广东省实验中学高二数学下学期期中试题 理 新人教A版

广东实验中学2013—2014学年（下）高二级期中考试
理科数学
本试卷分基础检测、能力检测两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。

第一部分 基础检测(100分)
一、选择题：（本大题共10小题，每小题6分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．） 1.若复数（1+b i ）（2+i ）是纯虚数（i 是虚数单位，b R ）,则b 等于 ( )
A ．2
B ．－2
C ．－
2
1
D ．
2
1 2．为防止某种疾病，今研制一种新的预防药．任选取100只小白鼠作试验，得到如下的列联表：
经计算得2
3.2079K 的观测值为,则在犯错误的概率
不超过( )的前提下认为“药物对防止某种疾病有效”。

A ． 0.025
B ． 0.10
C ． 0.01
D ． 0.005
参考数据：
3．有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数()f x ，若0()0f x '=，则0x x =是函数()f x 的极值点. 因为3()f x x =在0x =处的导数值(0)0f '=，所以0x =是3()f x x =的极值点. 以上推理中 （ ） A ．大前提错误 B ． 小前提错误 C ．推理形式错误 D ．结论正确 4.下列不等式对任意的(0,)x ∈+∞恒成立的是（ ）
A ．ln(1)x x >+
B ．20x x ->
C ．sin 1x x >-+
D ．x
e ex > 5．由直线x ＝－π3，x ＝π
3
，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )
A.1
2
B ．1 C.
32
D. 3
6．方程3
2
2670x x -+=在(0,2)内根的个数有（ ）
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个
7．若函数)(x f 满足0)(')(>+x xf x f ，设2
)
1(f a =
，)2(f b =，则b a ,与0的大小关系为 （ ） A ．b a >>0 B ．a b <<0 C ．0>>b a D ．0>>a b 8．给出下列五个命题:
①某班级一共有52名学生,现将该班学生随机编号,用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本,已知7号,33号,46号同学在样本中,那么样本另一位同学的编号为23; ②一组数据1、2、3、3、4、5的平均数、众数、中位数相同;
③一组数据a 、0、1、2、3,若该组数据的平均值为1,则样本标准差为2;
④根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为
，a bx y 中+=∧
2=a ， 1,3x y ==,则b =1;
⑤如图是根据抽样检测后得出的产品样本净重(单位:克)数据绘制的频率分布直方图,已知样本中产品净重小于100克的个数是36,则样本中净重大于或等于98克,并且小于104克的产品的个数是90. 其中真命题为：
A ． ①②④ B. ②④⑤ C. ②③④ D. ③④⑤
二、填空题(4*6分=24分) 9．若
bi i
a
-=-11， 其中b a ,都是实数，i 是虚数单位，则.______=+bi a 10．如图所示是一容量为100的样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可知其中位数为 ．
11．曲线ln ()x
f x x
=
在点(1,0)P 处的切线方程是 ． 12．观察下列等式: 212(1)1x x x x ++=++,
22234(1)1232x x x x x x ++=++++,
2323456(1)136763x x x x x x x x ++=++++++,
242345678(1)1410161916104x x x x x x x x x x ++=++++++++, L L 由以上等式推测:对于n N *∈,若2220122(1)n n n x x a a x a x a x ++=++++L
则.______2=a
三、解答题
13. （8分）已知复数()z a i a R =+∈，且|1|1z -=，若22
,,z z z z -在复平面中对应的
点分别为,,A B C ，求ABC ∆的面积. 14．（10分，每小题5分）
(1)已知110,02,,
b a
a b a b a b
++>>+>且求证:
中至少有一个小于2。

（2）设x>0,y>0且x+y=1，求证：1111x y ⎛⎫
⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
≥9.
15．(10分) 阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有
sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+ ……………①
sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=- ……………② 由①+② 得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ
++-= …………
③
令,A B αβαβ+=-= 有,22A B A B
αβ+-=
= 代入③得 sin sin 2sin cos 22
A B A B
A B +-+=． （1）利用上述结论，试求0
75sin 15sin +的值。

（2）类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:
2
cos
2cos
2cos cos B
A B A B A -⋅+=+。

（3）求函数]4
,0[)62cos(2cos π
π
∈+
⋅=x x x y 的最大值。

第二部分 能力检测(50分)
16.(5分) 已知983)(2
2--=+n n f n ，存在*
N m ∈，使对任意*
N n ∈，都有m 整除)(n f ，
则m 的最大值为______________.
17.(5分)对于三次函数)0()(2
3
≠+++=a d cx bx ax x f ，定义：设)('
'x f 是函数)
(x f y =的导数)('x f 的导数，若方程0)('
'=x f 有实数解0x ，则称点())
(,00x f x 为函数
)(x f y =的“拐点”.有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心”，且‘拐点’就是对称中心.请你将这一发现作为条件. (1) 函数x x x x f 33)(2
3
+-=的对称中心为________.
(2) 若函数=-
+-=∑=9
1
23)10(,12532131)(i i
g x x x x g 则 .
18．(12分)正三角形有这样一个性质：正三角形内任一点（不与顶点重合）到三边的距离和
为定值.且此定值即高.
类比到空间正四面体,对于空间正四面体内任一点（不与顶点重合）,关注它到四个面的距离和, 请类比出一个正确的结论.并予以证明.
19．（14分）设正项数列}{n a 的前n 项和n S ，且满足)(2
212*∈+=
N n n
a S n n . （Ⅰ）计算321,,a a a 的值，猜想}{n a 的通项公式，并证明你的结论； （Ⅱ）设n T 是数列}1{2
n a 的前n 项和，证明：1
24+<n n
T n .
20．（14分）已知函数 2
1()2ln (2)2
f x x a x a x =
-+-，a ∈R ． (Ⅰ）当 1a = 时，求函数 ()f x 的最小值；
(Ⅱ）当1a =- 时，求证：无论c
取何值，直线y c =-+均不可能与函数()f x 相切；
(Ⅲ）是否存在实数a ，对任意的 ()12,0,x x ∈+∞，且12x x ≠，有
2121
()()
f x f x a x x ->-恒
成立，若存在求出a 的取值范围，若不存在，说明理由。

广东实验中学2013—2014学年（下）高二级期中考试理科数学
参考答案
第一部分 基础检测(100分) 一、选择题：（本大题共10小题，每小题6分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. A 2． B 3. A 4.A 5．D 6．B. 7. D 8．B 二．填空题(4*6分=24分)
9． 5 10．13 11． 1y x =- 12．2
)
1(+n n 三.解答题 13.解：i z a a z +===+-=
-1,111)1(12即得……………3分
所以i i i z z i i z 3121,
2)1(22
2-=--=-=+= (5)
所以)3,1(),2,0(),1,1(-C B A ，即2142
1
=⨯⨯=∆ABC S ……………8分
14. (1)证明：假设
b a a b ++1,1都不小于2，则21,21≥+≥+b
a
a b (2)
,21,21,0,0b a a b b a ≥+≥+∴>>Θ (3)
)(211b a b a +≥+++∴, 即 2≤+b a (4)
这与已知2>+b a 矛盾,故假设不成立,从而原结论成立. (5)
（2）证明:证法一（综合法）： 左边1122x y x y y x x y x y ⎛⎫⎛⎫++⎛
⎫⎛
⎫=+
+
=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭⎝⎭⎝⎭52549y x x y ⎛⎫
=++≥+= ⎪⎝⎭
. 证法二（分析法）：要证1111x y ⎛⎫
⎛
⎫+
+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
≥9成立， -----1分 因为x>0,y>0，且x+y=1，所以y=1-x>0. 只需证明11111x x ⎛
⎫⎛⎫
+
+ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭
≥9， --------------------2分 即证(1+x ）(2-x)≥9x(1-x)，-------------------------3分 即证2+x-x 2
≥9x-9x 2
，即证4x 2
-4x+1≥0.
即证(2x-1)2
≥0，此式显然成立，----------------------4分 所以原不等式成立.----------------------------------5分 15.解:
2
6)30cos(45sin 227515cos 27515sin 275sin 15sin )1(0
0000000=
-⋅=-⋅+=
+ ……………………3 （2）因为cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-， ①
cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+， ② ………5 ①+② 得βαβαβαcos cos 2)cos()cos(=-++ ， ③
令,A B αβαβ+=-=有,22A B A B
αβ+-==
， ……………6 代入③得：2
cos
2cos 2cos cos B
A B A B A -⋅+=+. …………7 （3）.由(2)知,4
3)64cos(21]6cos )64[cos(21)62cos(2cos ++=++=+
=ππππ
x x x x y (8)
]6
7,6[64],4,0[π
πππ∈+∴∈x x Θ, (9)
故函数的最大值为2
3
)0(=f . (10)
第二部分 能力检测(50分)
16． 64 17.(1). (1,1) (2) 9.
18.解: 类比的结论是: 空间正四面体内任一点（不与顶点重合）到它的四个面的距离和为定值.且此定值即正四面体的高. ………………………..3 下面给出证明:如图:
正四面体ABCD,P 为其内部一点,则点P 将四面体分成四个共顶点的三棱锥. 设点P 到四个面的距离分别记为4321,,,PM PM PM PM , 正四面体
的高记为h
A
由ABCD ABC P ABD P ACD P BCD P V V V V V =+++---- (6)
得:h S PM S PM S PM S PM S BCD ABC ABD ACD BCD ⋅=⋅+⋅+⋅+⋅∆∆∆∆∆3
1
31
3131314321
(9)
ABCD Θ为正四面体,∴四个面面积相同.
∴h PM PM PM PM =+++4321 (12)
19. （Ⅰ）解：
当n=1时，21212111+=
=a S a ，得11=a ；12122221+==+a S a a ，得22=a ； 2
3
21233321+==++a S a a a ，得33=a .
猜想n a n =………………………………………….3’ 证明：（ⅰ）当n=1时，显然成立.
（ⅱ）假设当n=k 时，k a k =…………………….4’
则当n=k+1时，
)2
21(2121)221(212122122111k k k a k a k a S S a k k k k k k +-++=+-++=
-=++++ 结合0>n a ，解得11+=+k a k ………………..6’
于是对于一切的自然数*
∈N n ，都有n a n =…………7’
（Ⅱ）证法一：因为
)1
21
121(
24
11
122+--=-
<n n n n
，………………10’ 124)1211(2)1211215131311(212111222+=
+-=+--++-+-<+++=n n n n n n
T n ΛΛ……………………………………………………………………………………14’ 证法二：数学归纳法
证明：（ⅰ）当n=1时，11
12
1==T ，3411214=+⨯⨯，341<………………………………….8’ （ⅱ）假设当n=k 时，1
24+<k k
T k ………………………………………………………………9’
则当n=k+1时，2
21)1(1
124)1(1+++<++
=+k k k k T T k k
要证：1
)1(2)
1(41+++<
+k k T k
只需证：
1
)1(2)
1(4)1(11242+++<+++k k k k k 由于
2
2)1(1
1)22(4)12)(32(41241)1(2)1(4+>-+=++=+-+++k k k k k k k k 所以
1
)1(2)
1(4)1(11242+++<+++k k k k k ………………………13’ 于是对于一切的自然数*
∈N n ，都有1
24+<
n n
T n ……………………….14’ 20. 解；（Ⅰ）显然函数()f x 的定义域为()0,+∞， ....................1分
当22(2)(1)
1,()x x x x a f x x x
---+'===时．)0(>x ...............2分 ∴ 当()0,2,()0x f x '∈<时，()2,,()0x f x '∈+∞>．
∴()f x 在2x =时取得最小值，其最小值为 (2)2ln 2f =-． ............ 4分
（Ⅱ）∵1a =-2
()3f x x x
'∴=+-， ....................................5分
假设直线与()f x 相切，设切点为00(,)x y
，则0()f x '=-
0x >
Q 000
2
()33f x x x '∴=+-≥>-
0()f x '≠-所以无论c 取何
值，直线y c =-+均不可能与函数()f x 相切。

....................8分
（Ⅲ）假设存在实数a 使得对任意的 ()12,0,x x ∈+∞，且12x x ≠，有
2121
()()
f x f x a x x ->-,
恒成立，不妨设120x x <<，只要
2121
()()
f x f x a x x ->-，即：()()2211f x ax f x ax ->-
令()()g x f x ax =-，只要 ()g x 在()0,+∞为增函数 又函数2
1()2ln 22
g x x a x x =
--． 考查函数x
a x x a x x x a x x g 21)1(2222)(22---=--=--='..................12分 要使2
1
,021,),0(0)(-
≤≥--+∞≥'a a x g 即只要恒成立在, 故存在实数有且对任意的时,),,0(,,]2
1,(2121x x x x a ≠+∞∈--∞∈
,)
()(1
212a x x x f x f >--恒成立..................................................14分。