质点动能定理的证明(高中数学基础)

Δ动能定理
质点动能定理的证明（高中数学基础）
如果质点m 在恒力F 作用下做直线运动，质点的位移为s ，则根据牛顿第二定律
ma F =和匀变速直线运动公式as v v 2202=-，可得
2022022
1212mv mv a v v ma Fs W -=-== 式中
2k 2
1mv E =
称为质点的动能，这就是质点动能定理。

对于变力的情形，可以采用以下方法分析：将外力F 分解为两个分量，即切向力
t F （与速度方向平行的分量）和法向力n F （与速度方向垂直的分量）
，根据功的定义，法向力n F 与质点的位移r Δ垂直，因而不做功，因此外力F 的功就等于切向力t F 的功。

为了计算力F 做的功，可以把质点的位移r Δ分成若干小段的位移i r Δ（称为位移微元或元位移，每一段元位移i r Δ的方向可能各不相同），把这些元位移i r Δ近似看做直线，作用在每一段元位移i r Δ上的外力i F 也可以近似看做恒力（类似的，作用在这每一段元位移i r Δ上的外力i F 的方向可能也各不相同），i r Δ与i F 之间的夹角为i θ（当元位移
i r Δ充分小时i r Δ的方向可以认为与速度方向相同）
，根据恒力作用下的质点动能定理，作用在元位移i r Δ上的外力i F 做的功i W Δ（称为功微元或元功）为
212t 2
121Δcos ΔΔ--===i i i i i i i i mv mv r F r F W θ 上式中i i i F F θcos t =为作用在每一段元位移i r Δ上的外力i F 在i r Δ方向上的分力。

为了计算外力F 做的功，把外力F 在每一段元位移i r Δ上的元功i W Δ相加，可得
202121212121212
1Δmv mv mv mv W W n n i i i n i i B A -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==∑∑=-=→ 元位移i r Δ取得越小，以上两式的精确度就越高，如果把元位移i r Δ取得接近于零（也就是i r Δ无限小，即0Δ→i r ），则上式中的功B A W →就是外力F 做的功W 的准确值。

记0v v A =为初速度，n B v v =为末速度，则 222121A B B A mv mv W -=
→ 如果用k ΔE 表示动能的增量，即
222k 212
121ΔΔA B mv mv mv E -=⎪⎭⎫ ⎝⎛= 则前式可以简写为
k ΔE W =
这就是质点动能定理：外力做的功等于质点动能的增量，这样就证明了质点动能定理，这个定理仅适用于惯性系。

对于一维直线运动，质点动能定理表达为
2022
121mv mv W -= 上式中，)(00t v v =，)(t v v =，分别为质点在时刻0t 和t 时的速度；或者)(00x v v =，)(x v v =，分别为质点在位置0x 和x 处的速度。

以上证明方法的思路就是高等数学中微积分的基本思想，即划分-求和-取极限，先对经过的路径（积分路径）进行划分得到路径微元，定出要求的物理量微元（微分），然后把各个物理量微元相加求和（积分），最后令积分路径微元取无限小（取极限），即可得到所要求物理量的准确值。