432空间两点间的距离公式课件人教A版必修2

3－1.正方形 ABCD、ABEF 的边长都是 1，而且平面 ABCD 和平面 ABEF 互相垂直，点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF 上移 动，若 CM＝BN＝a(0<a< 2 )．
(1)求 MN 的长； (2)a 为何值时，MN 的长最小？ 解：(1)∵平面 ABCD⊥平面 ABEF， 平面 ABCD∩平面 ABEF＝AB，AB⊥BE， ∴BE⊥平面 ABCD，则 AB、BE、BC 两两垂直．
解 ： |AB| ＝ 1－m－22＋1－m－m2＋m－m2 ＝
5m2－2m＋2＝ 5m－152＋95.
∴当
m＝15时，|AB|取得最小值3
5
5 .
2－2.已知△ABC 的三个顶点坐标分别为 A(1，－2，11)， B(4,2,3)，C(6，－1,4)，请判断△ABC 的形状．
解：|AB|＝ 4－12＋2＋22＋3－112＝ 89， |AC|＝ 1－62＋－2＋12＋11－42＝ 75， |BC|＝ 4－62＋2＋12＋3－42＝ 14， ∵|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，∴△ABC 为直角三角形．
以 B 为坐标原点，以 BA、BE、BC 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系．
则
M
22a，0，1－
22a，N
22a，
22a，0，
|MN|＝
22a－
22a2＋0－
22a2＋1－
22a－02
＝ a2－ 2a＋1＝
a－
222＋12.
(2)当 a＝ 22时，MNmin＝ 22，此时 M、N 恰好为 AC、BF
则 AB 的中点 M 的坐标是x1＋2 x2，y1＋2 y2，z1＋2 z2.
两点间的距离公式 例 1：已知两点 P(1,0,1)与 Q(4,3，－1)． (1)求 P、Q 之间的距离； (2)求 z 轴上的一点 M，使|MP|＝|MQ|.
解：(1)|PQ|＝ 1－42＋0－32＋1＋12＝ 22. (2)设 M 点的坐标为(0,0，z)， 则|MP|＝ 12＋02＋z－12， |MQ|＝ 4－02＋3－02＋－1－z2， 又|MP|＝|MQ|， 故 1＋(z－1)2＝16＋9＋(z＋1)2，解得 z＝－6， ∴M 点的坐标为(0,0，－6)．
解：(1)依题意 P12，21，12，设点 Q(0,1，z)， 则|PQ|＝ 122＋12－12＋12－z2 ＝ z－122＋21. ∴当 z＝12时，|PQ|min＝ 22， 此时 Q(0,1，12)，Q 恰为 CD 的中点．
(2)依题意 Q(0,1，12)，设 P(x，x，z)， 则|PQ|＝ x2＋x－12＋z－122 ＝ 2x－122＋z－122＋12. ∴当 x＝z＝12时，|PQ|min＝ 22， 此时 P 点坐标为12，21，12，P 恰为 AB 的中点．
4－1.在空间直角坐标系中，已知点 A(1,0,2)，B(1，－3,1)， 点 M 在 y 轴上，且 M 到 A 与到 B 的距离相等，则 M 的坐标是 _(_0_，__－__1_,0_)_．
解析：设 M(0,y,0)，由12＋y2＋4＝1+(－3－y)2＋1，可得 y＝－1.故 M(0，－1,0)．
的中点．
例 4：给定空间直角坐标系，在 x 轴上找一点 P，使它与点 P0(4,1,2)的距离为 30.
错因剖析：开方运算时容易漏掉负数． 正解：设点 P 的坐标是(x,0,0)，由题意，|P0P|＝ 30， 即 x－42＋12＋22＝ 30， ∴(x－4)2＝25，解得 x＝9 或 x＝－1. ∴点 P 坐标为(9,0,0)或(－1,0,0)．
空间直角坐标系的应用 例 3: 如图 1，正方体边长为 1，以正方体的三条棱所在的 直线为坐标轴，建立空间直角坐标系 Oxyz，点 P 在正方体的对 角线 AB 上，点 Q 在正方体的棱 CD 上．
图1
(1) 当点 P 为对角线 AB 中点，点 Q 在棱 CD 上运动时，求 |PQ|的最小值；
(2)当点 Q 为棱 CD 的中点，点 P 在对角线 AB 上运动时， 求|PQ|的最小值．
1－2.已知空间三点 A(0,0,3)，B(4,0,0)，C(4,5,0)，求三角形 的周长．
解：∵A(0,0,3)，B(4,0,0)，C(4,5,0)， ∴|AB|＝ 0－42＋02＋3－02 ＝5， |BC|＝ 4－42＋0－52＋02 ＝5， |AC|＝ 0－42＋0－52＋3－02 ＝5 2， ∴三角形的周长为 10＋5 2.
1－1.求到两定点 A(2,3,0)，B(5,1,0)的距离相等的点的坐标 (x，y，z)满足的条件．
解：设 P(x，y，z)为满足条件的任一点， 则由题意得 |PA|＝ x－22＋y－32＋z－02， |PB|＝ x－52＋y－12＋z－02. ∵|PA |＝|PB|， ∴6x－4y－13＝0 即为所求点所满足的条件．
4．已知 A(1，－2,1)，B(2,2,2)，点 P 在 z 轴上，且|PA |＝|PB|，
则点 P 的坐标为_(_0_,0_,_3_)_.
5．已知△ABC 的三个顶点分别为点 A(3,1,2)，B(4，－2， 30
－2)，C(0,5,1)，则 BC 边上的中线长为___2___.
重点 空间两点的距离公式 1．空间两点距离公式：设 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)， 则|AB|＝ x1－x22＋y1－y22＋z1－z22. 2．中点坐标公式：设 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，
4．3.2 空间两点间的距离公式
1．已知空间坐标系中，A(1,1,1)，B(－3，－3，－3)，则线
段 AB 的长|
D．3 2
2 ．已知 A( －2,4,0) ，B(3,2,0) ，则线段 AB 的中点坐标是 __12_，__3_，__0__.
3．点 P 的坐标是1， 2， 3，过 P 作 yOz 平面的垂线， 垂足为 Q，则 Q 点的坐标是_(_0_，___2_，___3_)_，过 P 作 y 轴的垂线， 垂足为 H，则 H 点的坐标是_(_0_，___2_，__0_)_．
空间两点间距离公式的应用 例 2：在 xOy 平面内的直线 x＋y＝1 上确定一点 M，使 M 到点 N(6,5,1)的距离最小． 解：由已知，可设 M(x,1－x,0)， 则|MN|＝ x－62＋1－x－52＋0－12 ＝ 2x－12＋51. ∴|MN|min＝ 51.
2－1.已知 A(2，m，m)，B(1－m,1－m，m)，求|AB|的最小 值．