黑龙江省大庆铁人中学2015届高三10月月考数学(文)试题

黑龙江省大庆铁人中学2015届高三10月月考数学（文）试题（解析版）
【试卷综评】突出考查数学主干知识 ,侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查； 侧重于知识交汇点的考查。

全面考查了考试说明中要求的内容，如复数、简易逻辑试卷都有 所考查。

一、选择题（每小题5分，共60分）
【题文】1．设集合A ＝{(x ，y )|x 24－y 216＝1}，B ＝{(x ，y ) |y ＝x
)23
(}，则A ∩B 的子集的个
数是( )
A ．8
B ．4
C ．2
D ．1 【知识点】子集与真子集；交集及其运算.A1
【答案解析】A 解析：结合双曲线x 24－y 216＝1的图形及指数函数y ＝x
)23
(的图象可知，有3个交点，故A ∩B 子集的个数为8．故选A ．
【思路点拨】结合双曲线=1的图形及指数函数y=的图象可知，有3个交
点．对于有限集合，我们有以下结论：若一个集合中有n 个元素，则它有2n
个子集． 【题文】2．在等比数列}{n a 中，4231,4a a a a ⋅==，则=6a （ ）
A ．
81或—8 B ．81或81- C ．81-或8 D ．41或16
1
【知识点】等比数列的性质.D3
【答案解析】B 解析：由已知2
3423a a a a =⋅=，所以4
1
,1132
3==
=a a q a ，所以8
1
336±=⋅=q a a ，故选B ．
【思路点拨】利用等比数列的性质，先求出a 3，再求出公比，即可求出a 6．
【题文】3．已知中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线的离心率为5，则它的渐近线方程为( )
A ．y ＝±2x
B ．y ＝±
52x C ．y ＝±1
2
x D ．y ＝±6x 【知识点】双曲线的简单性质．H6 【答案解析】C 解析：设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，∵e ＝c a
＝5，c ＝a 2＋b 2
，
∴
a 2＋
b 2
a 2
＝1＋
b a
2
＝5，∴b a ＝2，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±1
2
x ，故选C.
【思路点拨】可设方程为：y 2a 2－x 2b
2＝1(a >0，b >0)，由离心率和abc 的关系可得b 2=2a 2
，而渐
近线方程为y ＝±1
2
x ．
【题文】4．已知圆C 的方程为x 2
＋y 2
＋2x －2y ＋1＝0，当圆心C 到直线kx ＋y ＋4＝0的距离最大时，k 的值为( )
A.13
B.15 C ．－13 D ．－15
【知识点】点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系．H2 H4
【答案解析】D 解析：圆C 的方程可化为(x ＋1)2
＋(y －1)2
＝1，所以圆心C 的坐标为(－1,1)，又直线kx ＋y ＋4＝0恒过点A (0，－4)，所以当圆心C 到直线kx ＋y ＋4＝0的距离最大时，直线CA 应垂直于直线kx ＋y ＋4＝0，直线CA 的斜率为－5，所以－k ＝15，k ＝－1
5.
【思路点拨】圆心为C （﹣1，1）半径r=1，直线恒过定点B （0，﹣4），当直线与BC 垂直
时，圆心C 到直线kx+y+4=0的距离最大，由斜率公式易得BC 的斜率，再由垂直关系可得． 【题文】5．函数f (x )＝2cos 2
x －3sin2x (x ∈R )的最小正周期和最小值分别为 ( )
A ．2π，3
B ．2π，－1
C ．π，3
D ．π，－1
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．C3 C7
【答案解析】D 解析：由题可知，f (x )＝2cos 2
x －3sin2x ＝cos2x －3sin2x ＋1＝2sin(
π6－2x )＋1，所以函数f (x )的最小正周期为T ＝π，最小值为－1，故选D.
【思路点拨】首先，结合已有的知识，得到f （x ）=2sin(π
6－2x )＋1，然后，结合正弦函
数的性质，得到相应的结果．
【题文】6．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且是以2为周期的周期函数．若当x ∈[0,1)时，f (x )＝2x
－1，则)6(log 2
1f 的值为( )
A ．－52
B ．－5
C ．－1
2
D ．－6
【知识点】函数的周期性；函数奇偶性的性质；函数的值．B4
【答案解析】C 解析：∵)(x f 为奇函数，6log 6log 22
1-=，且)(x f 周期为2
∴21
)12()23(log )26(log )6(log )6(log 23
log 2222
12-=--=-=--=-=f f f f
故选 C ．
【思路点拨】由题意可得：6log 6log 22
1-=，
结合函数的周期性可得：f （log 26）=f （log 2），再根据题中的条件代入函数解析式可得答案．
【题文】7．若函数f (x )＝ln x －12ax 2
－2x 存在单调递减区间，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．)1,(-∞
B ．]1,(-∞
C ．),1(+∞-
D ．),1[+∞- 【知识点】利用导数研究函数的单调性．B12
【答案解析】C 解析：f ′(x )＝1x －ax －2＝1－ax 2
－2x
x
，
由题意可知f ′(x )<0在(0，＋∞)内有实数解．即1－ax 2
－2x <0在(0，＋∞)内有实数解． 即a >1x 2－2x 在(0，＋∞)内有实数解．∵x ∈(0，＋∞)时，1x 2－2x ＝(1x
－1)2
－1≥－1，
∴a >－1.故选C ．
【思路点拨】f ′(x )＝1x －ax －2＝1－ax 2
－2x x ，化为a >1x 2－2
x
在（0，+∞）内有实数解，求
1
x
2
－2x
的值域. 【题文】8．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2
－6n ，数列{|a n |}的前n 项和T n ，则n
T n
的最小值是( )
A ．626-
B ．
513 C ．2
5
D ．3 【知识点】等差数列的前n 项和；数列的求和．D2 D4 【答案解析】C 解析：由已知 <<<<<-=43210,
72a a a a n a n
⎪⎩⎪⎨⎧≥+-=-≤+-=-=)4(1862)3(62
32
n n n S S n n n S T n n n ，⎪⎩
⎪⎨⎧≥-+≤+-=)4(618)3(6n n n n n n T n 当4=n 时，有最小值
2
5
，故选：C. 【思路点拨】由题意可得a n =2n ﹣7，进而可得⎪⎩
⎪
⎨⎧≥-+≤+-=)
4(618
)3(6n n n n n n T n ，由函数的性质可得最值．
【题文】9．若满足条件AB ＝3，C ＝π
3
的三角形ABC 有两个，则边长BC 的取值范围是( )
A ．(1，2)
B ．(2，3)
C ．(3，2)
D ．(2，2) 【知识点】解三角形．C8
【答案解析】C 解析：若满足条件的三角形有两个，则
32＝sin C <sin A <1，又因为BC sin A ＝AB
sin C
＝2，故BC ＝2sin A ，所以3<BC <2，故选C.
【思路点拨】由已知条件C 的度数，AB 及BC 的值，根据正弦定理用a 表示出sinA ，由C 的度数及正弦函数的图象可知满足题意△ABC 有两个A 的范围，然后根据A 的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出sinA 的范围，进而求出BC 的取值范围．
【题文】10．已知x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≤2，y －x ≥0，
x ≥0.
目标函数z ＝ax ＋y 只在点(1,1)处取
最小值，则有( )
A ．a >1
B ．a >－1
C ．a <1
D ．a <－1 【知识点】简单线性规划．E5
【答案解析】D 解析： 作出可行域如图阴影部分所示．
由z ＝ax ＋y ，得y ＝－ax ＋z .
只在点(1,1)处z 取得最小值，则斜率－a >1， 故a <－1，故选D.
【思路点拨】画出约束条件表示的可行域，利用目标函数取得的最小值，确定直线的斜率的范围，得到结果．
【题文】11．函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x
·f (x )>e x
＋1的解集为( )
A ．{x |x >0}
B ．{x |x <0}
C ．{x |x <－1，或x >1}
D ．{x |x <－1，或0<x <1} 【知识点】函数单调性的性质；导数的运算．B11 B12
【答案解析】A 解析：构造函数g (x )＝e x
·f (x )－e x
，因为g ′(x )＝e x
·f (x )＋e x
·f ′(x )
－e x ＝e x [f (x )＋f ′(x )]－e x >e x －e x ＝0，所以g (x )＝e x ·f (x )－e x 为R 上的增函数．又g (0)＝e 0·f (0)－e 0
＝1，所以原不等式转化为g (x )>g (0)，解得x >0.故选A
【思路点拨】构造函数g （x ）=e x
•f（x ）﹣e x
，结合已知可分析出函数g （x ）的单调性，结合g （0）=1，可得不等式e x
•f（x ）＞e x
+1的解集．
【题文】12．已知点P 是椭圆x 216＋y 2
8＝1(x ≠0，y ≠0)上的动点，F 1、F 2分别为椭圆的左、右
焦点，O 是坐标原点，若M 是∠F 1PF 2的平分线上一点，且01=⋅F ，则||的取值范围是( )
A ．[0,3)
B ．(0,22)
C ．[22，3)
D ．(0,4] 【知识点】椭圆的简单性质；椭圆的定义．H5
【答案解析】B 解析：延长F 1M 交PF 2或其延长线于点G ，∵01=⋅F ，∴01=⊥F 又MP 为∠F 1PF 2的平分线，∴|PF 1|＝|PG |且M 为F 1G 的中点，∵O 为F 1F 2的中点， ∴OM //F 2G .，且|OM|=1
2|F 2G|. ∵|F 2G |＝||PF 2|－|PG ||＝||PF 2|－|PF 1||，
∴||OM ＝1
2
|2a －2|PF 2||＝|4－|PF 2||.
∵4－22<|PF 2|<4或4<|PF 2|<4＋22，∴||OM ∈(0,22)． 故选B ．
【思路点拨】结合椭圆x 216＋y 2
8＝1的图象，当点P 在椭圆与y 轴交点处时，点M 与原点O 重
合，此时|OM|取最小值0．当点P 在椭圆与x 轴交点处时，点M 与焦点F 1重合，此时|OM|取最大值．由此能够得到|OM|的取值范围．
第II 卷（非选择题）
二、填空题（每小题5分，共20分）
【题文】13．若关于x 的不等式2－x 2
=|x －a |至少有一个负数解，则实数a 的取值范围是________．
【知识点】根的存在性及根的个数判断．B9 【答案解析】9,24⎡⎫
-
⎪⎢⎣⎭
解析：
y ＝2－x 2是开口向下的抛物线，y ＝|x －a |是与x 轴交于(a,0)点的“V 字形”折线，显然当a ＝2时，y ＝2－x 2
(x <0)的图象都在折线下方，由2－x 2
＝x －a 得x 2＋x －a －2＝0，由Δ＝1＋4a ＋8＝0得a ＝－94，此时y ＝x －a 与y ＝2－x 2
(x <0)相切，
故－9
4
≤a <2.故答案为：[﹣，2）．
【思路点拨】关于x 的不等式2－x 2
=|x －a |至少有一个负数解化为y ＝2－x 2
与y ＝|x －a |至少有一个横坐标为负数的交点，从而解得．
【题文】14．已知21,e e 是互相垂直的两个单位向量，若向量21e e t a +⋅=与向量
21e t e b ⋅+=的夹角是钝角，则实数t 的取值范围是
【知识点】平面向量数量积的运算．F3
【答案解析】()(),11,0-∞-- 解析：∵向量a 与向量b 的夹角是钝角，∴0<⋅b a ，且
π>≠<,由0)()(2121<⋅+⋅+⋅e t e e e t ，且0,1||||2121=⋅==e e e e ，得0<t
令0),(2121<⋅+=+⋅λλe t e e e t ，则⎩
⎨⎧⋅==t t λλ
1，于是1-=t ,故，0<t ，且1-=t
故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）
【思路点拨】利用向量21e e t +⋅=与向量21e t e ⋅+=是的夹角是钝角得到它们的数量积小于0，并且注意当向量的夹角为π时数量积也小于0要排除． 【题文】15．已知1,0,0=+>>b a b a ，则)1
)(1(b
b a a ++的最小值是 【知识点】基本不等式．E6 【答案解析】
254
解析：由已知ab b a 21≥+=，∴41
0≤<ab
2
1
1
2)(1)1)(1(2222222-+=+-++=
+++=++ab
ab ab ab b a b a ab b a b a b b a a 当且仅当41=ab 时，取最小值4
25 故答案为：
．
【思路点拨】利用基本不等式的性质、函数的单调性即可得出． 【题文】16．下列结论：
①已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是a b
＝－3； ②命题“设a ，b ∈R ，若a ＋b ≠6，则a ≠3或b ≠3”是一个假命题； ③函数f (x )＝lg(x ＋1＋x 2
)是奇函数；
④在△ABC 中，若sin A cos B ＝sin C ，则△ABC 是直角三角形；
⑤“m >n >0”是“方程mx 2
＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的充要条件；
⑥已知a 、b 为平面上两个不共线的向量，p ：|a ＋2b |＝|a －2b |；q ：a ⊥b ，则p 是q 的必要不充分条件．其中正确结论的序号为________． 【知识点】命题的真假判断与应用．A2
【答案解析】③④⑤ 解析：当b ＝a ＝0时，有l 1⊥l 2，故①不正确；②的逆否命题为“设a ，
b ∈R ，若a ＝3且b ＝3，则a ＋b ＝6”，此命题为真命题，所以原命题也是真命题，②错误；
f (－x )＝lg(－x ＋1＋x 2)＝lg(1
x ＋1＋x 2
)＝－f (x )，所以③正确；由sin A cos B ＝sin C 得
sin A cos B ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，所以cos A sin B ＝0，所以cos A ＝0，即A ＝π
2，
所以△ABC 是直角三角形，所以④正确；∵m >n >0，∴0<1m <1n ，方程mx 2＋ny 2
＝1化为x 2
1m ＋y 2
1
n
＝
1，故表示焦点在y 轴上的椭圆，反之亦成立．∴⑤是真命题；由于|a ＋2b |＝|a －2b |⇔(a
＋2b )2＝(a －2b )2
⇔a ·b ＝0⇔a ⊥b ，因此p 是q 的充要条件，∴⑥是假命题．故答案为：③④⑤
【思路点拨】当b=a=0时，有l 1⊥l 2，即可判断①；考虑②的逆否命题的真假，即可判断②；由奇偶性的定义，即可判断③；运用三角恒等变换公式，化简即可判断三角形ABC 的形状，即可判断④；由条件，化简曲线方程为标准方程，即可判断⑤；运用向量的数量积的性质，两边平方，化简即可得到，再由充分必要条件定义即可判断⑥． 三、解答题（共70分） 【题文】17．（本小题满分10分）
若函数f (x )＝－x 3
＋6x 2
－9x ＋m 在区间[0,4]上的最小值为2，求它在该区间上的最大值． 【知识点】函数的最值及其几何意义．B3
【答案解析】6
解析：f ′(x )＝－3x 2
＋12x －9＝－3(x －1)(x －3)，----------------------------------2分
由f ′(x )=0得， x =1或x =3，
f (x )的值随x 的变化情况如下表：
x
0 (0,1) 1 (1,3) 3 (3,4) 4 f ′(x )
－ 0
＋ 0
－
f (x )
m 递减
m －4 递增
m 递减
m －4
-------------6分 由已知f (x )的最小值为f (1)＝f (4)＝m －4＝2，∴m ＝6 ------------8分 ∴f (x )在[0,4]上的最大值为f (0)＝f (3)＝m ＝6 -------------10分
【思路点拨】先求导数f′（x ）=﹣3x 2
+12x ﹣9=﹣3（x ﹣1）（x ﹣3），由f′（x ）=0得，x=1或x=3；x=1与x=3把区间[0，4]分成（0，1）、（1，3）、（3，4），在每个区间上研究函数的单调性． 【题文】18．（本小题满分12分）
已知函数f (x )的定义域是(0，＋∞)，当x >1时，f (x )>0，且f (x ·y )＝f (x )＋f (y )． (1)证明：f (x )在定义域上是增函数；
(2)如果f (13)＝－1，求满足不等式f (x )－f (1
x －2)≥2的x 的取值范围．
【知识点】抽象函数及其应用；函数单调性的判断与证明．B3
【答案解析】(1) 见解析；(2) [1＋10，＋∞)．
解析：(1)令x ＝y ＝1，得f (1)＝2f (1)，故f (1)＝0. -------------2分 令y ＝1x ，得f (1)＝f (x )＋f (1x )＝0，故f (1
x
)＝－f (x )． -------------4分
任取x 1、x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)＋f (1x 1)＝f (x 2
x 1
)，
由于x 2x 1>1，则f (x 2x 1
)>0，从而f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．------6分 (2)由于f (13)＝－1，而f (1
3
)＝－f (3)，故f (3)＝1，
在f (x ·y )＝f (x )＋f (y )中，令x ＝y ＝3，得f (9)＝f (3)＋f (3)＝2， --------8分 又由(1)知－f (
1
x －2
)＝f (x －2)， 故所给不等式可化为f (x )＋f (x －2)≥f (9)，即f [x (x －2)]≥f (9)， ------------10分
∴⎩⎪⎨⎪
⎧
x >0，x －2>0，x x －2≥9，
解得x ≥1＋10，
∴x 的取值范围是[1＋10，＋∞)． ------------12分
【思路点拨】(1) 设x 1，x 2∈（0，+∞）且x 1＜x 2，则x 2x 1>1，，故f (x 2x 1
)>0，由此导出f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)＋f (1x 1)＝f (x 2
x 1
)＜0，从而能够证明f （x ）在（0，+∞）上是增函数． (2) 令
x ＝y ＝3，得f (9)＝f (3)＋f (3)＝2，故所给不等式可化为f (x )＋f (x －2)≥f (9)，即f [x (x －2)]≥f (9)，由此能求出x 的范围．
【题文】19．（本小题满分12分）
在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，向量)2,(c a b m -=，)cos ,(cos C B n =，且n m //
(1)求角B 的大小；
(2)设f (x )＝cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫
ωx －B 2＋sin ωx (0<ω)，且f (x )的最小正周期为π，求f (x )的单调
区间．
【知识点】正弦定理；平面向量共线（平行）的坐标表示．C8 F2
【答案解析】(1) B ＝π
3 ；(2) 单调递增区间是Z k k k ∈+
+],6
5,3[ππππ； 单调递减区间是Z k k k ∈+
-
],3
,6
[π
ππ
π
解析：(1)由m ∥n 得，b cos C ＝(2a －c )cos B ， ∴b cos C ＋c cos B ＝2a cos B .
由正弦定理得，sin B cos C ＋sin C cos B ＝2sin A cos B ， 即sin(B ＋C )＝2sin A cos B .
又B ＋C ＝π－A ，∴sin A ＝2sin A cos B . ------------2分 又sin A ≠0，∴cos B ＝12，而B ∈(0，π)，∴B ＝π
3. ------------4分
(2)由题知f (x )＝cos(ωx －π6)＋sin ωx ＝32cos ωx ＋32sin ωx ＝3sin(ωx ＋π
6
)， -----6分 由已知得
πωπ
=|
|2，∵0<ω，∴2-=ω，f (x )＝－3sin(2x －π6)，------------8分
由2
26
22
2π
ππ
π
π+≤-≤-k x k ，得Z k k x k ∈+
≤≤-
,3
6
π
ππ
π
由232622
2πππ
π
π+
≤-
≤+
k x k ，得Z k k x k ∈+
≤≤+,6
53π
πππ 故，函数f (x )的单调递增区间是Z k k k ∈+
+],6
5,3
[π
ππ
π； 单调递减区间是Z k k k ∈+
-
],3
,6
[π
ππ
π ------------12分
【思路点拨】（1）通过向量平行，推出关系式，利用正弦定理以及两角和的正弦函数，化简通过三角形内角，即可求出B 的大小．（2）利用（1）B 的值，以及两角和的正弦函数，化简函数的表达式，通过函数的周期求出ω，通过正弦函数的单调区间求解即可． 【题文】20．（本小题满分12分） 已知二次函数y ＝f (x )的图象经过坐标原点，其导函数f ′(x )＝2x ＋2，数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n ∈N *
)均在函数y ＝f (x )的图象上． (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝2n
·a n ，T n 是数列{b n }的前n 项和，求T n . 【知识点】数列的求和；导数的运算．B11 D4
【答案解析】(1) a n ＝2n ＋1； (2) T n ＝(2n －1)·2n ＋1
＋2.
解析：(1)设f (x )＝ax 2
＋bx ，f ′(x )＝2ax ＋b ＝2x ＋2，
∴a ＝1，b ＝2，f (x )＝x 2＋2x ， ------------2分 ∴S n ＝n 2
＋2n ，
∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2
＋2n )－[(n －1)2
＋2(n －1)]＝2n ＋1， 又a 1＝S 1＝3，适合上式，∴a n ＝2n ＋1. ------------6分 (2)b n ＝(2n ＋1)·2n
，
∴T n ＝3·21
＋5·22
＋7·23
＋…＋(2n ＋1)·2n
， ∴2T n ＝3·22
＋5·23
＋7·24
＋…＋(2n ＋1)·2
n ＋1
， ------------8分
相减得－T n ＝3·21＋2·(22＋23＋…＋2n )－(2n ＋1)·2
n ＋1
＝6＋2·4·
1－2n －1
1－2
－(2n ＋1)·2
n ＋1
＝(1－2n )·2n ＋1
－2，
∴T n ＝(2n －1)·2
n ＋1
＋2. ------------12分
【思路点拨】(1) 由已知设函数f （x ），结合导函数可求函数解析式，进而可得s n ，然后利用当n≥2时，a n =s n ﹣s n ﹣1，a 1=S 1，可求通项；(2) 可求b n ，然后利用错位相减可求数列的和。

【题文】21．（本小题满分12分）
若椭圆C 1：x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)的离心率等于32
，抛物线C 2：x 2
＝2py (p >0)的焦点是椭圆C 1
的一个顶点．
(1)求抛物线C 2的方程；
(2)若过M (－1,0)的直线l 与抛物线C 2交于E 、F 两点，又过E 、F 作抛物线C 2的切线l 1、l 2，当l 1⊥l 2时，求直线l 的方程．
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线的一般式方程；抛物线的标准方程．H1 H7 H8 【答案解析】(1) x 2
＝4y .；(2) x －y ＋1＝0.
解析：(1)已知椭圆的长半轴长为a ＝2，半焦距c ＝4－b 2
，
由离心率e ＝c a ＝4－b 22＝32
得，b 2
＝1. ------------2分
∴椭圆的上顶点为(0,1)，即抛物线的焦点为(0,1)，
∴p ＝2，抛物线的方程为x 2
＝4y . ------------4分
(2)由题知直线l 的斜率存在且不为零，则可设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，E (x 1，y 1)，F (x 2，
y 2)，
∵y ＝14x 2，∴y ′＝12x ，∴切线l 1、l 2的斜率分别为12x 1、1
2x 2，
当l 1⊥l 2时，12x 1·1
2
x 2＝－1，即x 1·x 2＝－4， ------------8分
由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝k x ＋1
，
x 2
＝4y .得x 2
－4kx －4k ＝0，
由Δ＝(－4k )2
－4×(－4k )>0，解得k <－1或k >0. 又x 1·x 2＝－4k ＝－4，得k ＝1，满足Δ>0
∴直线l 的方程为x －y ＋1＝0. ------------12分
【思路点拨】（1）根据长半轴是2求出a 的值，再表示出半焦距c ，根据离心率的值求出b 的值，从而可得到抛物线的焦点坐标，得到抛物线的标准方程．（2）先根据题意设出直线l 的方程和点E 、F 的坐标，然后对抛物线方程进行求导运算，进而得到切线l 1，l 2的斜率，根据l 1⊥l 2可得到x 1•x 2的值，再联立直线l 与抛物线方程消去y 得到关于x 的一元二次方
程，进而可表示出两根之积，再结合x 1•x 2的值可确定k 的值，最后将k 的值代入到直线方程即可得到答案．
【题文】22．（本小题满分12分）
椭圆的两焦点坐标分别为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，且椭圆过点P (1，－
32)． (1)求椭圆方程；
(2)若 A 为椭圆的左顶点，作AM ⊥AN 与椭圆交于两点M 、N ，试问：直线MN 是否恒过x 轴上的一个定点？若是，求出该点坐标；若不是，请说明理由．
【知识点】椭圆的简单性质．H5
【答案解析】(1) x 24＋y 2＝1； (2) 直线MN 过定点)0,56
(-T 。

解析：(1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意c ＝3，且椭圆过点P (1，－ 32
)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－b 2＝3，1a 2＋34b 2＝1.⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝4，b 2＝1.∴椭圆方程为x 24＋y 2
＝1. ------------4分 (2)解法1：由已知直线MN 与y 轴不垂直，假设其过定点)0,(a T ，设其方程为a my x += 由⎪⎩⎪⎨⎧=++=14
22y x a my x 得042)4(222=-+++a amy y m ------------6分 设)(),,(2211y x N y x M ，则4
4422221221+-=⋅+-=+m a y y m am y y ∴a y y m a my a my x x 2)(212121++=+++=+
2212122121)())((a y y am y y m a my a my x x +++=++=⋅
∵AN AM ⊥，∴0=⋅，即0)2(),2(211=+⋅+x y x
∴04)(2212121=++++y y x x x x
∴0)2())(2()1(2
21212=++++++a y y a m y y m ------------10分 即0)2(4
)2(24)2)(2)(1(22222=++++-+-++a m a am m a a m 若2-=a ，则T 与A 重合，不合题意，∴02≠+a ，整理得56-
=a 综上，直线MN 过定点)0,5
6(-T ------------12分
【思路点拨】（1）设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1（a ＞b ＞0），先求出c ＝3，b 2=1，a 2=4，从而可得椭圆方程；（2）由已知直线MN 与y 轴不垂直，假设其过定点)0,(a T ，设其方程为a my x +=，得042)4(222=-+++a amy y m ；设)(),,(2211y x N y x M ，有
0=⋅，即（x 1+2，y 1）•（x 2+2）=0，整理得56-=a ，故直线MN 过定点)0,5
6(-T。