2018年秋九年级数学上册2.5一元二次方程的应用第2课时图形面积和动点几何问题练习湘教版

8
第2课时图形面积和动点几何问题
知|识|目|标
1．通过讨论、探究，会用一元二次方程解决图形面积问题．
2．在理解直角三角形面积计算的基础上，能够建立一元二次方程解决与动点有关的几何问题．
目标一能利用一元二次方程解决图形面积问题
例1教材例3针对训练如图2－5－2，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一块长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米．
(1)用含a的式子表示花圃的面积；
3
(2)如果通道所占面积是整个长方形空地面积的，求出此时通道的宽．
图2－5－2
【归纳总结】利用图形的面积建立一元二次方程模型的步骤
(1)设元；(2)用未知数表示各边的长度；(3)利用面积公式列一元二次方程；(4)解一元二次方程；(5)针对实际情况舍去负根和超范围的根，从而得出结果．
目标二利用一元二次方程解决动点几何问题
例2教材补充例题在矩形ABCD中，AB＝5cm，BC＝6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t s(t>0)．
(1)填空：BQ＝________cm，PB＝________cm(用含t的代数式表示)．
(2)当t为何值时，PQ的长度等于5cm?
(3)是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于26cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【归纳总结】利用一元二次方程解决动点问题的方法
(1)构造直角三角形法，利用勾股定理建立一元二次方程．(2)等线段法，利用三角形全等构造两线段相等，建立一元二次方程；(3)等面积法，利用三角形面积(或三角形高)的变化建立面积等式．实现将几何问题转化为代数问题，从而加以解决．
知识点利用一元二次方程解几何图形问题
常用的等量关系有：(1)勾股定理；(2)面积的等量关系．
[点拨]在建立一元二次方程模型解几何图形实际问题的过程中，必须检验方程的根的实际意义，所求得的根应该保证几何图形的存在．
如图2－5－3，某农场有一块长40m，宽32m的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为1140m2，求小路的宽．
解得 x ＝ .
18 图 2－5－3
解：解法 1：设小路的宽为 x m ，则东西方向小路的面积为 40x m 2，南北方向小路的面
积为 32x m 2.
则 40×32－40x －32x ＝1140，
35
18
35
所以小路的宽为 m.
解法 2：设小路的宽为 x m ，将 4 块种植地平移为一个矩形，其长为(40－x )m ，宽为(32
－x )m.根据矩形面积公式，得(40－x )(32－x )＝1140，
整理得 x 2－72x ＋140＝0.
解得 x 1＝2，x 2＝70.
答：小路的宽应是 2 m 或 70 m.
以上两种解法正确吗？若不正确，出现错误的原因是什么？请给出正确的答案．
2
详解详析
【目标突破】
例 1 解：(1)由图可知，花圃的面积为(40－2a)(60－2a)平方米．
3
(2)由已知可列方程：60×40－(40－2a)(60－2a)＝8×60×40，解得 a 1＝5，a 2＝45(舍
去)．
答：此时通道的宽为 5 米．
例 2 解：(1)2t (5－t)
(2)由题意得(5－t)2＋(2t)2＝52，
解得 t 1＝0(不合题意，舍去)，t 2＝2.
∴当 t ＝2 时，PQ 的长度等于 5 cm .
(3)存在．
∵矩形 ABCD 的面积是 5×6＝30(cm 2)， 五边形 APQCD 的面积等于 26 cm 2， ∴△PBQ 的面积为 30－26＝4(cm 2)，
1
∴(5－t)×2t× ＝4，
解得 t 1＝4(不合题意，舍去)，t 2＝1.
即当 t ＝1 时，五边形 APQCD 的面积等于 26 cm 2.
备选题型 用一元二次方程解决存在性问题
例 用一根长 22 cm 的铁丝，能不能恰好折成一个面积为 32 cm 2 的矩形？试分析你的
结论．
解：设折成的矩形的长为 x cm ，
则宽为(11－x)cm ，
矩形的面积为 x(11－x)cm 2，
依题意，得x(11－x)＝32，
化简为x2－11x＋32＝0，
Δ＝b2－4ac＝(－11)2－4×1×32＝121－128＝－7＜0，因此方程无实数根，
则用长为22cm的铁丝不能折成一个面积为32cm2的矩形．
【总结反思】
[反思]解：两种解法都不正确，解法1多减去了两条小路交叉重叠的小正方形的面积，因此正确的方程是40×32－40x－32x＋x2＝1140；解法2没有考虑方程的根是否符合实际意义，因为x＜32，显然x＝70不符合题意．正确的答案为x＝2，即小路的宽为2m.。