上海甘泉外国语中学高中数学选修2-2第一章《推理与证明》检测卷(有答案解析)

一、选择题
1．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问数学考试的成绩老师说：你们四人中有两位优秀、两位良好，我现在给乙看甲、丙的成绩，给甲看丙的成绩，给丁看乙的成绩，看后乙对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则（ ） A ．甲可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩 C ．甲、丁可以知道对方的成绩
D ．甲、丁可以知道自己的成绩
2．图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到.图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第n 代“勾股树”所有正方形的面积的和为（ ）
A ．n
B ．2n
C ．1n +
D ．1n -
3．设k 1111S k 1k 2k 32k
=+++⋯++++,则1k S +=( ) A ．()k 1
S 2k 1++
B ．()
k 11
S 2k 12k 1++++ C ．()k 11
S 2k 12k 1+
-++ D ．()k 11
S 2k 12k 1
+
-++
4．德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半（即
2
n
）；如果n 是奇数，则将它乘3加1（即3n+1），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1. 对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研究：如果对正整数n （首项）按照上述规则施行变换后的第8项为1（注：l 可以多次出现），则n 的所有不同值的个数为 A ．4
B ．6
C ．8
D ．32
5．若实数,,a b c 满足1a b c ++=，给出以下说法：①,,a b c 中至少有一个大于13
；②,,a b c 中至少有一个小于1
3
；③,,a b c 中至少有一个不大于1；④,,a b c 中至少有一个不小于1
4
.其中正确说法的个数是（ ） A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
6．（河南省南阳市第一中学2018届高三第十四次考试）某校有A ，B ，C ，D 四件作
品参加航模类作品比赛.已知这四件作品中恰有两件获奖.在结果揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四件参赛作品的获奖情况预测如下： 甲说：“A 、B 同时获奖”； 乙说：“B 、D 不可能同时获奖”； 丙说：“C 获奖”；
丁说：“A 、C 至少一件获奖”.
如果以上四位同学中有且只有二位同学的预测是正确的，则获奖的作品是 A ．作品A 与作品B B ．作品B 与作品C C ．作品C 与作品D D ．作品A 与作品D
7．用数学归纳法证明 11151236
n n n ++⋅⋅⋅+≥++时，从n k =到1n k =+，不等式左边需添加的项是（ ） A ．111
313233
k k k +++++ B ．112
313233k k k +-+++ C ．
11
331
k k -++ D ．
1
33
k + 8．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式
11
111++
+
中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程
1
1x x +
=
求得x =
=（ ）
A ．
1
2
B ．3
C ．6
D ．9．设实数a,b,c 满足a+b+c=1,则a,b,c 中至少有一个数不小于 ( ) A ．0
B ．
13
C ．
12
D ．1
10．袋子里有编号为2,3,4,5,6的五个球，某位教师从袋中任取两个不同的球. 教师把所取两球编号的和只告诉甲，其乘积只告诉乙，让甲、乙分别推断这两个球的编号. 甲说：“我无法确定.” 乙说：“我也无法确定.”
甲听完乙的回答以后，甲又说：“我可以确定了.” 根据以上信息, 你可以推断出抽取的两球中 A ．一定有3号球
B ．一定没有3号球
C ．可能有5号球
D ．可能有6号球
11．利用数学归纳法证明不等式()()
111
1+
+++
,2,23
2
n f n n n N +<≥∈的过程中，由n k =变成1n k =+时，左边增加了（ ）
A ．1项
B ．k 项
C ．12k -项
D ．2k 项
12．已知 222233+
=，333388+=,44
44
1515
+=，m m m m
t t
+
=()*,2m t N m ∈≥且，若不等式30m t λ--<恒成立，则实数λ的取值范围为（ ） A ．)
22,⎡+∞⎣
B ．()
,22-∞
C ．(),3-∞
D ．[1,3]
二、填空题
13．利用数学归纳法证明不等式“()*11112,23212
n n
n n N +
++⋯+>≥∈-”的过程中，由“n k =”变到“1n k =+”时，左边增加了_____项．
14．已知M ，N 是双曲线2
212
x y -=上关于原点对称的两点，点P 是该双曲线上的任意
一点.若直线PM ，PN 的斜率都存在，则PM PN k k ⋅的值为定值.试类比上述双曲线的性
质，得到椭圆22
12x y +=的一个类似性质为：设M ，N 是椭圆2212
x y +=上关于原点对称
的两点，点P 是椭圆上的任意一点.若直线PM ，PN 的斜率都存在，则PM PN k k ⋅的值为定值，该定值为__________．
15．下面由火柴棒拼出的一列图形中，第n 个图形由n 个正方形组成.
通过观察可以发现第10个图形中火柴棒的
根数是 ________．
16．(2016·开封联考)如图所示，由曲线y ＝x 2，直线x ＝a ，x ＝a ＋1(a >0)及x 轴围成的曲边
梯形的面积介于相应小矩形与大矩形的面积之间，即1
2
22
(1)a a
a x dx a +<
<+⎰.运用类比推理，若对∀n ∈N *，11
1111
12
21
21
A n n n n n n +++
<<+++
+++-恒成立，则实数A ＝________.
17．求“方程34155x x ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的解”有如下解题思路：设函数()3455x x
f x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则函数()f x 在R 上单调递减，且()21f =，所以原方程有唯一解2x =．类比上述解题思
路，方程()3
62
2323x x x x +=+++的解集为____________．
18．小明在做一道数学题目时发现：若复数
111cos i?sin ?,z αα=+222 cos i?sin ,z αα=+，333cos i?sin z αα=+(其中123,,R ααα∈), 则121212cos()i?
sin(+)z z αααα⋅=++，232323cos()i?sin(+)z z αααα⋅=++ ，根据上面的结论，可以提出猜想: z 1·
z 2·z 3=__________________． 19．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：
则第个图案中有白色地面砖__________________块.
20．用反证法证明“,a b N ∈，ab 可被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除”时，应假设_______.
三、解答题
21．观察下列等式：
11
122
-
= 11111123434
-+-=+ 11111111123456456
-+-+-=++ ……
（1）根据给出等式的规律，归纳猜想出等式的一般结论； （2）用数学归纳法证明你的猜想． 22．已知数列{}n a 满足12a =，11n
n n
a a a +=+. （1）计算2a ，3a ，4a ；
（2）猜测n a 的表达式，并用数学归纳法证明.
23．在数列{}n a 的前n 项和为n S ，12
3
a =-，满足12n
n n S a S ++=（n ≥2）． （Ⅰ）求1S ，2S ，3S 并猜想n S 表达式； （Ⅱ）试用数学归纳法证明你的猜想． 24．求证：()
()2
3
3
3
*
1212L n L n n N +++=+++∈.
25．在数列{}n a 中，11
2a =
，133n n n
a a a +=+，求2a 、3a 、4a 的值，由此猜想数列{}n a 的
通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．
26．已知,a b ∈R ，且1a b +=求证：()()2
2
25
222
a b +++≥
.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
先由乙不知道自己成绩出发得知甲、丙和乙、丁都是一优秀、一良好，那么甲、丁也就结合自己看的结果知道自己成绩了. 【详解】
解：乙看后不知道自己成绩，说明甲、丙必然是一优秀、一良好，则乙、丁也必然是一优秀、一良好；甲看了丙的成绩，则甲可以知道自己和丙的成绩；丁看了乙的成绩，所以丁可以知道自己和乙的成绩，故选D. 【点睛】
本题考查了推理与证明，关键是找到推理的切入点.
2．C
解析：C 【分析】
由图二，可以求出当1n =时，所有正方形的面积，结合选项即可排除A 、B 、D 选项． 【详解】
由题意知，当1n =时，“勾股树”所有正方形的面积的和为2，当2n =时，“勾股树”所有正方形的面积的和为3，以此类推，可得所以正方形面积的和为1n +；也可以通过排除法，当1n =时，“勾股树”所有正方形的面积的和为2，选项A 、B 、D 都不满足题意，从而选出答案． 故选C. 【点睛】
本题考查了归纳推理，考查了勾股定理的应用，属于基础题．
3．C
解析：C 【解析】
分析：由题意将k 替换为1k +，然后和k S 比较即可. 详解：由题意将k 替换为1k +，据此可得：
()()()()
1111
1
111213
21k S k k k k +=+++
+
+++++++
()
1111
234
21k k k k =
++++++++
()111111234
22121k k k k k k =++++
+++++++ ()111111111234221211k k k k k k k k =+++++++-+++++++ ()
11111111234
22121k k k k k k k =
+++++
+-++++++ ()
11
2121k S k k =+
-++. 本题选择C 选项.
点睛：本题主要考查数学归纳法中由k 到k +1的计算方法，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
4．B
解析：B 【解析】
分析：利用第八项为1出发，按照规则，逆向逐项即可求解n 的所有可能的取值. 详解：如果正整数n 按照上述规则施行变换后第八项为1， 则变换中的第7项一定为2， 变换中的第6项一定为4，
变换中的第5项可能为1，也可能是8， 变换中的第4项可能是2，也可能是16，
变换中的第4项为2时，变换中的第3项是4，变换中的第2项是1或8，变换中的第1项是2或6，
变换中的第4项为16时，变换中的第3项是32或5，变换中的第2项是64或108，变换中的第1项是128或21或20，或3，
则n 的所有可能的取值为2,3,16,20,21,128，共6个，故选B.
点睛：本题主要考查了归纳推理的应用，其中解答中正确理解题意，利用变换规则，进行逆向逐项推理、验证是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，试题有一定的难度，属于中档试题.
5．B
解析：B 【解析】
分析：根据反证法思想方法，可判定③④是正确的，通过举例子，可判定①②是错误的. 详解：由题意,,a b c 满足1a b c ++=， 则在①、②中，当1
3
a b c ===
时，满足1a b c ++=，所以命题不正确； 对于③中，假设,,a b c 三个数列都大于1，则1a b c ++>，这与已知条件是矛盾的，所以假设不成立，则,,a b c 中失少有一个不大于1，所以是正确的；
对于④中，假设,,a b c 三个数列都小于
1
4
，则1a b c ++<，这与已知条件是矛盾的，所以假设不成立，则,,a b c 中失少有一个不小于1
4
，所以是正确的； 综上可知，正确的命题由两个，故选B.
点睛：本题主要考查了 命题个数的真假判定，其中解答中涉及反证法的思想的应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力.
6．D
解析：D 【解析】
根据题意，,,,A B C D 作品中进行评奖，由两件获奖， 且有且只有二位同学的预测是正确的，
若作品A 与作品B 获奖，则甲、乙，丁是正确的，丙是错误的，不符合题意； 若作品B 与作品C 获奖，则乙、并、丁是正确的，甲是错误的，不符合题意； 若作品C 与作品D 获奖，则甲、乙，丙是正确的，丁是错误的，不符合题意； 只有作品A 与作品D 获奖，则乙，丁是正确的，甲、丙是错误的，符合题意， 综上所述，获奖作品为作品A 与作品D ，故选D.
7．B
解析：B 【详解】
分析：分析n k =，1n k =+时，左边起始项与终止项，比较差距，得结果. 详解：n k =时，左边为
111123k k k
++⋅⋅⋅+++, 1n k =+时，左边为
111111233313233
k k k k k k ++⋅⋅⋅++++++++++, 所以左边需添加的项是
1111112
3132331313233
k k k k k k k ++-=+-+++++++，选B. 点睛：研究n k =到1n k =+项的变化，实质是研究式子变化的规律，起始项与终止项是什么，中间项是如何变化的.
8．A
解析：A 【解析】
由已知代数式的求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），可得要求的
()0m m =>，则两边平方得，得23m =，即
23m m +=，解得1122
m m =
=
舍去，故选A. 9．B
解析：B
【解析】
∵三个数a ，b ，c 的和为1，其平均数为13
∴三个数中至少有一个大于或等于13
假设a ，b ，c 都小于
1
3
，则1a b c ++< ∴a ，b ，c 中至少有一个数不小于13
故选B.
10．D
解析：D 【解析】
甲说：“我无法确定.”说明两球编号的和可能为7包含（2，5），（3，4），可能为8包含（2，6），（3，5），可能为9包含（3，6），（2，7）
乙说：“我无法确定.”说明两球编号的乘积为12包含（3，4）或（2 ，6） 根据以上信息,可以推断出抽取的两球中可能有6号球 故选D
点睛：本题是一道通俗易懂的合情推理题目，主要考查同学们的逻辑思维能力和推理能力，问题难度不大，认真审题是关键.
11．D
解析：D 【分析】
分别写出n k =、1n k =+时，不等式左边的式子，从而可得结果. 【详解】
当n k =时，不等式左边为111
1232
k +
+++
，当1n k =+时，不等式左边为111111123
2212
k k k ++
+++
+++
+，则增加了1
12(21)1222k k k k k ++-++=-=项，故选D. 【点睛】
项数的变化规律，是利用数学归纳法解答问题的基础，也是易错点，要使问题顺利得到解决，关键是注意两点：一是首尾两项的变化规律；二是相邻两项之间的变化规律.
12．C
解析：C 【解析】
分析：由等式归纳得出m 和t 的关系，从而得出关于m 的恒等式，利用函数单调性得出最小值即可得出λ的范围.
=21t m =-， 30m t λ--<恒成立，即220m m λ--<恒成立，m N *∈且2m ≥，
222
m m m m
λ+∴<=+.
令()2f m m m =+，()22
1f m m ='-，
2m ≥，()0f m ∴'>，
()f m ∴单调递增，
∴当2m =时，()f m 取得最小值()23f =，
3λ∴<.
故选：C.
点睛：若f (x )≥a 或g (x )≤a 恒成立，只需满足f (x )min ≥a 或g (x )max ≤a 即可，利用导数方法求出f (x )的最小值或g (x )的最大值，从而问题得解．
二、填空题
13．【分析】分析题意根据数学归纳法的证明方法得到时不等式左边的表示式是解答该题的突破口当时左边由此将其对时的式子进行对比得到结果【详解】当时左边当时左边观察可知增加的项数是故答案是【点睛】该题考查的是有
解析：2k . 【分析】
分析题意，根据数学归纳法的证明方法得到1n k =+时，不等式左边的表示式是解答该题的突破口，当1n k =+时，左边111111
12321221
k k k +=+
++⋯+++⋯+--，由此将其对n k =时的式子进行对比，得到结果.
【详解】
当n k =时，左边111
12321
k =+
+++-…， 当1n k =+时，左边111111
12321221
k k k +=+
++⋯+++⋯+--， 观察可知，增加的项数是1121(21)222k k k k k ++---=-=， 故答案是2k . 【点睛】
该题考查的是有关数学归纳法的问题，在解题的过程中，需要明确式子的形式，正确理解对应式子中的量，认真分析，明确哪些项是添的，得到结果.
14．【解析】分析：利用斜率公式可得利用点差法可得结果详解：设则
②①②-①可得故故答案为点睛：本题主要考查斜率公式与点差法的应用属于中档题利用点差法解题步骤为：①设点（即设出弦的两端点坐标）；②代入（即代 解析：12
-
【解析】
分析：利用斜率公式可得22212221
PM PN
y y k k x x -⋅=-，利用“点差法”可得结果. 详解：设()()1122,,,M x y P x y ，则()11,N x y --，
22
21212122
212121PM PN
y y y y y y k k x x x x x x -+-∴⋅=⋅=-+-， 2211+121x y =，②22
22121
x y +=，① ∴②-①可得2221222112
y y x x -=--，
故1
2PM PN k k ⋅=-
，故答案为12
-. 点睛：本题主要考查斜率公式与“点差法”的应用，属于中档题. 利用“ 点差法”解题步骤为：①设点（即设出弦的两端点坐标）；②代入（即代入圆锥曲线方程）；③作差（即两式相减，再用平方差公式分解因式）；④整理（即转化为斜率与中点坐标的关系式），然后求解.
15．31【解析】分析：由图形的特点只需看第10个图形中火柴的根数是在的基础上增加几个即可详解：第1个图形中有根火柴棒；第2个图形中有根火柴棒；第3个图形中有根火柴棒；第10个图形中有根火柴棒点睛：本题主
解析：31 【解析】
分析：由图形的特点，只需看第10个图形中火柴的根数是在4的基础上增加几个3即可． 详解：第1个图形中有4根火柴棒； 第2个图形中有437+= 根火柴棒； 第3个图形中有43210+⨯= 根火柴棒；
第10个图形中有43931+⨯= 根火柴棒．
点睛：本题主要考查了归纳推理的应用，齐总解答中根据图形的变化规律，得到火柴棒的根数是在4的基础上增加几个3的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．
16．【解析】令依据类比推理可得A1＝dx ＝ln(n ＋1)－lnnA2＝dx ＝ln(n ＋2)－ln(n ＋1)…An ＝dx ＝ln(2n)－ln(2n －1)所以A ＝A1＋A2＋…＋An ＝ln(n ＋1)－lnn
解析：ln 2
【解析】 令
12111111
,,,
121
221
n A A A n n n n n n <<<<<<+++-， 依据类比推理可得A 1＝
1
1n n
x +⎰
d x ＝ln(n ＋1)－ln n ，A 2＝2
1
1
n n x ++⎰d x ＝ln(n ＋2)－ln(n ＋1)，…，A n ＝
221
1
n
n x -⎰d x ＝ln(2n )－ln(2n －1)，所以A ＝A 1＋A 2＋…＋A n ＝ln(n ＋1)－ln n ＋ln(n ＋2)－ln(n ＋1)＋…＋ln(2n )－ln(2n －1)＝ln(2n )－ln n ＝ln 2.
17．【解析】类比上述解题思路设f(x)=x3+x 由于f′(x)=3+1⩾0则f(x)在R 上单调递增由即()3+=(2x+3)3+2x+3∴=2x+3解之得x=−1或x=3所以方程的解集为{−13}故答案为 解析：{1,3}-
【解析】
类比上述解题思路,设f (x )=x 3+x ,由于f ′(x )=32x +1⩾
0,则f (x )在R 上单调递增， 由()3
62
2323x x x x +=+++即(2x )3+2x =(2x +3)3+2x +3，
∴2x =2x +3， 解之得，x =−1或x =3.
所以方程()3
62
2323x x x x +=+++的解集为{−1,3}.
故答案为{}1,3-.
18．【解析】试题分析：运用推理考点：1归纳推理2复数的运算 解析：()()123123cos sin i αααααα+++++
【解析】
试题分析：运用推理()()123123cos sin i αααααα+++++ 考点：1.归纳推理.2.复数的运算.
19．4n+2【解析】解：观察分析图案得到规律第1个第2个第3个…个图案有白色地板砖分别是61014…个组成一个公差是4首项为6的等差数列因此第n 个图案中有白色地面砖有6+（n-1）×4=6+4n-4=4
解析：4n+2 【解析】
解：观察、分析图案，得到规律，第1个、第2个，第3个…个图案有白色地板砖分别是6，10，14…个，组成一个 公差是4，首项为6的等差数列．
因此第n 个图案中有白色地面砖有6+（n-1）×4=6+4n-4=4n+2． 故答案为4n+2．
20．中没有能被整除的数【分析】反证法证明中假设时只需要对结论进行否定即可【详解】至少有个的否定是最多有个故应假设中没有一个能被5整除【点睛】本题考查了反证法的定义注意对于像含有至少至多都或且等特殊词语命
解析：,a b 中没有能被5整除的数 【分析】
反证法证明中，假设时只需要对结论进行否定即可. 【详解】
“至少有n 个”的否定是“最多有1n -个”，故应假设a ，b 中没有一个能被5整除． 【点睛】
本题考查了反证法的定义，注意对于像含有“至少”“至多”“都”“或”“且”等特殊词语命题的否定，属于简单题.
三、解答题
21．（1）111111111234212122n n n n n
-+-+⋯+-=++⋯+-++；（2）证明见解析. 【分析】
（1）根据给出等式的规律，直接写出一般结论；
（2）利用数学归纳法证明猜想的结论，递推部分利用n k =时的结论来推导证明当
1n k =+时，等式仍然成立.
【详解】 （1）111111111234212122n n n n n
-
+-+⋯+-=++⋯+-++． （2）证明：①当1n =时，左边11122
=-=，右边1
2=，左边=右边
∴当1n =时，等式成立； ②假设当n k =时等式成立，即
11111111
1234212122k k k k k
-
+-+⋯+-=++⋯+-++ 则当1n k =+时 左边1111111
12342122122
k k k k =-
+-++-+--++ (111111222122)
k k k k k =
++⋯++-++++ 111112321122k k k k k ⎛⎫⎛⎫=++++- ⎪ ⎪+++++⎝⎭⎝⎭ (1111)
232122
k k k k =
++++=++++…右边 ∴当1n k =+时，等式也成立
由①②可知，对一切n *∈N ，等式都成立． 【点睛】
本题主要考查了归纳推理和数学归纳法，考查了学生逻辑推理与运算求解能力. 22．（1）222,,357
；（2）221n a n =-，证明见解析.
【解析】 【分析】
（1）由数列的递推公式11n
n n
a a a +=
+及12a =，代入即可求解2a ，3a ，4a 的值； （2）猜想数列的通项公式，利用数学归纳法，即可作出证明，得到结论. 【详解】 （1）由11n n n a a a +=
+及12a =，得121213
a a a ==+，进而2322
15a a a ==+，343217a a a ==+. （2）证明：猜想2
21
n a n =-，再用数学归纳法证明之. 当1n =时，12
221
a =
=-，而已知12a =， 所以1n =时，猜想正确.
假设当n k =时，猜想正确，即2
21
k a k =
-， 则1n k =+时，()12
22
212121211
121k k k a k a a k k k +-=
===+++-+-. 所以当1n k =+时，猜想也成立. 综上所述可知，对一切n N ∈，猜想2
21
n a n =-都正确. 【点睛】
本题主要考查了归纳、猜想与数学归纳法的证明方法，其中解答中明确数学归纳证明方法：（1）验证0n n =时成立；（2）假设当n k =时成立，证得1n k =+也成立；（3）得到证明的结论．其中在n k =到1n k =+的推理中必须使用归纳假设．着重考查了推理与论证能力． 23．（Ⅰ）123S =-，234S =-，345S =-，12
n n S n +=-+（Ⅱ）见解析 【分析】
（Ⅰ）利用1(2)n n n a S S n -=-≥，化简整理得11
2
n n S S -=-+（n ≥2），依次代入数据，
即可求解．
（Ⅱ）根据数学归纳法步骤证明即可．
【详解】 （Ⅰ）由112n n n n n S a S S S -++==-，得112
n n S S -=-+（n ≥2）． ∵ 123a =-
， ∴ 123
S =-， 2111322423S S =-
=-=-+-+，3211432524S S =-=-=-
+-+， 猜想：1
2n n S n +=-+．
（Ⅱ）证明：① 当1n =时，左边＝1123S a ==-，右边＝1112
2123n n ++-
=-=-++，猜想成立．
② 假设当n k =（*k N ∈）时猜想成立，即1
2
k k S k +=-
+， 那么，
()()()()1111122
1212231222
k k k k k S k S k k k k k +++++=-
=-=-=-=-
++-++++++-++， 即当1n k =+时猜想也成立．
根据①②，可知猜想对任何*n N ∈都成立． 【点睛】
本题考查数列中n a 和n S 的关系，利用数学归纳法证明猜想的公式，考查计算化简，推理证明的能力，属基础题． 24．见解析. 【解析】
试题分析：等式是关于正整数n 的一个式子，所以可以用数学归纳法证明，先检验n=1的
情况，再假设当*n k,k 1,k N =≥∈时，等式成立，即()2
33
31+2++k 1+2+
+k =，继
而证明n k 1=+时， ()()()3
2
3
33
31+2+
+k +k 11+2+
+k +k 1+=+成立，即可。

证明：（数学归纳法）
（1）当n 1=时，左边=1，右边=1，等式成立；
（2）假设当*n k,k 1,k N =≥∈时，等式成立，即()2
33
31+2+
+k 1+2+
+k =，
那么，当n k 1=+时， ()()()3
2
3
33
31+2+
+k +k 11+2+
+k +k 1+=+，
下证：()()()()2
2
31+2++k +k 11+2+
+k k 1+=++， 事实上，()()()()()()2
2
2
1+2+
+k k 11+2+
+k +21+2+
+k k 1k 1++=+++
()()()()()()()2
2
2
2
2
k k+11+2++k +2
k 1k 11+2++k +k k 1k 12
=+++=+++
()()23
1+2++k +k 1=+
这就是说，当n k 1=+时，等式成立，
由（1）（2）可知，对任意正整数n ，()2
33
31+2+
+n 1+2+
+n =
25．3
5
n a n =+，证明见解析． 【解析】
试题分析：利用递推式直接求2a 、3a 、4a ，猜想数列a n }的通项公式为35
n a n =+（*n N ∈）用数学归纳法证明即可. 试题
a 1＝＝，a 2＝，a 3＝，a 4＝， 猜想a n ＝
，下面用数学归纳法证明：
①当n ＝1时，a 1＝
＝，猜想成立．
②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时猜想成立，即a k ＝.
则当n ＝k ＋1时， a k ＋1＝
＝
＝
，
所以当n ＝k ＋1时猜想也成立， 由①②知，对n ∈N *，a n ＝
都成立．
点睛：本题考查了数列中的归纳法思想，及证明基本步骤，属于基础题；用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：①明确初始值0n 并验证真假；②“假设n k =时命题正确”并写出命题形式；③分析“1n k =+时”命题是什么，并找出与“n k =”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项；④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设. 26．见解析. 【分析】
将代数式()()2
2
22a b +++展开，利用基本不等式()2
222
a b a b ++≥
可证出所证的不等
式. 【详解】
222a b ab +≥，(
)()2
22
2
2
22a b
a
b
ab a b ∴+≥++=+，则()
2
2212
2
a b a b ++≥=
，
()()()2
2
2212522484822
a b a b a b ∴+++=++++≥
++=，
当且仅当
1
2
a b
==时，等号成立，因此，()()
2225
22
2
a b
+++≥.
【点睛】
本题考查利用基本不等式证明不等式，解题的关键就是对基本不等式进行变形，再对所证不等式进行配凑得到，考查计算能力，属于中等题．。