数列中的奇数项和偶数项问题

1设数列{a
n
}的首项a
1
=a ≠41，且11
为偶数
21
为奇
数
4
n
n n a n a a n +⎧⎪⎪=⎨
⎪+⎪⎩,
记211
4
n n b a -=-
，n ＝＝l ，2，3，…·． （I ）求a 2，a 3；
（II ）判断数列{b n }是否为等比数列，并证明你的结论； 解：（I ）a 2＝a 1+
41=a +41，a 3=21a 2=21a +81； （II ）∵a 4=a 3+41=21a +83,所以a 5=21
a 4=41a +316,
所以b 1=a 1－41=a －41,b 2=a 3－41=21(a －41),b 3=a 5－41=41(a －4
1
),
猜想：{b n }是公比为2
1
的等比数列·
证明如下：
因为b n +1＝a 2n +1－41=21a 2n －41=21(a 2n －1－41)=2
1
b n ,(n ∈N *) 所以{b n }是首项为a －41,公比为2
1
的等比数列·
2在数列
{}n a 中，1a =0，且对任意k *N ∈，2k 12k 2k+1a ,a ,a -成等差数列，其公差为2k.
（Ⅰ）证明456a ,a ,a 成等比数列； （Ⅱ）求数列
{}n a 的通项公式；
（I ）证明：由题设可知，2122a a =+=，3224a a =+=，4348a a =+=，
54412a a =+=， 65618a a =+=。

从而
65543
2
a a a a ==，所以4a ，5a ，6a 成等比数列。

（II ）解：由题设可得21214,*k k a a k k N +--=∈ 所以()()()211
2121212331...k k k k k a a a a a a a a ++----=-+-+-
()21,*k k k N =+∈.
由10a =，得()21
21k a k k +=+，从而222122k k a a k k +=-=.
所以数列{}n a 的通项公式为22
1
,2
,2
n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数
或写为()21124n n n a --=+，*n N ∈。

设n S 为数列{}n a 的前n 项和，2
n S kn n =+，*
n N ∈，其中k 是常数． （I ）求1a 及n a ；
（II ）若对于任意的*
m N ∈，m a ，2m a ，4m a 成等比数列，求k 的值． 解析：（Ⅰ）当1,111+===k S a n ，
12)]1()1([,2221+-=-+--+=-=≥-k kn n n k n kn S S a n n n n （*）
经验，,1=n （*）式成立，12+-=∴k kn a n （Ⅱ）m m m a a a 42,, 成等比数列，m m m
a a a 42
2.=∴，
即)18)(12()14(2
+-+-=+-k km k km k km ，整理得：0)1(=-k mk ， 对任意的*∈N m 成立，10==∴k k
或
（2009北京文）（本小题共13分）
设数列{}n a 的通项公式为(,0)n a pn q n N P *
=+∈>.数列{}n b 定义如下：对于正整数m ，m b 是使得不等式n a m ≥成立的所有n 中的最小值.
（Ⅰ）若11
,23
p q ==-，求3b ；
（Ⅱ）若
2,1p q ==-，求数列{}m b 的前2m 项和公式；
（Ⅲ）是否存在p 和q ，使得32()m b m m N *
=+∈？如果存在，求p 和q 的取值范围；如果不存在，请说明理由.
【解析】本题主要考查数列的概念、数列的基本性质，考查运算能力、推理论证能力、 分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式综合的较难层次题.
（Ⅰ）由题意，得1123n a n =
-，解11323n -≥，得20
3
n ≥. ∴
11
323
n -≥成立的所有n 中的最小整数为7，即37b =. （Ⅱ）由题意，得21n a n =-，
对于正整数，由n a m ≥，得1
2
m n +≥
. 根据m b 的定义可知 当21m k =-时，()*m b k k N =∈；当2m k =时，()*1m b k k N =+∈.
∴()()1221321242m m m b b b b b b b b b -++
+=+++++++
()()
213222
m m m m m m ++=
+=+. （Ⅲ）假设存在p 和q 满足条件，由不等式
pn q m +≥及0p >得m q
n p
-≥
. ∵32()m b m m N *
=+∈,根据m b 的定义可知，对于任意的正整数m 都有
3132m q
m m p
-+<
≤+，即()231p q p m p q --≤-<--对任意的正整数m 都成立. 当310p ->（或310p -<）时，得31p q m p +<--（或231
p q
m p +≤--），
这与上述结论矛盾！ 当310p -=，即
13p =
时，得21033q q --≤<--，解得21
33
q -≤<-. ∴存在p 和q ，使得32()m b m m N *
=+∈；
p 和q 的取值范围分别是
13p =
，21
33
q -≤<-. 已知数列{}n a 和{}n b 满足：1a λ=,124,(1)(321),3
n
n n n n a a n b a n +=+-=--+其中λ
为实数，n 为正整数.
（Ⅰ）对任意实数λ，证明数列{}n a 不是等比数列； （Ⅱ）试判断数列{}n b 是否为等比数列，并证明你的结论；
（Ⅲ）设0a b <<,n S 为数列{}n b 的前n 项和.是否存在实数λ，使得对任意正整数n ，都有
n a S b <<?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由.
本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分类讨论的思想，考
查综合分析问题的能力和推理认证能力，（满分14分）
（Ⅰ）证明：假设存在一个实数λ，使｛a n ｝是等比数列，则有a 22=a 1a 3,即
,0949
4
9494)494()332(222=⇔-=+-⇔-=-λλλλλλλ矛盾. 所以｛a n ｝不是等比数列.
(Ⅱ)解：因为b n +1=(-1)n +1［a n +1-3(n -1)+21］=(-1)n +1(
3
2
a n -2n +14) =
32(-1)n ·（a n -3n +21）=-3
2b n 又b 1x -(λ+18),所以
当λ＝－18，b n =0(n ∈N +),此时｛b n ｝不是等比数列： 当λ≠－18时，b 1=(λ+18)≠0,由上可知b n ≠0，∴
3
2
1-=+n a b b (n ∈N +). 故当λ≠-18时，数列｛b n ｝是以－（λ＋18）为首项，－3
2
为公比的等比数列. (Ⅲ)由（Ⅱ）知，当λ=-18,b n =0,S n =0,不满足题目要求. ∴λ≠-18，故知b n =-（λ+18）·（－
3
2）n -1
，于是可得 S n =-
.321·)18(53⎥⎦⎤⎢⎣
⎡+n ）－（－　λ 要使a <S n <b 对任意正整数n 成立， 即a <-
53(λ+18)·［1－（－3
2
）n ］〈b(n ∈N +) ，则
令
得
)2
(1)()3
2(1)18(5
3
)3
2(1--=--<
+-<--n f b a n
n
λ①
当n 为正奇数时，1<f (n ),1)(95
;35<≤≤
n f n 为正偶数时，当 ∴f (n )的最大值为f (1)=35,f (n )的最小值为f (2)=95
,
于是，由①式得95a <-53(λ+18),<.183185
3
--<<--⇔a b b λ
当a <b ≤3a 时，由－b -18≥=-3a -18，不存在实数满足题目要求；
当b >3a 存在实数λ，使得对任意正整数n ,都有a <S n <b ,且λ的取值范围是（－b -18,-3a -18）.
设数列
{}n a 的前n 项和为n S ，对任意的正整数n ，都有51n n a S =+成立，记
*4()1n
n n
a b n N a +=
∈-。

（I ）求数列
{}n a 与数列{}n b 的通项公式；
（II ）设数列
{}n b 的前n 项和为n R ，是否存在正整数k ，使得4n R k ≥成立？若存在，找出一
个正整数k ；若不存在，请说明理由； （I ）当1=n 时，111151,4
=+∴=-
a S a 又
1151,51++=+=+n n n n a S a S
∴数列
{}n a 是首项为114=-
a ，公比为1
4=-q 的等比数列， ∴1()4=-n n a ，*14()4()11()4
+-=
∈--n
n n b n N …………………………………3分 （II ）不存在正整数k ，使得4n R k ≥成立。

证明：由（I ）知14()5441(4)11()4
+-==+----n
n n
n b ∴当n 为偶数时，设2()n m m N *
=∈ ∴1234212()()()84n m m R b b b b b b m n -=++++
++<=
当n 为奇数时，设21()n m m N *
=-∈ ∴1234232221()()()8(1)4844n m m m R b b b b b b b m m n ---=++++
+++<-+=-=
∴对于一切的正整数n ，都有4n R k <
∴不存在正整数k ，使得4n R k ≥成立。

…………………………………8分 数列{}2
21
221,2,(1cos )sin ,1,2,3,.22
n n n n n a a a a a n ππ+===++=满足
(Ⅰ)求34,,a a 并求数列{}n a 的通项公式；
(Ⅱ)设21
122,.n n n n n
a b S b b b a -=
=+++证明：当1
62.n n S n
≥-<时，
解:(Ⅰ)因为121,2,a a ==所以2
2
3
11(1cos )sin 12,2
2
a a a π
π
=++=+= 一般地，当*21(N )n k k =-∈时，222121(21)21[1cos ]sin 22
k k k k a a ππ+---=++
＝211k a -+，即2121 1.k k a a +--= 所以数列
{}21k a -是首项为1、公差为1的等差数列，因此21.k a k -=
当*
2(N )n k k =∈时，2
2222222(1cos )sin 2.22
k k k k k a a a ππ
+=++= 所以数列
{}2k a 是首项为2、公比为2的等比数列，因此22.k k a =
故数列{}n a 的通项公式为*
*21,21(N ),2
2,2(N ).n n n n k k a n k k +⎧=-∈⎪=⎨⎪=∈⎩
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，2122,2n n n a n b a -=
=23123
,222
2n n
n
S =++++
① 2241112322222
n n n S +=++++② ①-②得，23111111.222222
n n n n
S +=++++-
所以112
22.222
n n n n
n n S -+=--=- 要证明当6n ≥时，12n S n -<成立，只需证明当6n ≥时，(2)
12n
n n +<成立.
证法一
(1)当n =6时，6
6(62)48312644
⨯+==<成立. (2)假设当(6)n k k =≥时不等式成立，即(2)
1.2
k
k k +< 则当n =k +1时，
1(1)(3)(2)(1)(3)(1)(3)
1.222(2)(2)2k k
k k k k k k k k k k k k
++++++++=⨯<<++ 由(1)、(2)所述，当n ≥6时，2
(1)12n n +<.即当n ≥6时，1
2.n S n
-< 证法二
令2
(2)
(6)2
n n n c n +=≥，则21121(1)(3)(2)30.222n n n n n n n n n c c ++++++--=-=< 所以当6n ≥时，1n n c c +<.因此当6n ≥时，6683
1.644
n
c c ⨯≤=
=<
于是当6n ≥时，
2
(2)
1.2n n +< 综上所述，当6n ≥时，
1
2.n S n
-<
设n S 是数列{}n a （n ∈N*）的前n 项和，1a a =，且22213n n n S n a S -=+，0n a ≠，
234n =，，，．
（I ）证明：数列2{}n n a a +-（2n ≥）是常数数列；
（II ）试找出一个奇数a ，使以18为首项，7为公比的等比数列{}n b （n ∈N*）中的所有项都是数列{}n a 中的项，并指出n b 是数列{}n a 中的第几项． 20．解：（I ）当2n ≥时，由已知得22213n n n S S n a --=．
因为10n n n a S S -=-≠，所以213n n S S n -+=．…………………………① 于是213(1)n n S S n ++=+．…………………………………………………② 由②－①得：163n n a a n ++=+．……………………………………………③ 于是2169n n a a n +++=+．……………………………………………………④ 由④－③得：26n n a a +-=．…………………………………………………⑤ 即数列2{}n n a a +-（2n ≥）是常数数列． （II ）由①有2112S S +=，所以2122a a =-． 由③有1215a a +=，所以332a a =+，
而⑤表明：数列2{}k a 和21{}k a +分别是以2a ，3a 为首项，6为公差的等差数列． 所以22(1)6626k a a k k a =+-⨯=-+，213(1)6623k a a k k a +=+-⨯=+-，
k ∈N*．
由题设知，1187n n b -=⨯．当a 为奇数时，21k a +为奇数，而n b 为偶数，所以n b 不是数列21{}k a +中的项，n b 只可能是数列2{}k a 中的项．
若118b =是数列2{}k a 中的第n k 项，由18626k a =-+得036a k =-，取03k =，得3a =，此时26k a k =，由2n k b a =，得11876n k -⨯=，137n k -=⨯∈N*，从而n
b
是数列{}n a 中的第167n -⨯项．
等差数列{}n a 的前n
项和为1319n S a S ==+， （Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a 与前n 项和n S ； （Ⅱ）设()n
n S b n n
*=∈N ，求证：数列{}n b 中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
本小题考查数列的基本知识，考查等差数列的概念、通项公式与前n 项和公式，考查等比数列的概念与性质，考查化归的数学思想方法以及推理和运算能力．满分12分
解：（Ⅰ）由已知得111339a a d ⎧=⎪⎨+=+⎪⎩，
2d ∴=，
故21(n n a n S n n =-=．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得n
n S b n n
=
=+
假设数列{}n b 中存在三项p q r b b b ，，（p q r ，，互不相等）成等比数列，则
2q p r b b b =．
即2((q p r +=++．
p q r *∈N ，，，
2020q pr q p r ⎧-=∴⎨--=⎩，，
2
2
()02p r pr p r p r +⎛⎫∴=-=∴= ⎪
⎝⎭，，． 与p r ≠矛盾．
所以数列{}n b 中任意不同的三项都不可能成等比数列．。