
4．圆221:430C x y x +-+=与圆222:(1)(4)C x y a ++-=恰有三条公切线，则实数a 的值是（ ） A ．4
B ．6
C ．16
D ．36
【答案】C
【解析】
【分析】 两圆外切时，有三条公切线．
【详解】
圆1C 标准方程为22(2)1x y -+=，
∵两圆有三条公切线，∴两圆外切，
∴
1=+，16a =．
故选C ．
【点睛】
本题考查圆与圆的位置关系，考查直线与圆的位置关系．两圆的公切线条数：两圆外离时，有4条公切线，
两圆外切时，有3条公切线，两圆相交时，有2条公切线，两圆内切时，有1条公切线，两圆内含时，无无公切线．
5．已知等差数列{}n a 中，132,
4a a ==，则公差d =（ ） A ．2-
B ．1-
C ．1
D ．2
【答案】C
【解析】
【分析】
利用通项得到关于公差d 的方程，解方程即得解.
【详解】
由题得2+24,1d d =∴=.
故选C
【点睛】
本题主要考查数列的通项的基本量的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力. 6．设0.40.6a =，0.4log 6b =，0.6log 0.4c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）
A ．a c b >>
B ．b c a >>
C ．c b a >>
D ．c a b >> 【答案】D
【解析】
【分析】
首先确定题中a ，b ，c 的取值范围，再根据大小排序即可.
【详解】
由题知，0.4000.60.61a <=<=， 0.40.4log 6log 10b =<=，
0.60.6log 0.4log 0.61c =>=，
所以排序得到c a b >>.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了比较指数对数的大小问题，属于基础题.
7．如图所示四棱锥S ABCD -的底面为正方形，SD ⊥平面ABCD 则下列结论中不正确的是（ ）
A ．AC S
B ⊥
B ．//AB 平面SCD
C ．直线SA 与平面SB
D 所成的角等于30°
D ．SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角
【答案】C
【解析】
【分析】 根据空间中垂直关系的判定和性质，平行关系的判定和性质，以及线面角的相关知识，对选项进行逐一判断即可.
【详解】
对A ：因为底面ABCD 为正方形，故AC ⊥BD ，
又SD ⊥底面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，故SD ⊥AC ，
又BD ⊂平面SBD ，SD ⊂平面SBD ，故AC ⊥平面SBD ，
又SB ⊂平面SBD ，故AC SB ⊥.
故A 正确；
对B ：因为底面ABCD 为正方形，故AB//CD ，
又CD ⊂平面SCD ，故AB//平面SCD.
故B 正确.
对C ：由A 中推导可知AC ⊥平面SBD ，故取AC 与BD 交点为O ，连接SO ，如图所示：
则ASO ∠即为所求线面角，但该三角形中边长关系不确定，
故线面角的大小不定，
故C 错误；
对D ：由AC ⊥平面SBD ，故取AC 与BD 交点为O ，连接SO ，
则,ASO CSO ∠∠即为SA 和SC 与平面SBD 所成的角，
因为SOA SOC ≅，故ASO CSO ∠=∠，
故D 正确.
综上所述，不正确的是C.
故选：C.
【点睛】
本题综合考查线面垂直的性质和判定，线面平行的判定，线面角的求解，属综合基础题.
8．若直线222x ay a +=+与直线20ax y +=平行，则实数a =
A ．0
B ．1
C ．1-
D ．±1 【答案】B
【解析】
【分析】 根据两直线的平行关系，列出方程122a a =，即可求解实数a 的值，得到答案． 【详解】
由题意，当0a =时，显然两条直线不平行，所以0a ≠；
由两条直线平行可得：122
a a =，解得1a =±， 当1a =时，直线方程分别为：24x y +=，20x y +=，显然平行，符合题意；
当1a =-时，直线方程分别为20x y -=，20x y -+=，很显然两条直线重合，不合题意，舍去， 所以1a =，故选B ．
【点睛】
本题主要考查了两直线的位置关系的应用，其中解答中熟记两直线平行的条件，准去计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
9．如图，点N 为正方形ABCD 的中心，ECD ∆为正三角形，平面ECD ⊥平面,ABCD M 是线段ED 的中点，则（ ）
A ．BM EN =，且直线,BM EN 是相交直线
B ．BM EN ≠，且直线,BM EN 是相交直线
C ．BM EN =，且直线,BM EN 是异面直线
D ．BM EN ≠，且直线,BM EN 是异面直线
【答案】B
【解析】
【分析】
利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题．
【详解】
如图所示， 作EO CD ⊥于O ，连接ON ，过M 作MF OD ⊥于F ．
连BF ，平面CDE ⊥平面ABCD ．
,EO CD EO ⊥⊂平面CDE ，EO ∴⊥平面ABCD ，MF ⊥平面ABCD ，
MFB ∴∆与EON ∆均为直角三角形．设正方形边长为2，易知3,12EO ON EN ===，
35
,,722MF BF BM ==∴=．BM EN ∴≠，故选B ．
【点睛】
本题考查空间想象能力和计算能力， 解答本题的关键是构造直角三角性．
1021sin 160-︒( )
A ．cos160︒
B ．cos160±︒
C ．cos160±︒
D ．cos160-︒
【答案】D
【解析】
【分析】
确定角的象限，结合三角恒等式，然后确定cos160︒的符号，即可得到正确选项．
【详解】
因为160︒为第二象限角，
221sin 160cos 160cos160cos160-︒=︒=︒=-︒，故选D.
【点睛】
本题是基础题，考查同角三角函数的基本关系式，象限三角函数的符号，考查计算能力，常考题型． 11．在ABC 中，边a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，
且满足()cos 3cos b C a c B =-，若4BC BA ⋅=，则ac 的值为
() A ．12
B ．11
C ．10
D ．9 【答案】A
【解析】
【分析】
利用正弦定理把题设等式中的边换成角的正弦，进而利用两角和公式化简整理可得cos B 的值，由4BC BA ⋅=可得ac 的值
【详解】
在ABC 中，()3bcosC a c cosB =-
由正弦定理可得()sin cos 3sin sin cos B C A C B =-
3sin cos sin cos sin cos A B C B B C ∴-=化为：3sin cos sin cos sin cos A B C B B C =+
即()sin sin B C A +=
在ABC 中，sin 0A ≠，故1cos 3
B = 4B
C BA ⋅=,
可得cos 4ac B =，即12ac =
故选A
【点睛】
本题以三角形为载体，主要考查了正弦定理，向量的数量积的运用，考查了两角和公式，考查了分析问题和解决问题的能力，属于中档题。

12．棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ）
A B ．C ．D ．【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】
三棱锥的表面积为四个边长为1的等边三角形的面积和，
故241)4
S =⨯表面= A. 二、填空题：本题共4小题
13．设直线2y x a =+与圆C ：x 2+y 2-2ay-2=0相交于A ，B 两点，若AB =C 的面积为________
【答案】4π
【解析】
因为圆心坐标与半径分别为(0,),C a r =d ==，则
2232a +=+，解之得22a =，所以圆的面积2(22)4S r πππ==+=，应填答案4π．
14．已知角α的终边经过点(3,4)P -，则sin α=______． 【答案】45-
【解析】
由题意5r ==，则44sin 55
α-==-. 15．已知正三棱锥P ABC -的底面边长为6，PA 所在直线与底面ABC 所成角为60°，则该三棱锥的侧面积为_______．
【答案】【解析】
【分析】
画出图形，过P 做底面的垂线，垂足O 落在底面正三角形中心，即=60PAO ∠，因为
226
==
332
AO AD ，即可求出PD ==所以1S 362=⨯⨯=． 【详解】
作AD BC ⊥于D ，
因为P ABC -为正三棱锥，所以，D 为BC 中点，
连结PD ，则PD BC ⊥，
过P 作PO ⊥平面ABC ，则O 点为正三角形的中心，点O 在PD 上，
所以，60PAO ∠=，
正三角形的边长为6，则AD ==,
2
3
AO AD ==DO =PO AO tan 606︒=⨯=，
斜高2239PD PO OD =+=，
三棱锥的侧面积为：1
S 36399392=⨯⨯⨯=
【点睛】
此题考查正三棱锥，即底面为正三角形，侧面为等腰三角形的三棱锥，正四面体为四个面都是正三角形，画出图像，属于简单的立体几何题目． 16．已知锐角α、β满足5sin α=310cos β=，则αβ+=________. 【答案】4
π. 【解析】 试题分析：由题意25102cos )cos ?cos sin ?sin αβαβαβαβ==+=-=+4π
αβ=.
考点：三角函数运算.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知()()2log 2log 3(0m m f x x x m =+->，且1)m ≠
（1）当2m =时，解不等式()0f x <；
（2）()0f x <在[]2,4恒成立，求实数m 的取值范围.
【答案】（1）1{|
2}8x x <<；（2）()34,4⎛⋃+∞ ⎝. 【解析】
试题分析：（1）当2m =时，可得()222log 2log 30x x +-<，即为23log 1x -<<，由对数函数的单调性，可得不不等式的解集；（2）由()0f x <在[]2,4上恒成立，得3log 1m x -<<在[]
2,4上恒成立，讨论1,01m m ><<，根据x 的范围，由恒成立思想，可得m 的范围.
试题解析：（1）当2m =时，解不等式()0f x <，得()2log 2log 30m m x x +-<，
即23log 1x -<<， 故不等式的解集为1{|2}8x x <<. （2）由()0f x <在[]2,4恒成立，得3log 1m x -<<在[]
2,4恒成立， ①当1m >时，有3log 2log 21m m -<⎧⎨<⎩
，得4m >， ②当01m <<时，有3log 4log 21m m -<⎧⎨<⎩
，得0m << 故实数m
的取值范围()4,⎛
⋃+∞ ⎝. 18．已知函数(
)()()()2cos +2cos
02f x x x x πϕϕϕϕ⎛⎫=+++<< ⎪⎝⎭
. （1）求()f x 的最小正周期； （2）若13f π⎛⎫= ⎪⎝⎭
，求当()2f x =时自变量x 的取值集合. 【答案】（1）π；（2）12x x k ππ⎧
=-+⎨⎩或()4x k k Z ππ⎫=+∈⎬⎭
【解析】
【分析】
（1）由辅助角公式可得()f x 2sin 2216x πϕ⎛
⎫=+++ ⎪⎝⎭
，再求周期即可； （2）由13f π⎛⎫=
⎪⎝⎭求出12πϕ=，再解方程2sin 2123x π⎛⎫++= ⎪⎝⎭即可. 【详解】 解：（1）(
)()()()2cos 2cos f x x x x ϕϕϕ=+++
+()()2cos21x x ϕϕ=++++
2sin 2216x πϕ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭
， 则()f x 的最小正周期为2T π
πω==.
（2）因为13f π⎛⎫=
⎪⎝⎭，所以2sin 221136ππϕ⎛⎫⨯+++= ⎪⎝⎭，即()526k k Z πϕπ+=∈， 解得()5212
k k Z ππϕ=-∈. 因为02π
ϕ<<，所以12π
ϕ=.
因为()2f x =，所以2sin 2123x π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，即1sin 232x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 则2236x k ππ
π+=+或()52236x k k Z π
ππ+=
+∈， 解得12x k π
π=-+或()4x k k Z π
π=+∈.
故当()2f x =时，自变量x 的取值集合为12x x k ππ⎧
=-+⎨⎩或()4x k k Z ππ⎫=+∈⎬⎭
. 【点睛】
本题考查了三角恒等变换，重点考查了解三角方程，属中档题.
19．2018年北京市进行人口抽样调查，随机抽取了某区居民13289人，记录他们的年龄，将数据分成10
组：[0,10)，[10,20)，[20,30)，…[90,100]，并整理得到如下频率分布直方图：
（Ⅰ）从该区中随机抽取一人，估计其年龄不小于60的概率；
（Ⅱ）估计该区居民年龄的中位数（精确到0.1）；
（Ⅲ）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计该区居民的平均年龄.
【答案】（Ⅰ）0.235（Ⅱ）43.6（Ⅲ）44
【解析】
【分析】
（I ）计算[]60,100之间的频率和，由此估计出年龄不小于60的概率.（II ）从左往右，计算出频率之和为
0.5的位置，由此估计中中位数.（III ）用各组中点值乘以频率人后相加，求得居民平均年龄的估计值.
【详解】
解：（Ⅰ）设从该区中随机抽取一人，估计其年龄不小于60为事件A ,
()0.1250.0650.040.0050.235P A =+++=
所以该区中随机抽取一人，估计其年龄不小于60的概率为0.235.
（Ⅱ）年龄在[0,40)的累计频率为0.0750.0350.160.180.45+++=,
0.050.014 3.6÷≈,
所以估计中位数为40 3.643.6+=.
（Ⅲ）平均年龄为
50.075150.035250.16350.18450.14550.175650.125750.065850.04950.0⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯44=
【点睛】
本小题主要考查频率分布直方图的识别与应用，考查频率分布直方图估计中位数和平均数，考查运算求解能力，属于中档题.
20．如图，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 为顶点的五面体中，面ABCD 是等腰梯形，//AB CD ，面ABFE
是矩形，平面ABFE ⊥平面ABCD ，BC CD AE a ===，60DAB ∠=.
（1）求证：平面⊥BDF 平面ADE ；
（2）若三棱锥B DCF -的体积为
312，求a 的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）1.
【解析】
【分析】
（1）由面面垂直的性质定理得出AE ⊥平面ABCD ，可得出BD AE ⊥，再推导出BD AD ⊥，利用线
面垂直的判定定理得出BD ⊥平面ADE ，然后利用面面垂直的判定定理可得出平面⊥BDF 平面ADE ； （2）推导出BF ⊥平面ABCD ，计算出BCD 的面积，然后利用锥体体积公式可求得三棱锥F BCD -的体积，进而得解.
【详解】
（1）因为四边形ABFE 是矩形，故EA AB ⊥，
又平面ABFE ⊥平面ABCD ，平面ABFE 平面ABCD AB =，AE ⊂平面ABFE ，
所以AE ⊥平面ABCD ，又BD ⊂面ABCD ，所以AE BD ⊥，
在等腰梯形ABCD 中，60DAB ∠=，120ADC BCD ︒∴∠=∠=，
因BC CD =，故30BDC ∠=，1203090ADB ∠=-=，即AD BD ⊥，
又AE AD A =，故BD ⊥平面ADE ，
BD ⊂平面BDF ，所以平面⊥BDF 平面ADE ；
（2）BCD 的面积为2213sin12024
BCD S a a ==， //AE FB ，AE ⊥平面ABCD ，所以，BF ⊥平面ABCD ，
2313333D BCF F BCD V V a --∴==⋅==，故1a =. 【点睛】 本题考查面面垂直的证明，同时也考查了利用三棱锥体积求参数，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 21．已知向量,a b 的夹角为60°，且||1,||2a b ==.
（1）求||a b -与|2|-a b 的值；
（2）求a b -与2a b -的夹角θ.
【答案】（1）||3a b -=
，|2|2a b -=；（2）6πθ=. 【解析】
【分析】
（1）根据22||2a b a b a b -=+-⋅，22|2|44a b a b a b -=+-⋅即可得解；
（2）根据公式()()2cos 2a b a b a b a b θ-⋅-=--计算求解. 【详解】 （1）由题向量,a b 的夹角为60°，所以cos601a b a b ⋅=⋅︒=， 22||21423a b a b a b -=+-⋅=+-= 22|2|444442a b a b a b -=+-⋅=+-=；
（2）(
)()2222
cos 22a b a b a a b a b
θ-⋅-====
--， 所以6π
θ=
【点睛】
此题考查平面向量数量积，根据定义计算两个向量的数量积，求向量的模长和根据数量积与模长关系求向量夹角.
22．已知ABC ∆的外接圆．．．
，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，又向量()sin sin ,
m A C b a =--
，sin sin ,sin 4n A C B ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭
，且m n ⊥. （1）求角C ；
（2）求三角形ABC 的面积S 的最大值并求此时ABC ∆的周长.
【答案】 (1) 3C π=. (2) max
S =. 【解析】
【分析】
（1）由0m n m n ⊥⇒⋅=，利用坐标表示化简，结合余弦定理求角C （2
）利用（1）中222c a b ab =+
-，应用正弦定理和基本不等式，即可求出面积的最大值，此时三角形为正三角即可求周长.
【详解】
（1）∵0m n m n ⊥⇒⋅=，
∴()()()sin sin sin sin sin 04
A C A C b a
B -++-=， 且2R =()2202242a c b b a R R R ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 化简得：222c a b ab =+-.
由余弦定理：2222cos c a b ab C =+-，∴12cos 1cos 2C C =⇒=
，
∵0C π<
<，∴3C π
=.
（2）∵()22222sin 6a b
ab c R C +-===，
∴2262
a b ab ab ab ab =+-≥-=（当且仅当a b =时取“=”）
1sin 24S ab C ab ==≤， 所以，max S =ABC ∆为正三角形，此时三角形的周长为
【点睛】
本题主要考查了利用数量积判断两个平面向量的垂直关系，正弦定理，余弦定理，基本不等式，属于中档题.。