相似三角形判定定理的证明课件北师大版九年级上册数学
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△ABC类似，添加一个条件，不 正 确 的是( C )
．．．
A.∠ABD＝∠C
B.∠ADB＝∠ABC
C.＝
D.＝
合作探究
变式训练
如图，∠1＝∠2，添加一个条件使得
＝
△ADE∽△ACB，这个条件为∠D＝∠C或∠E＝∠B或
.
合作探究
如图，已知 ＝ ＝ ，求证:∠BAD＝∠CAE.
5
5
△AED与以M、N、C为顶点的三角形类似.
过点E作BE的垂线交BC的延长线于点F，交边CD于点P，则图
中共有类似三角形( A )
A.6对
B.5对Biblioteka C.4对D.3对合作探究
2. 如图，正方形ABCD的边长为2，AE＝EB，线段MN的两
端点分别在CB、CD上滑动，且MN＝1，当CM为何值时△AED
与以M、N、C为顶点的三角形类似？
合作探究
解:∵AE＝EB，∴AD＝2AE，
∵DC＝7，AD＝2，BC＝4，设PD＝x，
∴PC＝7－x.
①若PD∶PC＝AD∶BC，则△PAD∽△PBC，
∴ ＝ ，解得PD＝ ；
−
②若PD∶BC＝AD∶PC，则△PAD∽△BPC，
±
∴ ＝ ，解得PD＝
.
−
∴存在3个这样的点P.
合作探究
1.如图，在矩形ABCD中，E是边AD上的任意一点，连接BE，
∵∠AFB＋∠BFE＝180°，∠D＋∠C＝180°，∠BFE＝
∠C，
∴∠AFB＝∠D，
∴△ABF∽△EAD.
预习导学
(2)∵△ABF∽△EAD，
∴ ＝ .
∵AB＝3，∠BAE＝30°，
∴BE＝ ，AE＝2 ，
∴ ＝ ，
∴BF＝ .
合作探究
如图，点D在△ABC的边AC上，要判断△ADB与
①平行线法:平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，
所构成的三角形与原三角形类似；类似的基本图形可分别记为
“A”型和“X”型，在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这
些基本图形.
②三边法:三组对应边的比相等的两个三角形类似.
预习导学
③两边及其夹角法:两组对应边的比相等且其夹角对应相等
的两个三角形类似.
∴∠BAF＝∠AED.
∵BF⊥AE，
∴∠AFB＝90°，
∴∠AFB＝∠D，
∴△ABF∽△EAD.
合作探究
如图，AD∥BC，∠D＝90°，DC＝7，AD＝2，BC＝
4.若在边DC上有点P使△PAD和△PBC类似，则存在多少个这样
的点P？
合作探究
解:∵AD∥BC，∠D＝90°，∴∠C＝∠D＝90°.
第四章 图形的类似
*5
类似三角形判定定理的证明
素养目标
1.知道三个类似三角形判定定理的证明方法和过程.
2.在不同的问题情境中，选取不同的类似三角形判定定理进
行推理、证明与探究.
◎重点:运用三角形类似的判定定理解决问题.
预习导学
在上节课中，我们通过类比两个三角形全等的条件，寻找
并探究判定两个三角形类似的条件，我们得出的结论是怎样的？
你能证明它们一定成立吗？
预习导学
证明两个三角形类似
阅读教材本课时相关内容，思考下列问题.
1.根据类似三角形的定义可知:若△ABC∽△A'B'C'，
△A''B''C''∽△A'B'C'，则
角形具有
传递性 .
△A''B''C''∽△ABC ，即类似三
预习导学
2.证明三角形类似的问题，常见的判定方法有
��
证明:∵
＝ ＝ ，
∴△ABC ∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE.
∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE.
合作探究
如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于
点F，试说明:△ABF∽△EAD.
证明:∵矩形ABCD中，AB∥CD，∠D＝90°，
又△AED与以M、N、C为顶点的三角形类似，
∴当CM与AD是对应边时，CM＝2CN，
∴CM2＋CN2＝MN2＝1，
2
即CM ＋ CM2＝1，
2 5
解得CM＝ ；
5
合作探究
当CM与AE是对应边时，CM＝ CN，
∴CM2＋CN2＝MN2＝1，
即CM2＋4CM2＝1，
解得CM＝
5
.
5
2 5
5
∴当CM为 或 时，
④两角法:有两组角对应相等的两个三角形类似.
预习导学
·导学建议·
1.本节类似三角形判定重在进一步验证与证明结论的正确性，
以便进一步应用于相关计算与证明.
2.关键是引导理解如何添加辅助线将其中一个三角形借助全
等转移与构建到另一个三角形内，进而借助平行线分线段成比
例定理的推论得到两三角形类似.
3.在教学中注意实物演示、多媒体操作，把抽象问题直观化.
预习导学
如图，在▱ABCD中，BE⊥CD，垂足为E，连接AE，F
为AE上一点，∠BFE＝∠C.
(1)△ABF与△EAD类似吗？为什么？
(2)若AB＝3，AD＝2，∠BAE＝30°，求AE，BF的长.
预习导学
解:(1)类似.
理由:在平行四边形ABCD中，
∵∠D＋∠C＝180°，AB∥CD，
∴∠BAF＝∠AED.
．．．
A.∠ABD＝∠C
B.∠ADB＝∠ABC
C.＝
D.＝
合作探究
变式训练
如图，∠1＝∠2，添加一个条件使得
＝
△ADE∽△ACB，这个条件为∠D＝∠C或∠E＝∠B或
.
合作探究
如图，已知 ＝ ＝ ，求证:∠BAD＝∠CAE.
5
5
△AED与以M、N、C为顶点的三角形类似.
过点E作BE的垂线交BC的延长线于点F，交边CD于点P，则图
中共有类似三角形( A )
A.6对
B.5对Biblioteka C.4对D.3对合作探究
2. 如图，正方形ABCD的边长为2，AE＝EB，线段MN的两
端点分别在CB、CD上滑动，且MN＝1，当CM为何值时△AED
与以M、N、C为顶点的三角形类似？
合作探究
解:∵AE＝EB，∴AD＝2AE，
∵DC＝7，AD＝2，BC＝4，设PD＝x，
∴PC＝7－x.
①若PD∶PC＝AD∶BC，则△PAD∽△PBC，
∴ ＝ ，解得PD＝ ；
−
②若PD∶BC＝AD∶PC，则△PAD∽△BPC，
±
∴ ＝ ，解得PD＝
.
−
∴存在3个这样的点P.
合作探究
1.如图，在矩形ABCD中，E是边AD上的任意一点，连接BE，
∵∠AFB＋∠BFE＝180°，∠D＋∠C＝180°，∠BFE＝
∠C，
∴∠AFB＝∠D，
∴△ABF∽△EAD.
预习导学
(2)∵△ABF∽△EAD，
∴ ＝ .
∵AB＝3，∠BAE＝30°，
∴BE＝ ，AE＝2 ，
∴ ＝ ，
∴BF＝ .
合作探究
如图，点D在△ABC的边AC上，要判断△ADB与
①平行线法:平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，
所构成的三角形与原三角形类似；类似的基本图形可分别记为
“A”型和“X”型，在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这
些基本图形.
②三边法:三组对应边的比相等的两个三角形类似.
预习导学
③两边及其夹角法:两组对应边的比相等且其夹角对应相等
的两个三角形类似.
∴∠BAF＝∠AED.
∵BF⊥AE，
∴∠AFB＝90°，
∴∠AFB＝∠D，
∴△ABF∽△EAD.
合作探究
如图，AD∥BC，∠D＝90°，DC＝7，AD＝2，BC＝
4.若在边DC上有点P使△PAD和△PBC类似，则存在多少个这样
的点P？
合作探究
解:∵AD∥BC，∠D＝90°，∴∠C＝∠D＝90°.
第四章 图形的类似
*5
类似三角形判定定理的证明
素养目标
1.知道三个类似三角形判定定理的证明方法和过程.
2.在不同的问题情境中，选取不同的类似三角形判定定理进
行推理、证明与探究.
◎重点:运用三角形类似的判定定理解决问题.
预习导学
在上节课中，我们通过类比两个三角形全等的条件，寻找
并探究判定两个三角形类似的条件，我们得出的结论是怎样的？
你能证明它们一定成立吗？
预习导学
证明两个三角形类似
阅读教材本课时相关内容，思考下列问题.
1.根据类似三角形的定义可知:若△ABC∽△A'B'C'，
△A''B''C''∽△A'B'C'，则
角形具有
传递性 .
△A''B''C''∽△ABC ，即类似三
预习导学
2.证明三角形类似的问题，常见的判定方法有
��
证明:∵
＝ ＝ ，
∴△ABC ∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE.
∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE.
合作探究
如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于
点F，试说明:△ABF∽△EAD.
证明:∵矩形ABCD中，AB∥CD，∠D＝90°，
又△AED与以M、N、C为顶点的三角形类似，
∴当CM与AD是对应边时，CM＝2CN，
∴CM2＋CN2＝MN2＝1，
2
即CM ＋ CM2＝1，
2 5
解得CM＝ ；
5
合作探究
当CM与AE是对应边时，CM＝ CN，
∴CM2＋CN2＝MN2＝1，
即CM2＋4CM2＝1，
解得CM＝
5
.
5
2 5
5
∴当CM为 或 时，
④两角法:有两组角对应相等的两个三角形类似.
预习导学
·导学建议·
1.本节类似三角形判定重在进一步验证与证明结论的正确性，
以便进一步应用于相关计算与证明.
2.关键是引导理解如何添加辅助线将其中一个三角形借助全
等转移与构建到另一个三角形内，进而借助平行线分线段成比
例定理的推论得到两三角形类似.
3.在教学中注意实物演示、多媒体操作，把抽象问题直观化.
预习导学
如图，在▱ABCD中，BE⊥CD，垂足为E，连接AE，F
为AE上一点，∠BFE＝∠C.
(1)△ABF与△EAD类似吗？为什么？
(2)若AB＝3，AD＝2，∠BAE＝30°，求AE，BF的长.
预习导学
解:(1)类似.
理由:在平行四边形ABCD中，
∵∠D＋∠C＝180°，AB∥CD，
∴∠BAF＝∠AED.