广西省贵港市2019-2020学年中考数学五月模拟试卷含解析

广西省贵港市2019-2020学年中考数学五月模拟试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+（2m﹣1）x+m﹣2＝0有两个不相等的正实数根，则m的取值范围是（）
A．m＞3
4
B．m＞
3
4
且m≠2C．﹣
1
2
＜m＜2 D．
5
4
＜m＜2
2．小颖随机抽样调查本校20名女同学所穿运动鞋尺码，并统计如表：
尺码/cm 21.5 22.0 22.5 23.0 23.5 人数 2 4 3 8 3
学校附近的商店经理根据统计表决定本月多进尺码为23.0cm的女式运动鞋，商店经理的这一决定应用的统计量是（）
A．平均数B．加权平均数C．众数D．中位数
3．一、单选题
二次函数的图象如图所示,对称轴为x=1,给出下列结论：①abc<0；②b2>4ac；③4a+2b+c<0；④2a+b=0..其中正确的结论有：
A．4个B．3个C．2个D．1个
4．如图，点O′在第一象限，⊙O′与x轴相切于H点，与y轴相交于A（0，2），B（0，8），则点O′的坐标是（）
A．（6，4）B．（4，6）C．（5，4）D．（4，5）
5．如图是某个几何体的三视图，该几何体是（）
A ．三棱柱
B ．三棱锥
C ．圆柱
D ．圆锥
6．如图，平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，BC 边上的一点，增加下列条件，不一定能得出BE ∥DF 的是（ ）
A ．AE ＝CF
B ．BE ＝DF
C ．∠EBF ＝∠FDE
D ．∠BED ＝∠BFD
7．小张同学制作了四张材质和外观完全一样的书签，每个书签上写着一本书的名称或一个作者姓名，分别是：《西游记》、施耐庵、《安徒生童话》、安徒生，从这四张书签中随机抽取两张，则抽到的书签正好是相对应的书名和作者姓名的概率是( ) A ．
1
2
B ．
13
C ．
14
D ．
16
8．下列分式是最简分式的是（ ）
A ．223a a b
B ．23a a a -
C ．22a b a b ++
D ．222
a a
b a b
-- 9．在体育课上，甲，乙两名同学分别进行了5次跳远测试，经计算他们的平均成绩相同．若要比较这两名同学的成绩哪一个更为稳定，通常需要比较他们成绩的（ ） A ．众数
B ．平均数
C ．中位数
D ．方差
10．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则反比例函数a
y x
=与一次函数y bx c =+在同一坐标系中的大致图象是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
11．不等式2x ﹣1＜1的解集在数轴上表示正确的是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
12．如图，在⊙O 中，弦BC ＝1，点A 是圆上一点，且∠BAC ＝30°，则»BC
的长是( )
A ．π
B ．1
3
π
C ．12
π
D ．16
π
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AB=8，AB 的垂直平分线MN 交AC 于D ，连接DB ，若tan ∠CBD=3
4
，则BD=_____．
14．甲、乙两点在边长为100m 的正方形ABCD 上按顺时针方向运动，甲的速度为5m/秒，乙的速度为10m/秒，甲从A 点出发，乙从CD 边的中点出发，则经过__秒，甲乙两点第一次在同一边上． 15．已知方程2390x x m -+=的一个根为1，则m 的值为__________.
16．观察以下一列数：3，54，79，916，11
25
，…则第20个数是_____． 17．如图，O e 的半径为1cm ，正六边形ABCDEF 内接于O e ，则图中阴影部分图形的面积和为
________2cm （结果保留π）．
18．如图，在△ABC 中，P ，Q 分别为AB ，AC 的中点．若S △APQ ＝1，则S 四边形PBCQ ＝__．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）某中学举行室内健身操比赛，为奖励优胜班级，购买了一些篮球和足球，篮球单价是足球单价的1.5倍，购买篮球用了2250元，购买足球用了2400元，购买的篮球比足球少15个，求篮球、足球的单价．
20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，OA⊥OB，AB⊥x轴于点C，点A（3，1）在反比例函数y
＝k
x
的图象上．
（1）求反比例函数y＝k
x
的表达式；
（2）在x轴上是否存在一点P，使得S△AOP＝1
2
S△AOB，若存在，求所有符合条件点P的坐标；若不存在，
简述你的理由．
21．（6分）已知抛物线y=ax2+bx+2过点A（5，0）和点B（﹣3，﹣4），与y轴交于点C．
（1）求抛物线y=ax2+bx+2的函数表达式；
（2）求直线BC的函数表达式；
（3）点E是点B关于y轴的对称点，连接AE、BE，点P是折线EB﹣BC上的一个动点，
①当点P在线段BC上时，连接EP，若EP⊥BC，请直接写出线段BP与线段AE的关系；
②过点P作x轴的垂线与过点C作的y轴的垂线交于点M，当点M不与点C重合时，点M关于直线PC 的对称点为点M′，如果点M′恰好在坐标轴上，请直接写出此时点P的坐标．
22．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E.
（1）求证：∠A=∠ADE；
（2）若AD=8，DE=5，求BC的长．
23．（8分）定义：对于给定的二次函数y=a（x﹣h）2+k（a≠0），其伴生一次函数为y=a（x﹣h）+k，例如：二次函数y=2（x+1）2﹣3的伴生一次函数为y=2（x+1）﹣3，即y=2x﹣1．
（1）已知二次函数y=（x﹣1）2﹣4，则其伴生一次函数的表达式为_____；
（2）试说明二次函数y=（x﹣1）2﹣4的顶点在其伴生一次函数的图象上；
（3）如图，二次函数y=m（x﹣1）2﹣4m（m≠0）的伴生一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点B、A，且两函数图象的交点的横坐标分别为1和2，在∠AOB内部的二次函数y=m（x﹣1）2﹣4m的图象上有一动点P，过点P作x轴的平行线与其伴生一次函数的图象交于点Q，设点P的横坐标为n，直接写出线段
PQ的长为3
2
时n的值．
24．（10分）2013年3月，某煤矿发生瓦斯爆炸，该地救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A、B两个探测点探测到C处有生命迹象．已知A、B两点相距4米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°，试确定生命所在点C的深度．（精确到0.1米，参考数据：2 1.41,?3 1.73
≈≈）
25．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C是弧AB的中点，弦CD与AB相交于E．
若∠AOD＝45°，求证：CE＝2ED；（2）若AE＝EO，求tan∠AOD的值．
26．（12分）4月9日上午8时，2017 徐州国际马拉松赛鸣枪开跑，一名岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛，下面是两个孩子与记者的对话：
根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出哥哥和妹妹的年龄.
27．（12分）（1）计算：
2
1
128cos60(3)
2
π
-
︒
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
；
（2）已知a﹣b2a﹣2）2+b（b﹣2a）+4（a﹣1）的值．
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．D
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的根的判别式的意义得到m－2≠0且Δ＝(2m－1)2－4(m－2)(m－2) ＞0,解得m＞5
4
且
m≠﹣2，再利用根与系数的关系得到2m
m
－1
－2
，m﹣2≠0，解得
1
2
＜m＜2，即可求出答案．
【详解】
解：由题意可知：m－2≠0且Δ＝（2m﹣1）2﹣4（m﹣2）2＝12m﹣15＞0，
∴m＞5
4
且m≠﹣2，
∵（m﹣2）x2+（2m﹣1）x+m﹣2＝0有两个不相等的正实数根，
∴﹣2m m －1
－2
＞0，m ﹣2≠0， ∴
1
2
＜m ＜2， ∵m ＞54，
∴5
4
＜m ＜2， 故选：D ． 【点睛】
本题主要考查对根的判别式和根与系数的关系的理解能力及计算能力，掌握根据方程根的情况确定方程中字母系数的取值范围是解题的关键． 2．C 【解析】 【分析】
根据众数是一组数据中出现次数最多的数，可能不止一个，对这个鞋店的经理来说，他最关注的是数据的众数． 【详解】
解：根据商店经理统计表决定本月多进尺码为23.0cm 的女式运动鞋，就说明穿23.0cm 的女式运动鞋的最多，
则商店经理的这一决定应用的统计量是这组数据的众数． 故选：C ． 【点睛】
此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的平均数、中位数、众数各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用． 3．B 【解析】
试题解析：①∵二次函数的图象的开口向下， ∴a<0，
∵二次函数的图象y 轴的交点在y 轴的正半轴上， ∴c>0，
∵二次函数图象的对称轴是直线x=1，
12b
a
，∴-
= ∴2a+b=0，b>0 ∴abc<0，故正确；
②∵抛物线与x 轴有两个交点，
240b ac ∴->， 24b ac ∴>， 故正确；
③∵二次函数图象的对称轴是直线x=1， ∴抛物线上x=0时的点与当x=2时的点对称， 即当x=2时，y>0 ∴4a+2b+c>0， 故错误；
④∵二次函数图象的对称轴是直线x=1，
12b
a
，∴-
=∴2a+b=0， 故正确．
综上所述，正确的结论有3个. 故选B. 4．D 【解析】 【分析】
过O'作O'C ⊥AB 于点C ，过O'作O'D ⊥x 轴于点D ，由切线的性质可求得O'D 的长，则可得O'B 的长，由垂径定理可求得CB 的长，在Rt △O'BC 中，由勾股定理可求得O'C 的长，从而可求得O'点坐标． 【详解】
如图，过O′作O′C ⊥AB 于点C ，过O′作O′D ⊥x 轴于点D ，连接O′B ， ∵O′为圆心， ∴AC=BC ， ∵A(0,2),B(0,8)， ∴AB=8−2=6， ∴AC=BC=3， ∴OC=8−3=5， ∵⊙O′与x 轴相切， ∴O′D=O′B=OC=5，
在Rt△O′BC中,由勾股定理可得=4，
∴P点坐标为(4,5)，
故选：D.
【点睛】
本题考查了切线的性质，坐标与图形性质，解题的关键是掌握切线的性质和坐标计算.
5．A
【解析】
试题分析：观察可得，主视图是三角形，俯视图是两个矩形，左视图是矩形，所以这个几何体是三棱柱，故选A．
考点：由三视图判定几何体.
6．B
【解析】
【分析】
由四边形ABCD是平行四边形，可得AD//BC，AD=BC，然后由AE=CF，∠EBF=∠FDE，∠BED=∠BFD 均可判定四边形BFDE是平行四边形，则可证得BE//DF，利用排除法即可求得答案．
【详解】
Q四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
A、∵AE=CF，
∴DE=BF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴BE//DF，故本选项能判定BE//DF；
B、∵BE=DF，
∴四边形BFDE是等腰梯形，
∴本选项不一定能判定BE//DF；
C、∵AD//BC，
∴∠BED+∠EBF=180°，∠EDF+∠BFD=180°，
∵∠EBF=∠FDE，
∴∠BED=∠BFD，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴BE//DF，
故本选项能判定BE//DF；
D、∵AD//BC，
∴∠BED+∠EBF=180°，∠EDF+∠BFD=180°， ∵∠BED=∠BFD ， ∴∠EBF=∠FDE ，
∴四边形BFDE 是平行四边形， ∴BE//DF ，故本选项能判定BE//DF ． 故选B ． 【点睛】
本题考查了平行四边形的判定与性质，注意根据题意证得四边形BFDE 是平行四边形是关键． 7．D 【解析】 【分析】
根据题意先画出树状图得出所有等情况数和到的书签正好是相对应的书名和作者姓名的情况数，再根据概率公式即可得出答案． 【详解】
解：根据题意画图如下：
共有12种等情况数，抽到的书签正好是相对应的书名和作者姓名的有2种情况， 则抽到的书签正好是相对应的书名和作者姓名的概率是2
12＝16
； 故选D ． 【点睛】
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 8．C 【解析】 解：A ．222
33a a b ab
=，故本选项错误； B ．21
33
a a a a =--，故本选项错误；
C ．
22
a b
a b
++，不能约分，故本选项正确；
D．
2
22
()
()()
a a
b a a b a
a b a b a b a b
--
==
-+-+
，故本选项错误．
故选C．
点睛：本题主要考查对分式的基本性质，约分，最简分式等知识点的理解和掌握，能根据分式的基本性质正确进行约分是解答此题的关键．
9．D
【解析】
【分析】
方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则各数据与其平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则各数据与其平均值的离散程度越小，稳定性越好。

【详解】
由于方差能反映数据的稳定性，需要比较这两名学生立定跳远成绩的方差．
故选D．
10．D
【解析】
【分析】
根据抛物线和直线的关系分析.
【详解】
由抛物线图像可知，所以反比例函数应在二、四象限，一次函数过原点，应在二、四象限.
故选D
【点睛】
考核知识点：反比例函数图象.
11．D
【解析】
【分析】
先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
【详解】
移项得，2x＜1+1，
合并同类项得，2x＜2，
x的系数化为1得，x＜1．
在数轴上表示为：
．
故选D．
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解题的关键．
12．B
【解析】
【分析】
连接OB，OC．首先证明△OBC是等边三角形，再利用弧长公式计算即可．【详解】
解：连接OB，OC．
∵∠BOC＝2∠BAC＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB＝OC＝BC＝1，
∴»BC的长＝601
1803
ππ
⋅⋅
=，
故选B．
【点睛】
考查弧长公式，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．5
【解析】
【分析】
由tan∠CBD=CD
BC
=
3
4
设CD=3a、BC=4a，据此得出BD=AD=5a、AC=AD+CD=8a，由勾股定理可得（8a）
2+（4a）2=82，解之求得a的值可得答案．【详解】
解：在Rt△BCD中，∵tan∠CBD=CD
BC
=
3
4
，
∴设CD=3a、BC=4a，
则BD=AD=5a ，
∴AC=AD+CD=5a+3a=8a ，
在Rt △ABC 中，由勾股定理可得（8a ）2+（4a ）2=82，
解得：
或
（舍）， 则
故答案为
【点睛】
本题考查线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，勾股定理的应用，解题关键是熟记性质与定理并准确识图．
14．1
【解析】
试题分析：设x 秒时，甲乙两点相遇．根据题意得：10x-5x=250，解得：x=50，
相遇时甲走了250m ，乙走了500米， 则根据题意推得第一次在同一边上时可以为1．
15．1
【解析】
【分析】
欲求m ，可将该方程的已知根1代入两根之积公式和两根之和公式列出方程组，解方程组即可求出m 值．
【详解】
设方程的另一根为x 1，又∵x=1， ∴1113
{•1=3
x m x ＝， 解得m=1．
故答案为1．
【点睛】
本题的考点是一元二次方程的根的分布与系数的关系，主要考查利用韦达定理解题．此题也可将x=1直接代入方程3x 2-9x+m=0中求出m 的值．
16．41400
【解析】
【分析】
观察已知数列得到一般性规律，写出第20个数即可．
【详解】
解：观察数列得：第n 个数为221n n +，则第20个数是41400． 故答案为
41400
． 【点睛】 本题考查了规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解答本题的关键．
17．6
π. 【解析】
【分析】
连接OA,OB,OC ，则根据正六边形ABCDEF 内接于O e 可知阴影部分的面积等于扇形OAB 的面积，计算出扇形OAB 的面积即可.
【详解】
解：如图所示，连接OA,OB,OC ，
∵正六边形ABCDEF 内接于O e
∴∠AOB=60°，四边形OABC 是菱形，
∴AG=GC,OG=BG ,∠AGO=∠BGC
∴△AGO ≌△BGC.
∴△AGO 的面积=△BGC 的面积
∵弓形DE 的面积=弓形AB 的面积
∴阴影部分的面积=弓形DE 的面积+△ABC 的面积
=弓形AB 的面积+△AGB 的面积+△BGC 的面积
=弓形AB 的面积+△AGB 的面积+△AGO 的面积
=扇形OAB 的面积=260360
1π⨯ =6
π 故答案为
6π.
【点睛】
本题考查了扇形的面积计算公式，利用数形结合进行转化是解题的关键.
18．1
【解析】
【分析】
根据三角形的中位线定理得到PQ ＝
12BC ，得到相似比为12，再根据相似三角形面积之比等于相似比的平方，可得到结果.
【详解】
解：∵P ，Q 分别为AB ，AC 的中点，
∴PQ ∥BC ，PQ ＝12
BC ， ∴△APQ ∽△ABC ， ∴APQ
ABC S S V V ＝（12
）2＝14， ∵S △APQ ＝1，
∴S △ABC ＝4，
∴S 四边形PBCQ ＝S △ABC ﹣S △APQ ＝1，
故答案为1．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．足球单价是60元，篮球单价是90元．
【解析】
【分析】
设足球的单价分别为x 元，篮球单价是1.5x 元，列出分式方程解答即可．
【详解】
解：足球的单价分别为x 元，篮球单价是1.5x 元， 可得：24002250151.5x x
-=， 解得：x=60，
经检验x=60是原方程的解，且符合题意，
1.5x=1.5×60=90，
答：足球单价是60元，篮球单价是90元．
本题考查分式方程的应用，利用题目等量关系准确列方程求解是关键，注意分式方程结果要检验． 20．（1）y ＝3x ；（1）（﹣13，0）或（13，0） 【解析】
【分析】
（1）把A 的坐标代入反比例函数的表达式，即可求出答案；
（1）求出∠A ＝60°，∠B ＝30°，求出线段OA 和OB ，求出△AOB 的面积，根据已知S △AOP 12=S △AOB ，求出OP 长，即可求出答案．
【详解】
（1）把A （3，1）代入反比例函数y k x =得：k ＝133⨯=，所以反比例函数的表达式为y 3x =； （1）∵A （3，1），OA ⊥AB ，AB ⊥x 轴于C ，∴OC 3=，AC ＝1，OA 22AC OC =
+=1． ∵tanA 3OC AC
==，∴∠A ＝60°． ∵OA ⊥OB ，∴∠AOB ＝90°，∴∠B ＝30°，∴OB ＝1OC ＝13，
∴S △AOB 12
=
OA•OB 12=⨯1×1323=． ∵S △AOP 12=S △AOB ，∴12⨯OP×AC 1232=⨯． ∵AC ＝1，∴OP ＝13，∴点P 的坐标为（﹣13，0）或（13，0）．
【点睛】
本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积，解直角三角形等知识点，求出反比例函数的解析式和求出△AOB 的面积是解答此题的关键．
21．（1）y=﹣x 2+x+2；（2）y=2x+2；（3）①线段BP 与线段AE 的关系是相互垂直；②点P 的坐标为：（﹣4+2，﹣8+4）或（﹣4﹣2，﹣8﹣4）或（0，﹣4）或（﹣，﹣4）．
【解析】
（1）将A（5，0）和点B（﹣3，﹣4）代入y=ax2+bx+2，即可求解；
（2）C点坐标为（0，2），把点B、C的坐标代入直线方程y=kx+b即可求解；
（3）①AE直线的斜率k AE=2，而直线BC斜率的k AE=2即可求解；
②考虑当P点在线段BC上时和在线段BE上时两种情况，利用PM′=PM即可求解．
【详解】
（1）将A（5，0）和点B（﹣3，﹣4）代入y=ax2+bx+2，
解得：a=﹣，b=，
故函数的表达式为y=﹣x2+x+2；
（2）C点坐标为（0，2），把点B、C的坐标代入直线方程y=kx+b，
解得：k=2，b=2，
故：直线BC的函数表达式为y=2x+2，
（3）①E是点B关于y轴的对称点，E坐标为（3，﹣4），
则AE直线的斜率k AE=2，而直线BC斜率的k AE=2，
∴AE∥BC，而EP⊥BC，∴BP⊥AE
而BP=AE，∴线段BP与线段AE的关系是相互垂直；
②设点P的横坐标为m，
当P点在线段BC上时，
P坐标为（m，2m+2），M坐标为（m，2），则PM=2m，
直线MM′⊥BC，∴k MM′=﹣，
直线MM′的方程为：y=﹣x+（2+m），
则M′坐标为（0，2+m）或（4+m，0），
由题意得：PM′=PM=2m，
PM′2=42+m2=（2m）2，此式不成立，
或PM′2=m2+（2m+2）2=（2m）2，
解得：m=﹣4±2，
故点P的坐标为（﹣4±2，﹣8±4）；
当P点在线段BE上时，
点P坐标为（m，﹣4），点M坐标为（m，2），
则PM=6，
直线MM′的方程不变，为y=﹣x+（2+m），
则M′坐标为（0，2+m）或（4+m，0），
PM′2=m2+（6+m）2=（2m）2，
解得：m=0，或﹣；
或PM′2=42+42=（6）2，无解；
故点P的坐标为（0，﹣4）或（﹣，﹣4）；
综上所述：
点P的坐标为：（﹣4+2，﹣8+4）或（﹣4﹣2，﹣8﹣4）或（0，﹣4）或（﹣，﹣4）．【点睛】
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
22．（1）见解析（2）7.5
【解析】
【分析】
（1）只要证明∠A+∠B=90°，∠ADE+∠B=90°即可解决问题；
（2）首先证明AC=2DE=10，在Rt△ADC中，求得DC=6，设BD=x,在Rt△BDC中，BC2=x2+62,在Rt△ABC 中，BC2=(x+8)2-102,可得x2+62=(x+8)2-102,解方程即可解决问题.
【详解】
（1）证明：连接OD，
∵DE是切线，
∴∠ODE=90°，
∴∠ADE+∠BDO=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵OD=OB，
∴∠B=∠BDO，
∴∠A=∠ADE；
（2）连接CD，∵∠A=∠ADE
∴AE=DE，
∵BC是⊙O的直径，∠ACB=90°，
∴EC是⊙O的切线，
∴ED=EC,
∴AE=EC,
∵DE=5，∴AC=2DE=10，
在Rt△ADC中，DC=22
-=，
1086
设BD=x,在Rt△BDC中，BC2=x2+62,
在Rt△ABC中，BC2=(x+8)2-102,
∴x2+62=(x+8)2-102,
解得x=4.5，
∴BC=22
+=
6 4.57.5
【点睛】
此题主要考查圆的切线问题，解题的关键是熟知切线的性质.
23．y=x﹣5
【解析】
分析：（1）根据定义，直接变形得到伴生一次函数的解析式；
（2）求出顶点，代入伴生函数解析式即可求解；
（3）根据题意得到伴生函数解析式，根据P点的坐标，坐标表示出纵坐标，然后通过PQ与x轴的平行关系，求得Q点的坐标，由PQ的长列方程求解即可.
详解：（1）∵二次函数y=（x﹣1）2﹣4，
∴其伴生一次函数的表达式为y=（x﹣1）﹣4=x﹣5，
故答案为y=x﹣5；
（2）∵二次函数y=（x﹣1）2﹣4，
∴顶点坐标为（1，﹣4），
∵二次函数y=（x﹣1）2﹣4，
∴其伴生一次函数的表达式为y=x﹣5，
∴当x=1时，y=1﹣5=﹣4，
∴（1，﹣4）在直线y=x﹣5上，
即：二次函数y=（x﹣1）2﹣4的顶点在其伴生一次函数的图象上；
（3）∵二次函数y=m（x﹣1）2﹣4m，
∴其伴生一次函数为y=m （x ﹣1）﹣4m=mx ﹣5m ，
∵P 点的横坐标为n ，（n ＞2），
∴P 的纵坐标为m （n ﹣1）2﹣4m ，
即：P （n ，m （n ﹣1）2﹣4m ），
∵PQ ∥x 轴，
∴Q （（n ﹣1）2+1，m （n ﹣1）2﹣4m ），
∴PQ=（n ﹣1）2+1﹣n ，
∵线段PQ 的长为32， ∴（n ﹣1）2+1﹣n=32， ∴n=37±． 点睛：此题主要考查了新定义下的函数关系式，关键是理解新定义的特点构造伴生函数解析式. 24．5.5米
【解析】
【分析】 过点C 作CD ⊥AB 于点D ，设CD=x ，在Rt △ACD 中表示出AD ，在Rt △BCD 中表示出BD ，再由AB=4米，即可得出关于x 的方程，解出即可.
【详解】
解：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，
设CD=x ，
在Rt △ACD 中，∠CAD=30°，则33在Rt △BCD 中，∠CBD=45°，则BD=CD=x.
3x ﹣x=4，
解得：)
x 231 5.531==≈-. 答：生命所在点C 的深度为5.5米.
25．（1）见解析；（2）tan∠AOD＝3 4 .
【解析】
【分析】
（1）作DF⊥AB于F，连接OC，则△ODF是等腰直角三角形，得出OC=OD=2DF，由垂径定理得出
∠COE=90°，证明△DEF∽△CEO得出
2
2
ED OC DF
CE DF DF
===，即可得出结论；
（2）由题意得OE=1
2
OA=
1
2
OC，同（1）得△DEF∽△CEO，得出
1
2
EF EO
DF OC
==，设⊙O的半径为
2a（a＞0），则OD=2a，EO=a，设EF=x，则DF=2x，在Rt△ODF中，由勾股定理求出x=3
5
a，得出DF=
6
5
a，
OF=EF+EO=8
5
a，由三角函数定义即可得出结果．
【详解】
（1）证明：作DF⊥AB于F，连接OC，如图所示：
则∠DFE＝90°，
∵∠AOD＝45°，
∴△ODF是等腰直角三角形，
∴OC＝OD2DF，
∵C是弧AB的中点，
∴OC⊥AB，
∴∠COE＝90°，
∵∠DEF＝∠CEO，
∴△DEF∽△CEO，
∴
2
2 ED OC DF
CE DF DF
===
∴CE2；（2）如图所示：∵AE＝EO，
∴OE=1
2
OA=
1
2
OC，
同（1）得：，△DEF ∽△CEO ， ∴12EF EO DF OC ==， 设⊙O 的半径为2a （a ＞0），则OD ＝2a ，EO ＝a ，
设EF ＝x ，则DF ＝2x ，
在Rt △ODF 中，由勾股定理得：（2x ）2+（x+a ）2＝（2a ）2，
解得：x ＝
35
a ，或x ＝﹣a （舍去）， ∴DF ＝65a ，OF ＝EF+EO ＝85
a ， ∴DF 3tan AOD OF 4∠==． 【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、垂径定理、三角函数等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质、勾股定理是关键．
26．今年妹妹6岁，哥哥10岁．
【解析】
【详解】
试题分析：设今年妹妹的年龄为x 岁，哥哥的年龄为y 岁，根据两个孩子的对话，即可得出关于x 、y 的二元一次方程组，解之即可得出结论．
试题解析：设今年妹妹的年龄为x 岁，哥哥的年龄为y 岁，
根据题意得：
()()16322342x y x y +=⎧⎨+++=+⎩
解得：610x y =⎧⎨=⎩
． 答：今年妹妹6岁，哥哥10岁．
考点：二元一次方程组的应用．
27．（1）
；（1）1.
【解析】
【分析】
（1）先计算负整数指数幂、化简二次根式、代入三角函数值、计算零指数幂，再计算乘法和加减运算可得；
（1）先根据整式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再利用完全平方公式因式分解，最后将a−b 的值整体代入计算可得．
【详解】
（1）原式8×12
﹣4﹣﹣1；
（1）原式=a 1﹣4a+4+b 1﹣1ab+4a ﹣4=a 1﹣1ab+b 1=（a ﹣b ）1，
当a ﹣时，
原式=）1=1．
【点睛】
本题主要考查实数和整式的混合运算，解题的关键是掌握实数与整式的混合运算顺序和运算法则及完全平方公式因式分解的能力．。