高中数学第六章平面向量及其应用考点题型与解题方法(带答案)

高中数学第六章平面向量及其应用考点题型与解题方法
单选题
1、在△ABC 中，若AB
⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ <0，则△ABC －定是（ ） A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形 答案：C
分析：根据向量的数量积的运算公式，求得cosA <0，得到A 为钝角，即可求解. 由向量的数量积的运算公式，可得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosA <0，即cosA <0， 因为A ∈(0,π)，所以A 为钝角，所以△ABC －定是钝角三角形. 故选：C.
2、已知a ，b ⃗ 是不共线的向量，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λa +μb ⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3a −2b ⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a −3b ⃗ ，若A,B,C 三点共线，则实数λ，µ满足（ ）
A ．λ=μ−5
B ．λ=μ+5
C ．λ=μ−1
D ．λ=μ+1 答案：B
解析：根据向量的线性运算方法，分别求得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3−λ)a −(2+μ)b ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−a −b ⃗ ； 再由AB
⃗⃗⃗⃗⃗ //BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得到3−λ=−(2+μ)，即可求解. 由OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λa +μb ⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3a −2b ⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a −3b
⃗ ， 可得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3−λ)a −(2+μ)b ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−a −b ⃗ ； 若A,B,C 三点共线，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ //BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得3−λ=−(2+μ)，化简得λ=μ+5. 故选：B.
3、在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，且B =π
3，b =3，a =√3，则c =（ ）． A ．√3B ．2√3C ．3−√3D ．3 答案：B
分析：利用余弦定理可构造方程直接求得结果.
在△ABC 中，由余弦定理得：b 2=a 2+c 2−2accosB =3+c 2−√3c =9，
即c 2−√3c −6=0，解得：c =−√3（舍），∴c =2√3.
c
故选：B.
4、已知非零向量a →
与b →
共线，下列说法不正确的是（ ） A ．a →
=b →
或a →
=−b →
B ．a →
与b →
平行
C ．a →
与b →
方向相同或相反D ．存在实数λ，使得a →
=λb →
答案：A
分析：根据向量共线的概念，以及向量共线定理，逐项判断，即可得出结果． 非零向量a →
与b →
共线，
对于A ，a →
=λb →
，λ≠0，故A 错误；
对于B ，∵向量a →
与b →
共线，∴向量a →
与b →
平行，故B 正确； 对于C ，∵向量a →
与b →
共线，∴a →
与b →
方向相同或相反，故C 正确； 对于D ，∵a →
与b →
共线，∴存在实数λ，使得a →
=λb →
，故D 正确. 故选：A.
5、已知向量a =(−1,m )，b ⃗ =(m +1,2)，且a ⊥b ⃗ ，则m =（ ） A ．2B ．−2C ．1D ．−1 答案：C
分析：由向量垂直的坐标表示计算．
由题意得a ⋅b ⃗ =−m −1+2m =0，解得m =1 故选：C ．
6、已知f (x )=sin (ωx +π
6)+cosωx （ω>0），将f (x )图象上的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变时），得到g (x )的图象．g (x )的部分图象如图所示（D 、C 分别为函数的最高点和最低点）：其中CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2
2
，则
ω=（ ）
A ．π4
B ．π
2C ．πD ．2π 答案：C
分析：先求出g (x )的解析式，再利用CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2
2
得到cos∠ACB =1
2，进而求出|AB |=2，所以T =2×2=
4，ω=π 由f (x )=
√3
2
sinωx +32cosωx =√3sin (ωx +π
3)，
∴g (x )=√3sin (12ωx +π
3)，因为D 、C 分别为函数的最高点和最低点，所以DA =AC =CB ，由CA
⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2
2
，即|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2
⋅cos∠ACB =|AD |2
2
∴cos∠ACB =1
2，∴△ACB 为正三角形，又△ABC 的高为√3， ∴|AB |=2 ∴T =2×2=4， ∴即2π12
ω
=
4πω
=4，
∴ω=π， 故选：C ．
7、某人先向东走3km ，位移记为a →
，接着再向北走3km ，位移记为b →
，则a →
+b →
表示（ ） A ．向东南走3√2km B ．向东北走3√2km C ．向东南走3√3km D ．向东北走3√3km 答案：B
分析：由向量的加法进行求解.
由题意和向量的加法，得a →
+b →
表示先向东走3km ，
再向北走3km，即向东北走3√2km.
故选：B.
8、在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，且2S=a2−(b−c)2，则2b2+c2
bc 的取值范围为（）
A．(43
15,59
15
)B．[2√2,43
15
)C．[2√2,59
15
)D．[2√2,+∞)
答案：C
分析：根据余弦定理和△ABC的面积公式，结合题意求出sinA、cosA的值，再用C表示B，求出b
c =sinB
sinC
的取值
范围，即可求出2b2+c2
bc
的取值范围．
解：在△ABC中，由余弦定理得a2=b2+c2−2bccosA，
且△ABC的面积S=1
2
bcsinA，
由2S=a2−(b−c)2，得bcsinA=2bc−2bccosA，化简得sinA+2cosA=2，
又A∈(0,π
2
)，sin2A+cos2A=1，联立得5sin2A−4sinA=0，
解得或sinA=0（舍去），
所以b
c =sinB
sinC
=sin(A+C)
sinC
=sinAcosC+cosAsinC
sinC
=4
5tanC
+3
5
，
因为△ABC为锐角三角形，所以0<C<π
2，B=π−A−C<π
2
，所以π
2
−A<C<π
2
，
所以tanC>tan(π
2−A)=1
tanA
=3
4
，所以1
tanC
∈(0,4
3
)，所以b
c
∈(3
5
,5
3
)，
设b
c =t，其中t∈(3
5
,5
3
)，所以2b2+c2
bc
=2b
c
+c
b
=2t+1
t
=2(t+
1
2
t
)，
由对勾函数单调性知y=2t+1
t 在(3
5
,√2
2
)上单调递减，在(√2
2
,5
3
)上单调递增，
当t=√2
2时，y=2√2；当t=3
5
时，y=43
15
；当t=5
3
时，y=59
15
；
所以y∈[2√2,59
15)，即2b2+c2
bc
的取值范围是[2√2,59
15
)．
故选：C.
小提示：关键点点睛：由2b2+c2
bc =2b
c
+c
b
，所以本题的解题关键点是根据已知及b
c
=sinB
sinC
=sin(A+C)
sinC
=
4 sin
5
A
sinAcosC+cosAsinC
sinC
=
45tanC
+35
求出b
c
的取值范围.
多选题
9、等边三角形ABC 中，BD →
=DC →
,EC →
=2AE →
，AD 与BE 交于F ，则下列结论正确的是（ ） A ．AD →
=1
2(AB →
+AC →
)B ．BE →
=23BC →
+13BA →
C ．AF →
=12
AD →
D ．BF →
=12
BA →
+13
BC →
答案：AC
分析：可画出图形，根据条件可得出D 为边BC 的中点，从而得出选项A 正确； 由EC →
=2AE →
可得出AE →
=13
AC →
，进而可得出BE →
=13
BC →
+23
BA →
，从而得出选择B 错误；
可设AF →
=12
AD →
，进而得出AF →
=λ2
AB →+
3λ2
AE →，从而得出λ=1
2
，进而得出选项C 正确；
由AF →
=12AD →
即可得出BF →
=12BA →
+14BC →
，从而得出选项D 错误． 如图，
∵BD →
=DC →
，∴D 为BC 的中点，∴AD →
=1
2(AB →
+AC →
)，∴A 正确； ∵EC →
=2AE →
，∴AE →
=13AC →
=1
3(BC →
−BA →
)，
∴BE →
=BA →
+AE →
=BA →
+1
3
(BC →
−BA →
)=13
BC →
+23
BA →
，∴ B 错误；
设AF →=λAD →
=λ2AB →+λ2AC →=λ2AB →+3λ2
AE →，且B ，F ，E 三点共线，
∴λ
2+
3λ2
=1，解得λ=1
2，
∴AF →=12AD →
，∴C 正确；
BF →=BA →+AF →=BA →
+12AD →
=BA →
+1
2(BD →−BA →)=BA →
+14BC →−12BA →=12BA →+14BC →
，∴D 错误. 故选：AC
10、已知△ABC 是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC,AB 上的点，且AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BD 与CE 交于点O ，则（ ）
A ．OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +EO ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗
B ．AB
⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 C ．|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3D ．ED ⃗⃗⃗⃗⃗ 在BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为76 答案：BD
解析：可证明EO =CE ，结合平面向量线性运算法则可判断A ；由AB
⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CE ⃗⃗⃗⃗⃗ 结合平面向量数量积的定义可判断B ；建立直角坐标系，由平面向量线性运算及模的坐标表示可判断C ；由投影的计算公式可判断D. 因为△ABC 是边长为2的等边三角形，AE
⃗⃗⃗⃗⃗ =EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以E 为AB 的中点，且CE ⊥AB ，以E 为原点如图建立直角坐标系，
则E (0,0)，A (−1,0)，B (1,0)，C(0,√3)，
由AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 可得AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2
3AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(23,2√33)，则D (−13,2√33
)， 取BD 的中点G ，连接GE ，易得GE//AD 且GE =1
2AD =DC ， 所以△CDO ≌△EGO ，EO =CO ，则O (0,
√3
2
)， 对于A ，OC
⃗⃗⃗⃗⃗ +EO ⃗⃗⃗⃗⃗ =EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ≠0⃗ ，故A 错误；
对于B ，由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CE ⃗⃗⃗⃗⃗ 可得AB
⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，故B 正确； 对于C ，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−√32)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−√32)，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√32)，OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−13,√36)， 所以OA
⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1
3,−√33
)，所以|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB
⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2
3
，故C 错误； 对于D ，BC
⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,√3)，ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−13
,2√33
)， 所以ED ⃗⃗⃗⃗⃗ 在BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ED ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |BC
⃗⃗⃗⃗⃗ |=
1
3
+22
=7
6，故D 正确.
故选：BD.
小提示：关键点点睛：建立合理的平面直角坐标系是解题关键. 11、下列说法中错误的是（ ）. A ．若a //b ⃗ ，b ⃗ //c ，c //d ，则a //d B ．若|a |=|b ⃗ |且a //b ⃗ ，则a =b
⃗ C ．若a ，b ⃗ 非零向量且|a +b ⃗ |=|a −b ⃗ |，则a ⊥b ⃗ D ．若a //b ⃗ ，则有且只有一个实数λ，使得a =λb ⃗ 答案：ABD
分析：对于题中所给的条件与结论需要考虑周全，可以得出结论. A 选项，当b ⃗ ，c 中至少有一个0⃗ 时，a 与d 可能不平行，故A 错误； B 选项，由|a |=|b ⃗ |且a //b ⃗ ，可得a =b ⃗ 或a =−b
⃗ ，故B 错误； C 选项，|a +b ⃗ |=|a −b ⃗ |，根据数量积规则，则两边平方化简可得a ⋅b ⃗ =0， ∴a ⊥b
⃗ ，故C 正确； D 选项，根据向量共线基本定理可知当a ,b
⃗ 都为非零向量时成立， a 为零向量时也成立(λ=0) ，若b ⃗ =0⃗ 时，λ 不存在，但b ⃗ //a （零向量与所有的向量共线），故D 错误； 故选：ABD.
12、下列说法错误的是（ ）
A ．若a //b ⃗ ，则存在唯一实数λ使得a =λb
⃗ B ．两个非零向量a ，b ⃗ ，若|a −b ⃗ |=|a |+|b ⃗ |，则a 与b
⃗ 共线且反向
C ．已知a =(1,2)，b ⃗ =(1,1)，且a 与a +λb ⃗ 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是(−5
3,+∞) D ．在△ABC 中，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则△ABC 为等腰三角形 答案：AC
分析：若a =b ⃗ =0⃗ 可判断A ；将已知条件两边平方再进行数量积运算可判断B ；求出a +λb ⃗ 的坐标，根据a ⋅(a +λb ⃗ )>0且a 与a +λb ⃗ 不共线求出λ的取值范围可判断C ；取AC 的中点D ，根据向量的线性运算可得CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0可判断D ，进而可得正确选项. 对于A ：若a =b ⃗ =0⃗ 满足a //b
⃗ ，则实数λ不唯一，故选项A 错误； 对于B ：两个非零向量a ，b ⃗ ，若|a −b ⃗ |=|a |+|b ⃗ |，则(a −b ⃗ )2
=(|a |+|b
⃗ |)2
， 所以a 2+b ⃗ 2−2a ⋅b ⃗ =|a |2+|b ⃗ |2
+2|a ||b ⃗ |，可得2a ⋅b ⃗ =2|a ||b ⃗ |⋅cos 〈a ⋅b ⃗ 〉=−2|a ||b ⃗ |，cos 〈a ⋅b ⃗ 〉=−1，因为0≤〈a ⋅b ⃗ 〉≤π，所以〈a ⋅b ⃗ 〉=π，所以a 与b
⃗ 共线且反向，故选项B 正确； 对于C ：已知a =(1,2)，b ⃗ =(1,1)，所以a +λb ⃗ =(1+λ,2+λ)，若a 与a +λb ⃗ 的夹角为锐角，则a ⋅
(a +λb ⃗ )=1+λ+2(2+λ)>0，解得：λ>−53，当λ=0时，a +λb ⃗ =a ，此时a 与a +λb ⃗ 的夹角为0，不符合题意，所以λ≠0，所以λ的取值范围是(−5
3,0)∪(0,+∞)，故选项C 不正确；
对于D ：在△ABC 中，取AC 的中点D ，由BC
⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅2BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，故BD 垂直平分AC ，所以△ABC 为等腰三角形，故选项D 正确． 故选：AC ．
13、有下列说法，其中错误的说法为 A ．若a //b ⃗ ,b ⃗ //c ，则a //c
B ．若2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3O
C ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，S ΔAOC ，S ΔABC 分别表示ΔAOC ，ΔABC 的面积，则S ΔAOC :S ΔABC =1:6 C ．两个非零向量a ，b ⃗ ，若|a −b ⃗ |=|a |+|b ⃗ |，则a 与b ⃗ 共线且反向
D ．若a //b ⃗ ，则存在唯一实数λ使得a =λb ⃗ 答案：AD
分析：对每一个选项逐一分析判断得解.
A. 若a //b ⃗ ,b ⃗ //c ，则a //c ，如果a ，c 都是非零向量，b ⃗ =0⃗ ，显然满足已知条件，但是结论不一定成立，所以该
选项是错误的；
B. 如图，D,E 分别是AC,BC 的中点，
2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，∴2（OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）+（OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）=0⃗ ，∴4OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ,∴OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以OD =1
6AB,则S ΔAOC :S ΔABC =1:6,所以该选项是正确的；
C. 两个非零向量a ，b ⃗ ，若|a −b ⃗ |=|a |+|b ⃗ |，则a 与b ⃗ 共线且反向，所以该选项是正确的；
D. 若a //b ⃗ ，如果a 是非零向量，b ⃗ =0⃗ ，则不存在实数λ使得a =λb ⃗ ，所以该选项是错误的. 故选A,D
小提示：本题主要考查平面向量的运算，考查向量的平行及性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 填空题
14、已知P ，Q 分别是四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的中点，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，且a ,b ⃗ 是不共线的向量，则向量PQ
⃗⃗⃗⃗⃗ =___________. 答案：−1
2a −1
2b
⃗ 分析：取AB 的中点E ，连接PE,QE ，然后利用向量的加法法则和三角形中位线定理求解. 如图，取AB 的中点E ，连接PE,QE ，
因为P ，Q 分别是四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的中点，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b
⃗ 所以PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12a ,EQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−1
2b ⃗ ， 所以PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =PE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12a −1
2
b
⃗ .
所以答案是：−1
2a−1
2
b⃗
15、在△ABC中，若a=2，c=2√3,cosC=−1
2
，M是BC的中点，则AM的长为____________．
答案：√7
分析：在△ABC中，由余弦定理求出b=2，进而，在△AMC中，由余弦定理可得AM.
在△ABC中，由余弦定理c2=b2+a2−2abcosC得b2+2b−8=0，又b>0，所以b=2.
在△AMC中，CA=b=2，CM=a
2
=1，由余弦定理得
AM2=CA2+CM2−2CA⋅CM⋅cosC=22+12−2×2×1×(−1
2
)=7，所以AM=√7.
所以答案是：√7.
16、在△ABC中，cos∠BAC=−1
3
，AC＝2，D是边BC上的点，且BD＝2DC，AD＝DC，则AB等于 ___．答案：3
分析：运用余弦定理，通过解方程组进行求解即可.
设DC=x,AB=y，
因为BD＝2DC，AD＝DC，所以BC=3x,AD=DC=x，
在△ADC中，由余弦定理可知：cosC=AC2+CD2−AD2
2AC⋅DC =4+x2−x2
4x
=1
x
，
在△ABC中，由余弦定理可知：cosC=AC2+CB2−AB2
2AC⋅BC =4+9x2−y2
12x
，
于是有4+9x2−y2
12x =1
x
⇒9x2−y2=8(1)，
在△ABC中，由余弦定理可知：cosA=AB2+CA2−CB2
2AB⋅AC =y2+4−9x2
4y
=−1
3
，
⇒27x2−3y2−4y=12(2)，把(1)代入(2)中得，y=3，
所以答案是：3
解答题
17、记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)．
(1)若A=2B，求C；
(2)证明：2a2=b2+c2
答案：(1)5π
8
；
(2)证明见解析．
分析：（1）根据题意可得，sinC=sin(C−A)，再结合三角形内角和定理即可解出；
（2）由题意利用两角差的正弦公式展开得sinC(sinAcosB−cosAsinB)=sinB(sinCcosA−cosCsinA)，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出．
（1）
由A=2B，sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)可得，sinCsinB=sinBsin(C−A)，而0<B<π
2
，所以sinB∈(0,1)，即有sinC=sin(C−A)>0，而0<C<π,0<C−A<π，显然C≠C−A，所以，C+C−A=π，而
A=2B，A+B+C=π，所以C=5π
8
．
（2）
由sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)可得，
sinC(sinAcosB−cosAsinB)=sinB(sinCcosA−cosCsinA)，再由正弦定理可得，
accosB−bccosA=bccosA−abcosC，然后根据余弦定理可知，
1 2(a2+c2−b2)−1
2
(b2+c2−a2)=1
2
(b2+c2−a2)−1
2
(a2+b2−c2)，化简得：
2a2=b2+c2，故原等式成立．
18、如图，有一景区的平面图是一个半圆形，其中O为圆心，直径AB的长为2km，C，D两点在半圆弧上，且
BC=CD，设∠COB=θ；
（1）当θ=π
12
时，求四边形ABCD的面积.
（2）若要在景区内铺设一条由线段AB，BC，CD和DA组成的观光道路，则当θ为何值时，观光道路的总长l 最长，并求出l的最大值.
答案：（1）√6−√2
4+1
4
；（2）5
分析：（1）把四边形ABCD分解为三个等腰三角形：△COB,△COD,△DOA，利用三角形的面积公式即得解；
（2）利用θ表示（1）中三个等腰三角形的顶角，利用正弦定理分别表示BC，CD和DA，令t=sinθ
2
，转化为二次函数的最值问题，即得解.
（1）连结，则∠COD=π
12,∠AOD=5π
6
∴四边形ABCD的面积为2×1
2×1×1×sinπ
12
+1
2
×1×1×sin5π
6
=√6−√2
4
+1
4
（2）由题意，在△BOC中，∠OBC=π−θ
2
，由正弦定理
BC sinθ=
OB
sin(
π−θ
2)
=
1
cos
θ
2
∴BC=CD=
sinθ
cos
θ
2
=2sin
θ
2
同理在△AOD中，∠OAD=θ,∠DOA=π−2θ，由正弦定理
DA
sin(π−2θ)=
OD
sinθ
∴DA=
sin2θ
sinθ
=2cosθ
∴l=2+4sin θ
2
+2cosθ=2+4sin
θ
2
+2(1−2sin2
θ
2
),0<θ<
π
2
OD
令t =sin θ2(0<t <√22
) ∴l =2+4t +2(1−2t 2)=4+4t −4t 2=−4(t −12
)2+5 ∴t =12时，即θ=π3，l 的最大值为5 小提示：本题考查了三角函数和解三角形综合实际应用问题，考查了学生综合分析，数学建模，转化划归，数学运算能力，属于较难题。