高二数学教案：空间向量及其加减与数乘运算1

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空间向量及其运算（1）
一、课题：空间向量及其运算（1）
二、教学目标：1．理解空间向量的有关概念；
2．掌握空间向量的运算法则，并能进行加减和数乘运算．
三、教学重、难点：空间向量的有关概念；空间向量的运算． 四、教学过程：
（一）复习：平面向量的有关概念及表示方法． （二）新课讲解：
1．空间向量的有关概念：在空间，具有大小和方向的量叫做向量。

2．空间向量的表示方法：用有向线段表示，且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．
3．空间向量的加法与减法及数乘运算：（和平面向量的相关运算类似） OB a b =+u u u r r r ，AB OB OA =-u u u r u u u r u u u r ，(
OP a λλ=u u u r r
4．运算法则：
（1）加法交换律：a b b a +=+r r r r
（2）加法结合律：()()a b c a b c ++=++r r r r r
r （3）数乘分配律：()a b a b λλλ+=+r r r r 5．平行六面体：
平行四边形按非零向量a r
平移到A B C D ''''的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，记作ABCD A B C D ''''-，它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱． （三）例题分析：
例1．已知平行六面体ABCD A B C D ''''-，化简下列向量的表达式，并标出化简结果的向量：
（1）AB BC +u u u r u u u r ；（2）AB AD AA '++u u u r u u u r u u u r ；
（3）12AB AD CC '++u u u r u u u r u u u u r ；（4）1()3
AB AD AA '++u u u r u u u r u u u r ．
解：如图，
（1）AB BC AC +=u u u r u u u r u u u r
；
（2）AB AD AA '++u u u r u u u r u u u r AC AA '=+u u u
r u u u r AC '=u u u u r ；
（3）设M 是CC '的中点，
a r
b
r a r B
C
D A'B'
C'D'
M
G A
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则12
AB AD CC AC CM AM '++
=+=u u u r u u u r
u u u
u r u u u r u u u u r u u u u r ； （4）设G 是线段AC '的三等份点（靠近点A ），则11()33
AB AD AA AC AG ''++==u u u
r u u u r u u u r u u u r ．
例2．已知空间四边形ABCD ，连结,AC BD ，设,M G 分别是,BC CD 的中点，化简下列各
表达式，并标出化简结果向量：
（1）AB BC CD ++u u u r u u u r u u u r ； （2）1()2AB BD BC ++u u u r u u u r u u u r ； （3）1()2
AG AB AC -+u u u r u u u r u u u r
．
解：如图，
（1）AB BC CD AC CD AD ++=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
；
（2）111()222AB BD BC AB BC BD ++=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
AB BM MG AG =++=u u u r u u u u r u u u u r u u u r ； （3）1()2
AG AB AC AG AM MG -+=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u u r ．
五、课堂练习：课本第28页练习第2题．
六、课堂小结：1．空间向量的相关的概念及空间向量的表示方法；
2．平行六面体的概念；
3．向量加法、减法和数乘运算．
七、作业： 补充：
1．如图，在空间四边形ABCD 中，,E F 分别是AD 与BC 的中点，
求证：1()2
EF AB DC =+u u u r u u u r u u u r ． 2．已知2334x y a b c +=-++r r r r r ，385x y a b c --=-+r r r r r ，把向量,x y r r
用向量,,a b c r r r 表示．
3．如图，在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，设AB a =u u u r r ，,AD b AA c '==u u u r u u u r r r
，,E F 分别是
,AD BD '中点，
（1）用向量,,a b c r r r
表示,D B EF 'u u u u r u u u r ；
（2）化简：2AB BB BC C D D E ''''++++u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u u r
；
B
C
D
M
G
A
B
C D
E
F
A
A'B
B'
C
C'
D
D'
E
F
A
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