艾滋病传播模型的讨论(杜函敏)

（3）
由这个模型所得结论可推出：当 d r0 0 ,X 随着 t 增大而减小。符合死 亡人数大于新传染人数时，总感染人数减小这一事实。
六、模型评价
现在来检验一下模型是否反映真实的情况,看这个模型到底有没有实用价值. 将实际值（用 i 表示）与通过模型计算出来的值（简称计算值，用 j 表示）做一 i j 比较.然后，按照下面的计算公式 w 100% ，求出它们的相对误差（用 w s
1
其中艾滋病病人约 8.5 万（8 万--9 万）人；2007 年新发艾滋病病毒感染者 5 万（4 万--6 万）人，因艾滋病死亡 2 万（1.5 万-- 2.5 万）人.2008 年最新中 国艾滋病数据显示，从上世纪 80 年代早期艾滋病被确诊以来，截至 2008 年底， 中国累计共 1051875 人感染了艾滋病病毒. 其中，2008 年新增病例 37041 起，年底有 97041 例艾滋病病人.2009 年递 增近一万人于年底达到 102810 例.2011 年同比增长 12800 余人.见表 1. 表1 年份 AIDS 我国境内历年发现的艾滋病人数 年份 AIDS 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 47606 60711 85866 97041 102810 118893 124686
dX rX dt X (0) X 0 解之得：X （t）=X 0e rt
表明感染人数将按指数每年规律增长（r>0） ，这个模型在传染病爆发初期增 长速度是非常慢的，而发展到一定程度后，增长速度会迅速加快。如果不采取有 效措施，任其按指数规律发展下去后果将不堪设想。由于政府的高度重视，采取 了一系列措施，所以我国的艾滋病传染可用 Logistic 模型描述。 2.1.2 模型求解 根据表 1 令：
1997 2649 1998 3343 1999 3306 2000 4677 2001 5501 2002 8219 2003 9732 2004 21691 2、模型建立 2.1 模型一：指数增长模型 2.1.1 模型陈述
X (t t) X(t) r X(t)t
于是 X 满足如下微分方程： （t）
X dX ~ t 和 X ~ t 曲线， X m 是一条抛物线， 2 dt
表明感染人数增长率
X dX ~ t 随感染人数的增加而先增后减，在 X m 处达到最 dt 2
3
大值。 X ~ t 是一条 S 型曲线，拐点在 X
Xm 处。当 t∞时 X X m 2
图（1） 图（2） 2.3 模型三：修正的 Logistic 模型 因为现在尚无有效的治愈方法，艾滋病是一个死亡率很高的传染病，每年感 染的人数很多，死亡的人数也很多。不考虑死亡人数的影响，显然不符合实际。 现在假设每年的死亡率 d（每年死亡人数占总感染人数的比例） 。在模型二的基 础上建立如下模型：
r0 Xm
d r0 0
X 因子 1 体现了对感染人数增长的阻滞作用。 Xm
dX X r0 1 X dt X m
（1）
X 0 X 0
可解得：
X
Xm X 1+ m X 0 -1
（2）
根据式（1）和式（2）画出
3343 3108 0.07 47606 44722
相对误差 -0.04 0.06 0.06 0.07 0.017 0.025 0.02 由表 2 可知实际值与通过模型得出的计算值相对误差很小。 这说明我们的模 型基本拟合了数据，它是可行的. 如果将实际值与计算值画在同一个坐标系中， 就更能清楚地说明这一点，存艾滋病感染者和病人约 74 万。艾滋病防控形势不容乐 观！艾滋病在世界范围内的传播越来越迅猛，已成为人们健康的第四大杀手，严重威胁 着人类的健康和社会的发展。为预防和控制艾滋病的大规模流行，对艾滋病的传播进行 理论上的研究显得十分必要。本文通过指数增长模型、Logistic 模型以及修正的 Logistic 模型，并结合我国卫生部公布的疫情数据，建立了艾滋病传播规模预测模型。 最后将模型预测结果与实际数据进行了比对。
三、符号说明
符号 t X0 X(t) r r0 xm 符号意义描述符号意义描述 1985 年以后第 t 年 1985 年艾滋病人数 第 t 年艾滋病感染人数 指数模型中每年平均增长率 感染人数的固有增长率 艾滋病感染人数的最大值
四、模型假设
假设一：感染人数增长率是常数 r，即每年感染人数增长量与前一年的艾滋 病人数有关。 假设二：x(t)是个较大的整数，这样就可以利用微积分将 x(t)视为连续、 可微分函数。
二、问题分析
艾 滋 病 从 1985 年 开 始 传 入 中 国 ， 它 在 我 国 的 流 行 经 历 了 传 入 期 （1985-1988） ，播散期（1989-1994）和增长期（1995 至今）三个阶段。本文用 指数增长模型、Logistic 模型（阻滞增长模型）、修正的 Logistic 模型研究了 我国的艾滋病传染情况。 用模型数据与实际数据作了比较。并根据国内艾滋病传 染途径示意图提出了几点意见。
X x0ert
其中 ， X 0、t 为参数，对（1）式两边取自然对数得：
（1）
ln X lnX 0 rt
记 ln X X, t t , ln x0 x0 ; 则（2）式化为

（2）
X x0 r t



（3）
2
然后采用最小二乘法拟合上面数据得回归方程得：
X 6.84 0.36t ，
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关键词：艾滋病传播人数预测 指数增长模型 Logistic 模型 修正的 Logistic 模型
一、问题重述
艾滋病是由 HIV 病毒感染而引起的疾病，HIV 感染后的潜伏期相当长，没有 任何药物可以治愈。 从上个世纪 80 年代 HIV 传入我国以来人数不断增加， 到 2005 年年底估计我国感染人数达 65 万人。请收集我国 HIV 感染的有关数据，建立模 型预测我国 HIV 的感染情况。论文中必须注明数据的来源。
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表示） ，结果如下表： 表2 实际值 计算值 相对误差 实际值 计算值 2649 2497 0.06 21691 22830
实际值，计算值及相对误差表 3306 3467 -0.05 60711 56902 4677 5121 -0.08 85866 79778 5501 6014 -0.08 97041 95409 8219 9003 -0.08 102810 101886 9732 10293 -0.05 118893 115784
X(t t) X t [r X d]X t t X [r0 1 d]X t t Xm
dX X [r0 1 d]X dt Xm
X 0 X0
解得：
X
d r0 d r0 r0 ( d r0 )t r0 e Xm Xm X0
七、模型改进
因为我们现在统计出来的这个数字还不够精确， 民间到底有多少艾滋病人没 有一个确切的数字，而我们建立起来的数学模型是以这些统计数据为基础的.所 以， 若官方公布的数据不够准确的话，那我们做出来的模型也就有可能与实际情 况有较大误差，有待进一步修改模型，能够反映出真实情况.
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参考文献：
［1］国家卫生部疾病控制司.中国成年人超重和肥胖症预防控制指南（试行） ［Z］.2003.4 ［2］陈洛芸，李洪辉，马登祥等海东地区血站血液报废情况分析［J ］.青海医 药杂志，2006，36（1） ：54-55. ［3］中华人民共和国国家标准全血及成分血质量要求［S］.GB18469-2001.
附录
程序 1
x=[1997:1:2011]; y=[2649,3343,3306,4677,5501,8219,9732,21691,47606,60711,85866, 97041,102810,118893,124686]; log_y=log(y); P=polyfit(x,log_y,1); logy1=P(1)*x+P(2); y1=exp(logy1); plot(x,y,'*',x,y1)

即：
lnX 6.84 0.36t ，
故有：
X 931e0.36t .
按照模型推算（如果不采取任何防范措施） ，截至 2009 年底，中国累计共 有 10 万 7 千名艾滋病人，这个结果与卫生部公布的数据基本吻合 3 .到 2015 年 底艾滋病人将达到 124 万人.也许还会高于这个数据。 2.2 模型二：阻滞增长模型 将增长率 r 表示为感染人数 X t 的函数 r X ,最简单的把 r X 设为 x 的线 性减函数 r ( X ) r0 sX，r 0, s 0， r0 相当于 X=0 是的增长率，且称它为固有增 长率。当 X r X 是增长率应为 0 则： r ( X m ) 0 => s
五、模型建立与求解
1、模型背景 从卫生部网站上搜集到一些数据，截止 2006 年 10 月 31 日，全国历年累计 报告艾滋病 183733 例， 其中艾滋病病人 40667 例； 死亡 12464 例.截至 2007 年 10 月底，全国累计报告艾滋病病毒感染者和艾滋病病人 223501 例,其中艾滋病 病人 62 838 例，死亡报告 22205 例.到 2007 年底，我国现存艾滋病病毒感染者 和病人约 70 万 （55 万--85 万） 人， 全人群感染率约为 0.05％ （0.04％--0.07％） ，