下册作业参考答案

12．7 一宽为b 的无限长均匀带电平面薄板，其电荷密度为ζ，如图所示．试求： （1）平板所在平面内，距薄板边缘为a 处的场强．
（2）通过薄板几何中心的垂直线上与薄板距离为d 处的场强．
[解答]（1）建立坐标系．在平面薄板上取一宽度为d x 的带电直线，电荷的线密度为 d λ = ζd x ，
根据直线带电线的场强公式
02E r
λ
πε=
， 得带电直线在P 点产生的场强为
00d d d 22(/2)
x
E r
b a x λσπεπε=
=
+-，
其方向沿x 轴正向．
由于每条无限长直线在P 点的产生的场强方向相同，所以总场强为
/2
0/2
1
d 2/2b b E x b a x σπε-=
+-⎰ /2
/2
ln(/2)2b b b a x σ
πε--=+-
0ln(1)2b
a
σπε=
+． ① 场强方向沿x 轴正向．
（2）为了便于观察，将薄板旋转建立坐标系．仍然在平面薄板上取一宽度为d x 的带电直线，电荷的线密度仍然为
d λ = ζd x ，
带电直线在Q 点产生的场强为 221/2
00d d d 22()x
E r
b x λ
σπεπε=
=
+，
沿z 轴方向的分量为
221/2
0cos d d d cos 2()z x
E E b x σθθπε==
+， 设x = d tan θ，则d x = d d θ/cos 2θ，因此
d d cos d 2z E E σ
θθπε==
积分得
arctan(/2)
0arctan(/2)
d 2b d z b d E σ
θπε-=
⎰
图13.5
0arctan()2b
d
σπε=
． ② 场强方向沿z 轴正向．
[讨论]（1）薄板单位长度上电荷为
λ = ζb ，
①式的场强可化为
0ln(1/)
2/b a E a b a
λπε+=
，
当b →0时，薄板就变成一根直线，应用罗必塔法则或泰勒展开式，场强公式变为
02E a
λ
πε→
， ③
这正是带电直线的场强公式．
（2）②也可以化为
0arctan(/2)
2/2z b d E d b d
λπε=
，
当b →0时，薄板就变成一根直线，应用罗必塔法则或泰勒展开式，场强公式变为
02z E d
λ
πε→
，
这也是带电直线的场强公式．
当b →∞时，可得
2z E σ
ε→
， ④ 这是无限大带电平面所产生的场强公式．
12．9 面电荷密度为ζ的均匀无限大带电平板，以平板上的一点O 为中心，R 为半径作一半球面，如图所示．求通过此半球面的电通量．
[解答]设想在平板下面补一个半球面，与上面的半球面合成一个球面．球面内包含的电荷为
q = πR 2ζ， 通过球面的电通量为
Φe = q /ε0， 通过半球面的电通量为
Φ`e = Φe /2 = πR 2ζ/2ε0．
图12.9
12．10 两无限长同轴圆柱面，半径分别为R 1和R 2(R 1 > R 2)，带有等量异号电荷，单位长度的电量为λ和-λ，求（1）r < R 1；（2） R 1 < r < R 2；（3）r > R 2处各点的场强．
[解答]由于电荷分布具有轴对称性，所以电场分布也具有轴对称性． （1）在内圆柱面内做一同轴圆柱形高斯面，由于高斯内没有电荷，所以
E = 0，（r < R 1）．
（2）在两个圆柱之间做一长度为l ，半径为r 的同轴圆柱形高斯面，高斯面内包含的电荷为 q = λl ，
穿过高斯面的电通量为
d d 2
e S
S
E S E rl Φπ=⋅==⎰⎰E S Ñ，
根据高斯定理Φe = q /ε0，所以
02E r
λ
πε=
， (R 1 < r < R 2)． （3）在外圆柱面之外做一同轴圆柱形高斯面，由于高斯内电荷的代数和为零，所以
E = 0，（r > R 2）．
12．16 一半径为R 的均匀带电球面，带电量为Q ．若规定该球面上电势值为零，则无
限远处的电势为多少？
[解答]带电球面在外部产生的场强为
2
04Q E r πε=
，
由于 d d R R
R
U U E r ∞
∞
∞-=⋅=⎰⎰
E l
200d 44R
R Q
Q
r r r πεπε∞
∞
-==
⎰
04Q R
πε=
，
当U R = 0时，04Q U R
πε∞=-
．
12．17 电荷Q 均匀地分布在半径为R 的球体内，试证明离球心r （r <R ）处的电势为
223
0(3)
8Q R r U R
πε-=． [证明]球的体积为34
3
V R π=， 电荷的体密度为 3
34Q Q
V R ρπ=
=
．
利用13．10题的方法可求球内外的电场强度大小为
3
0034Q
E r r R
ρεπε=
=，（r ≦R ）； 2
04Q E r
πε=
，（r ≧R ）．
取无穷远处的电势为零，则r 处的电势为
d d d R
r
r
R
U E r E r ∞
∞
=⋅=+⎰⎰⎰E l
3
2
00d d 44R
r
R
Q Q
r r r R r πεπε∞
=+⎰
⎰
2
3
0084R r
R
Q
Q r R r
πεπε∞
-=
+
223
00()84Q Q R r R
R
πεπε=
-+
223
0(3)
8Q R r R
πε-=．
14．3 如图所示的正方形线圈ABCD ，每边长为a ，通有电流I ．求正方形中心O 处的磁感应强度B = ？
[解答]正方形每一边到O 点的距离都是a /2，在O 点产生的磁场大小相等、方向相同．以AD 边为例，利用直线电流的磁场公式：
012(cos cos )4I
B R
μθθπ=
-， 令θ1 = π/4、θ2 = 3π/4、R = a /2，AD 在O 产生的场强为
02AD I
B a
π=
， O 点的磁感应强度为
04AD
I
B B a
π==
， 方向垂直纸面向里．
14．6 在半径为R = 1.0cm 的无限长半圆柱形导体面中均匀地通有电流I =5.0A ，如图所示．求圆柱轴线上任一点的磁感应强度B = ？
[解答]取导体面的横截面，电流方向垂直纸面向外．
半圆的周长为 C = πR ， 电流线密度为 i = I/C = IπR ．
在半圆上取一线元d l = R d φ代表无限长直导线的截面，电流元为 d I = i d l = I d φ/π，
在轴线上产生的磁感应强度为 002d d d 22I I B R R
μμϕππ=
=，
方向与径向垂直．d B 的两个分量为 d B x = d B cos φ，d B y = d B sin φ． 积分得
002200
cos d sin 022x I I
B R R π
π
μμϕϕϕππ===⎰，
02
sin d 2y I
B R π
μϕϕπ=⎰
002
20
(cos )2I
I R
R
π
μμϕππ=
-=
． 由对称性也可知B x = 0，所以磁感应强度
B = B y = 6.4×10-5(T)，
方向沿着y 正向．
14．10 半径为R 的无限长直圆柱导体，通以电流I ，电流在截面上分布不均匀，电流密度δ = kr ，求：导体内磁感应强度？
[解答]在圆柱体内取一半径为r 、宽度为d r 的薄圆环，其面积为 d S = 2πr d r ， 电流元为 d I = δd S = 2πk r 2d r ， 从0到r 积分得薄环包围的电流强度为
I r = 2πkr 3/3； 从0到R 积分得全部电流强度
I = 2πkR 3/3，
因此I r /I = r 3/R 3．
根据安培环路定理可得导体内的磁感应强度
200322r I I
B r r R
μμππ=
=．
14．12 二条长直载流导线与一长方形线圈共面，如图所示．已知a = b = c = 10cm ，l = 10m ，I 1 = I 2 = 100A ，求通过线圈的磁通量．
[解答]电流I 1和I 2在线圈中产生的磁场方向都是垂直纸面向里的，在坐标系中的x 点，它们共同产生的磁感应强度大小为
0102
2(/2)2(/2)
I I B a b x c b x μμππ=+
+++-． 在矩形中取一面积元d S = l d x ，
通过面积元的磁通量为d Φ = B d S = Bl d x ，
图15.13
通过线圈的磁通量为
/2012
/2()d 2/2/2b b l I I x a b x c b x
μΦπ-=++++-⎰ 011(ln ln )2l a b c
I I a c b
μπ+=
-+ =2×10-7×10×100×2ln2=2.77×10-4(Wb)．。