走向高考_一轮总复习人教A版数学文科5-2概要

KHQHZY课后强化作业
基础巩固强化
1. (文)(2011重庆文)已知向量a = (1, k), b= (2,2),且a+ b与a 共线，那么a b的值为()
A . 1 B. 2 C. 3 D . 4
［答案］D
［解析］T a= (1, k), b= (2,2),
a+ b= (3, k+ 2),
T (a+ b) // a,
•••1(k + 2)= 3k，二k= 1,A a= (1,1),
a b= 2 + 2= 4.
(理)(2012沈阳质检)在厶ABC中，M为边BC上任意一点，N为
AM的中点，AN = 2AB+识C,贝卩+ □的值为（)
1厂1
A.2
B.3
1
C.1
D. 1
［答
案］
A
［解析］本题考查向量的线性运算.据已知N为AM的中点，可
T , T T T T T T
1
得AN= 2AM = :AB+叭C,整理得AM = 2於B + 2吩C，由于点M在直
1
线BC上，故有2 + 2尸1，即卩Z+ = 2.
A
2. (文)(2011蚌埠二中质检)已知点A(-1,0), B(1,3),向量a= (2k
1,2), 若AB丄a,则实数k的值为()
A. - 2
B. - 1
C. 1
D. 2
［答案］B
T T
［解析］AB= (2,3),v AB丄a,
••• 2(2k—1)+ 3X 2= 0,
k=—1，—选B.
(理)(2012 昆明一中检测)已知向量a= (x,1), b= (2,1), c= (1, y), 若a丄(b—c),贝S y—x等于()
A . 2 B. 1 C. 0 D . —1
［答案］B
［解析］T b= (2,1), c= (1,y),「・b—c= (1,1 —y),：a丄(b—c), a= (x,1),「. a (b—c) = x + (1 —y)= 0,二y—x= 1.
3. (2011嘉兴模拟)已知a, b是不共线的向量，AB= Ja + b, AC =a+血，入此R，那么A、B、C三点共线的充要条件为()
A . ?+尸2 B. J—尸1
C.入特一1 D .入右1
［答案］D
［解析］T AB与AC共线，a与b不共线, 二入甘1= 0,故选D.
T T
4. （2012湖北省孝感模拟）在四边形ABCD中，AB = a + 2b, BC =
T
—4a—b, CD = —5a—3b,其中a,b不共线，则四边形ABCD为（
）
A .平行四边形
B .矩形
C.梯形 D .菱形
［答案］C
T T T T T
［解析］T AD = AB+ BC+ CD = —8a—2b= 2BC,
二四边形ABCD为梯形.
5. （2011 山东高考调研）已知平行四边形ABCD，点P为四边形
内部或者边界上任意一点，向量
2
0< y<孑的概率是（）
1
代3
［答案］A
［解析］AP = xAB + yAD，贝厂0< x< 舟, 2
B.2
A1
根据平面向量基本定理，点P只要在如图所示的区域AB i C i D i
12 1
内即可，这个区域的面积是整个四边形面积的2=1,故所求的概
1 率是3.
6.
［答案］
T
BE= BA+ AE= —a+ ?b,
T
AB= a, T AC =
［解析］
T
设CF
= ?CD,
v
E、
D分别为AC、AB的中点,
如图，△ ABC 中，AD = DB, AE= EC, CD 与BE 交于F，设
A
1 n
代2 2丿
f1 1)
C・6, 3丿
片 B C + C F = (b — a ) +4 b )
1 ja + (1— A b ,
1
-T -T 2 A - 1 v BE 与BF 共线，二= ••• AF = AC + CF = b + ^CD = b +|^a — b ) =3+ 如,故 x = 1, y =3.
7. （文）（2011杭州模拟）已知向量
a = (sinx,1),
b = (cosx ,— 3),
［答案］
v a // b ,A 沁二匕,
' cosx — 3
贝y tan a=
［答案］
■ 2 sin a Cos a ••• a // b ,「.N = —y ,
且a II b ，贝卩
tanx = 二 tanx = 1
3.
(理)已知 a = (2,— 3), b = (sina, CoS ", a€ —n ，n ，若 a i b ,
2sin 2
a — 3sin a — 2 =
0,
1—入 2 ，二后3
［解析］
［解析］
2co$ a= — 3sin
a,
''n n 羽 丄
x/3
-2 2cos a= 2，…tan a=- 3 .
8. (文)(2012西安五校第二次联考)梯形ABCD 中，AB //CD , AB
T
T T
=2CD , M , N 分别是 CD , AB 的中点，设 AB = a , AD = b.若MN =
n
m a + n b ,贝 H m =
［答案］
(理)已知e i = (2,1), e 2= (2, — 1),点P 的坐标(x , y)满足方程羊一
T
y 2= 1,若OP =a e 1 + b e 2(a , b € R , O 为坐标原点)，则a 、b 满足的一 个等式是
个^等工是 ______ .
［答案］4ab = 1
T
［解析］因为 e 1 = (2,1), e 2= (2, — 1),所以OP = a® + b e 2= a(2,1) + b(2,- 1)= (2a , a) + (2b ,- b)= (2a + 2b , a -b).
a€ ［解析］
MN = MD + DA + AN
1
4a -
1 1 1
b + 尹=4a -b,二m =4, n
/ n = —1,「
m =- 4
.
因为点P的坐标为(x, y),所以OP = (x, y),
x = 2a + 2b X2
即—•因为x, y满足方程-7 —y2= 1, y = a—b 4
所以2a；2b —(a—b)2= 1,化简可得4ab= 1, 此即为a、b满足的一个等式.
9. （文）（2011北京朝阳区模拟）如图，在△ ABC 中,
T T T BC、AC的中点，F为AB上一点，且AB= 4AF,若AD
则x=
T T
(如图)因为AD = AE+ ED
=AE+1AB=AE + |x 4AF
=AE+ 2AF. D、E分别是T T = xAF + yAE,
［答案］2 1
［解析］
B
所以x= 2, y= 1.
（理）（2011江苏徐州市质检）在厶ABC 中，过中线AD 的中点E 任
T
T T T
作一条直线分别交 AB 、AC 于M 、N 两点，若AM = xAB , AN = yAC , 贝
S 4x + y 的最小值为 ________ .
T
1 T T , 由题意知 AD = 2（AB + AC ）, AE = 2AD ,
T
T
:AM + （1— /）AN （其中 0< 圧1）,
T
T T T
又 AM = xAB , AN = yAC ,
1
令丁 t ，二 t>1, 人
1
1
t
则4x +y =I + 47——!=t + 乔7 （t —1）+4t 11 + 4> 4,
1 T T T
所以 4（AB + AC ）=入 AB + （1 —
9
一
4
-
-
- 因此有『入=1, 解得x 〔4（1—入”=1, =4入， 1 1 y =4 1—入, 如图所示,
又 M , E , N 三点共线, T 所以AE = T
莎
yAC ,
4 t —1 4 4'
3 2
当且仅当t=3,即&2时取得等号.
T T T
10. (文)已知0(0,0)、A(2,—1)、B(1,3)、OP= OA+ tOB，求
(1) t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第四象限？
(2) 四点0、A、B、P能否成为平行四边形的四个顶点，说明你的理由.
T T T
［解析］(1)0P = 0A+ tOB= (t + 2,3t —1).
1
若点P在x轴上，则3t— 1 = 0,二t= 3；
若点P在y轴上，则t+ 2= 0,二t= —2；
2>0 1
若点P在第四象限，则，二一2<t<3.
3t —1<0 3
T T
(2)0A= (2,—1), PB = (—t —1,—3t+ 4).
T T
若四边形0ABP为平行四边形，则0A= PB.
—t—1= 2
•••无解.
—3t+ 4=—1
二四边形0ABP不可能为平行四边形.
同理可知，当t= 1时，四边形0APB为平行四边形，当t =— 1 时，四边形0PAB为平行四边形.
(理)(2011杭州市质检)已知向量a= (1,2), b= (cos a sin",设m =a+1b(t 为实数).
(1)若a= n求当|m|取最小值时实数t的值；
⑵若a丄b,问：是否存在实数t,使得向量a—b和向量m的夹
T
=(AB — BC) (AD + DC)
角为n ，若存在，请求出t ；若不存在，请说明理由.
［解析］（1）Ta= n ■- b=（晋，乎）,ab =322, 二 |m |= ' a +1b 5 + t 2+ 2t a b =\ t 2 + 3 2t + 5=「t + 322 2 +
二当t = — 3^_2时，m i 取到最小值，最小值为~2^.
n a —
b • a +t b
()
由条件得呷4= |a — b ||a + t b |，
T |a — b | = - a — b 2 = 6, |a + t b |= a +1b 2= 5 +12,
(a — b ) (a
+ t b ) = 5—t ,
「烹—+?=¥，且 t <5，
t 2 + 5t — 5 = 0,「.存在 t = 2—•—满足条件.
能力拓展提升
11.（2011湖南十二校第二次联考）平面上有四个互异的
A 、
B 、
T T T T
C 、
D ，满足(AB —BC) (AD — CD) = 0, 则三角形ABC 是（
A .直角三角形
B .等腰三角形
C .等腰直角三角形
D .等边三角形
［答
案］ ［解析］
T T T
(AB — BC) (AD —
T T T T T T
=(AB—BC) AC= (AB —BC) (AB + BC)
=|AB|2—|BC|2= 0,
T T
故|AB|= |BC|,即厶ABC是等腰三角形.
12. (2011青岛模拟)如图，在四边形ABCD中，AB= BC= CD =
T T T
1,且/ B= 90° / BCD = 135° 记向量AB= a, AC= b,则AD =( ) D
A. 2a —(1 + 2 )b
B . —,2a + (1 + 2 ) b
yJ2
C. —, 2a + (1 —2 ) b
D. 2a+ (1—22)b
［答案］B
［解析］
根据题意可得△ ABC 为等腰直角二角形，由/BCD = 135°得/
ACD = 135°— 45°= 90°以B 为原点，AB 所在直线为x 轴，BC 所在 直线为y 轴建立如图所示的直角坐标系，并作DE 丄y 轴于点E ,则厶 CDE
也为等腰直角三角形，由CD = 1,得CE = ED = /,贝S A(1,0),
2 \[5 B(0,0), C(0,1), D (京，1 + R,
T T T
••• AB = (— 1,0), AC = (— 1,1), AD =
T T T 令AD = 2AB+ MAC,
则有
—/—尸21
,
入 =—.2,
得_2
1 +
2 T
AD = —\ ；2a + )b .
(2012江西八校联考)如图所示，设P 、Q
ABC 内的两点，且
AP = 5A B + 1AC , AQ = 2A B + 4壬，则厶ABP 的面积与厶ABQ 的面积
［分析］因三角形的面积与底和高有关，所以可利用 “同底三角 形面积比等于高之比”的结论计算待求三角形的面积比.题设条件中 用AB 和AC 给出了点P 和点Q,故可利用AP 和AQ 构造平行四边形将面 积比转化为向量长度的比解决.
［解析］根据题意，设AM = 5AB , AN = 5A C ,则由平行四边形法
T T T
则，得AP = AM + AN ,且四边形AMPN 为平行四边形，于是NP// AB ,
T
所以生=缪=£,同理，可得S ABQ =4•故S
5■
S ^ ABC T 5 SA ABC 4 S ^ABQ 5
|AC|
14. 设△ ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ,已知c sinA , 2 L n = (1, sinA +V3cosA),且 m 与 n 共线. (1)
求角A 的大小;
S^ ABQ
1 S ^ABP 4
=—w
=—
=2b ,向量m =
⑵求a 的值.
3
(
［解析］(1)T m II n , • sinA(sinA +羽cosA)-2= 0,即 sin 2A -訂
T A € (0, n, • 2A -才 n n " n
•2A -6=A =3.
⑵由余弦定理及c = 2b 、A=d 得,
a 2 = 3
c 2 • ◎—心 a = 4c ，…c = 2 .
15. 已知圆 C : (x -3)2 + (y — 3)2= 4 及定点 A(1,1), M 为圆 C 上 任意一点，点N 在MA 的延长线上，且MA = 2AN ,求动点N 的轨迹 方程.
T
T
［解析］设 N(x , y), M(x o , y o ),则由 MA = 2AN 得，
(1 -x o,1 -y o ) = 2(x - 1, y - 1), 1 — x o = 2x - 2, x o = 3 — 2x ,
•
即 J — y °=2y - 2,
y°= 3 - 2y .
代入(x -3)2 + (y -3)2 = 4,得 x 2 + y 2 = 1. 16. 设a 、b 是不共线的两个非零向量，
T
T T
(1)若OA = 2a -b , OB = 3a + b , OC = a -3b ,求证：A 、B 、C 三
点共线；
=1.
a 2 =
0< c c c.2 2
⑵若8a+ k b与k a+ 2b共线，求实数k的值;
1.
a S • x = m , y = n ,
...卫+匹 (3)设OM = m a , ON = n b , OP = oa +旳，其中
实数，m z 0, n ^O ,若M 、P 、N 三点共线，求证：當+1. T T
［解析］(1) T AB = (3a + b ) — (2a — b )= a + 2b.而 BC = (a — 3b )—
T
(3a + b )= — 2a —4b = — 2AB ,
T T
••• AB 与BC 共线，且有公共端点B ,「. A 、B 、C 三点共线. (2) T 8a + k b 与k a + 2b 共线，二存在实数 入使得 (8a + k b ) = X k a + 2b )? (8 —入)k + (k — 2；)b = 0,
8—入归0,
T a 与b 不共线，二
? 8= 2；?匸翌，
Ik — 2；= 0.
k = 2 =域
T
T
⑶证法1: T M 、P 、N 三点共线，•••存在实数 入使得MP = FN ,
T T T
OM + QN
m 入n /. OP =
= a + b
1+入 1+ ；+ 1 + ；
T a 、b 不共线，
T
T T
证法 2：T M 、P 、N 三点共线，••• OP = xOM + yON 且 x + y = 1,
由已知可得：xm a +yn b = oa + ［Eb ,
m 、n 、a B 均为
a
= 1+ ；
入n B
= 1+ 入
卫+龟丄+丄=1 m n 1 +入1 +入
备选题库
1. (2012江西七校联考)已知两不共线向量 a = (cos a, sin", b =(cos3 sin3，则下列说法不正确的是()
A . (a+ b)丄(a—b)
B . a与b的夹角等于a— (3
C. |a + b| + |a—q>2
D. a与b在a+ b方向上的投影相等
［答案］B
［解析］注意到|a|= |b|= 1,因此(a+ b) (• a—b)= a2—b2=0,所以(a+ b)丄(a—b);注意到a— 3未必属于(0, n,因此a, b的夹角未必
等于
a— 3由三角形法则可知，|a+ b|；a一^ >1,于是有|a+b|+ |a —b|>2;结合三角形法则及一个向量在另一个向量上的投影的意义可知，a，b在a+ b方向上的投影相等.综上所述，其中不正确的说法是B，选B.
2. (2011深圳模拟)在平面直角坐标系中，O为原点，设向量OA =a, OB= b,其中a= (3,1), b= (1,3).若OC=后+ 小,且0W 疋尺1, C点的所有可能位置区域用阴影表示正确的是()
B
A
C D
［答案］A
［解析］OC=后+ ^b= (3 H ［i,3山，
令0C= (x, y),则x—y= (3 + 1 —( + 3 1
=2(入—1 < 0,
•••点C对应区域在直线y = x的上方，故选A.
3. (2012北京文)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边
T T T T
上的动点，贝S DE CB的值为______ , DE DC的最大值为 ________ .
［答案］1 1
［解析］本题考查平面向量的数量积，建立平面直角坐标系如
T T
图，则B(1,0), C(1,1), D(0,1),设E(X o,O),则CB= (0, —1), DC = (1,0), T
DE = (x°, —1),
二 DE CB =(X 。

，一 1)(0,— 1)= 1,
T T
「• DE DC = x 0,而 0W x 0< 1,
T T
••• DE DC 的最大值为1.
［点评］将问题转化为坐标运算使问题迎刃而解.
4 .已知G 是厶ABC 的重心，直线EF 过点G 且与边AB 、AC 分 T T T
T
F , AE = a AB , AF =供C ,
［答案］3
T
［解析］连结AG 并延长交BC 于D ，•/ G 是厶ABC 的重心，二AG —T —T
—T
—T
1
=3(AB + AC),设 EG = X 3F ,
T T
T T T
AG —AE = ?(AF — AG)，二 AG =
丄丄,
a 1 + +
1_ 3 + 厂1 + +
别交于点E 、
入B 1 1+厂 3,
3.
1
1+厂3,
5. (2011衡阳期末)平面内给定三个向量a= (3,2), b= (—1,2), c =(4,1),请解答下列问题：
(1) 求满足a= m b+ n c的实数m、n;
(2) 若(a+ k c)// (2b—a)，求实数k；
(3) 若d 满足(d —c) / (a + b)，且|d—©= 5,求d.
［解析］(1)由题意得(3,2) = m(- 1,2) + n(4,1),
⑵a + k c = (3 + 4k,2 + k), 2b -a = (— 5,2),
v (a + k c ) //(2b — a ),
⑶设 d = (x , y),则 d — c = (x — 4, y — 1), a + b = (2,4), 4 x — 4 — 2 y — 1 = 0 x — 42 + y — 1 2 = 5
［x = 3 x = 5 解得 或 ，二 d = (3,— 1)或 d = (5,3).
I y =— 1 ly = 3 6. 若a , b 是两个不共线的向量，a 与b 起点相同，则当t 为何
1
值时，a , t b, 3（a + b ）三向量的终点在同一条直线上？
T T T
AB = OB — OA = t b — a .
T
T
要使A 、B 、C 三点共线，只需AC =於B.
‘一
5 m =9, n
=
8 9.
••• 2X (3+ 4k) — (— 5) x (2 + k)=
,
k = —
16
13.
由题意得 ［解
析］
设 0A = a ,
OB = t b , O C =i(a + b ),
T T T
AC = OC — OA = 2 1
-3a +3b
，
即—尹+ 3b=入b— 2a.
=-入
二有1
1
•••当t=1时，三向量终点在同一直线上.。