戴维宁等效电路讲解学习
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u ? (6 ? 12)? (i ? 3i) ? (? 8? )i 6 ? 12
Ro
?
u i
?
? 8?
例4－8 已知r =2? ，试求该单口的戴维宁等效电路。
图4－11
解：在图上标出uoc的参考方向。先求受控源控制变量i1
i1
?
10V 5?
?
2A
求得开路电压
uoc ? ri1 ? 2? ? 2A ? 4V
在单口网络端口上外加电流源 i ,根据叠加定理，端口 电压可以分为两部分组成。一部分由电流源单独作用 (单口 内全部独立电源置零 )产生的电压u' =Roi [图(b)]，另一部分 是外加电流源置零 (i=0)，即单口网络开路时，由单口网络 内部全部独立电源共同作用产生的电压 u”=uoc [图(c)]。由 此得到
先将图中虚线部分用一个2k? 电阻来模拟(当2.8k? 电
位器的滑动端位于最上端时，它是10k? 和2.5k? 电阻的并
联)。图(b)是该电表的电路模型，可进一步简化为图(c)所
示的电路。由此求得电表外接电阻 Rx时的电流：
I
?
US Ro ? Rx
?
Ro Ro ? Rx
?U S Ro
?1 1? Rx
以求得电阻Ro分别为25? ，250? ，2500? ，25k? 左右，相 应的满偏转电流Imax 分别为50mA，5mA，0.5mA和 50? A(设US=1.25V)。若电池的实际电压US大于1.25V，则 可调整2.8k? 电位器的滑动端来改变Imax ，使指针停留在0? 处(称为电阻调零)。
令 I=2A，求得Rx=3? 。此时电压U 为
U ? Ro1I ? U oc1 ? (?1? ) ? 2A ? 5V ? ?7V
或 U ? (Rx ? Ro2 )I ? U oc2 ? ? (3 ? 2) ? 2V ? 3V ? ?7V
§4－6 戴维南定理
由第二章已经知道，含独立电源的线性电阻单 口网络，可以等效为一个电压源和电阻串联单口 网络，或一个电流源和电阻并联单口网络。本章 介绍的戴维宁定理和诺顿定理提供了求含源单口 网络两种等效电路的一般方法，对简化电路的分 析和计算十分有用。这两个定理是本章学习的重 点。本节先介绍戴维南定理。
?
(1?
)?
gU oc1
?
2 2?
2
?
20V
?
3U oc1
? 10V
解得
U oc1
?
? 10V 2
?
? 5V
为求 Ro1，将20V电压源用短路代替，得到图(d)电路， 再用外加电流源I计算电压U的方法求得Ro1。列出KVL 方程
U ? (1? )? (gU ? I ) ? ?? 2? 2 ? ??? I ? 3U ? (2? )I ?2? 2 ?
例4－12 电路如图4-16(a)所示，其中g=3S。试求Rx为何值 时电流I=2A，此时电压U为何值?
图4－16
解：为分析方便，可将虚线所示的两个单口网络 N1和 N2 分别用戴维宁等效电路代替，到图 (b) 电路。单口 N1 的开路电压Uoc1可从图(c)电路中求得，列出KVL 方程
U oc1
图4－9
将单口网络内的2A电流源和 4e??t 电流源分别用开路
代替，10V电压源用短路代替，得到图(b)电路，由此求得 戴维宁等效电阻为
Ro ? 10? ? 5? ? 15?
根据所设uoc的参考方向，得到图(c)所示戴维宁等效电 路。其uoc和Ro值如上两式所示。
例4－7 求图4-10(a)单口网络的戴维宁等效电路。
注：网络内含有受控源等双口耦合元件时，应将两条支路 放在同一单口网络内。
例4－9 求图4-13(a)所示电桥电路中电阻RL的电流i 。
图4－13
解：断开负载电阻RL，得到图(b)电路，用分压公式求得
u oc
?
????
R1
R2 ? R2
?
R4 R3 ? R4
????u S
(4 ? 5)
图4－13
将独立电压源用短路代替，得到图(c)电路，由此求得
常用Ro表示；当单口网络视为负载时，则称之为输入电阻， 并常用Ri表示。电压源uoc和电阻Ro的串联单口网络，称为 戴维宁等效电路。
当单口网络的端口电压和电流采用关联参考方向时， 其端口电压电流关系方程可表为
u ? Roi ? uoc (4 ? 4)
戴维宁定理可以在单口外加电流源i，用叠加定理计算 端口电压表达式的方法证明如下。
下面举例说明。
例4－5 求图4-8(a)所示单口网络的戴维宁等效电路。
图4－8
解：在单口网络的端口上标明开路电压u
的参考方向，
oc
注意到i=0，可求得
uoc ? ?1V ? (2? ) ? 2A ? 3V
图4－8
将单口网络内1V电压源用短路代替，2A电流源用开路 代替，得到图(b)电路，由此求得
件下，可使电阻 RL中电流i为零的问题，只需令式 (4－7)分
子为零，即
u oc
?
R2 R1 ? R2
?
R4 R3 ? R4
?
0
由此求得
R1R4 ? R2 R3
(4 ? 8)
这就是常用的电桥平衡(i=0)的公式。根据此式可从已
知三个电阻值的条件下求得第四个未知电阻之值。
例4－10 图4-14(a)是MF —30型万用电表测量电阻的电原 理图。试用戴维宁定理求电表测量电阻时的电流I。
解得
Ro1
?
U I
?
? 1?
再由图(e)电路求出单口 N2的开路电压Uoc2和输出电阻 Ro2
U oc2
?
3
3 ?
6
?
3V
+
?? 3? ?3+
6 6
?
??? 1A ?
= 3V
Ro2
?
3? 6 ? 3? 6
?
2?Biblioteka 最后从图(b)电路求得电流I 的表达式为
I ? U oc2 ? U oc1 ? 3V ? (? 5V) ? 8V Ro1 ? Ro2 ? Rx ? 1? ? 2? ? Rx 1? ? Rx
戴维宁定理：含独立电源的线性电阻单口网络N，就端 口特性而言，可以等效为一个电压源和电阻串联的单口网络 [图(a)] 。电压源的电压等于单口网络在负载开路时的电压uoc； 电阻Ro是单口网络内全部独立电源为零值时所得单口网络No 的等效电阻 [图(b)]。
图4－6
uoc 称为开路电压。Ro称为戴维宁等效电阻。在电子 电路中，当单口网络视为电源时，常称此电阻为输出电阻，
例4－11 求图4-15(a)电路中电流I1和I2。
图4－15
解：图 (a) 是一个非线性电阻电路，但去掉两个理想二极管
支路后的图 (b)电路是一个含源线性电阻单口网络，可
用戴维宁等效电路代替。由图(b) 求得开路电压
U oc
?
6 3? 6
? 9V ?
5V ?
?2?
?? (4A)
?
3V
由图(c)求得等效电阻
Ro ? 1? ? 2? ? 3? ? 6?
根据uoc的参考方向，即可画出戴维宁等效电路，如图 (c)所示。
例4－6 求图4-9(a)所示单口网络的戴维宁等效电路。
图4－9
解；标出单口网络开路电压uoc的参考方向，用叠加定理求
得u
为
oc
u oc ? (10 ? ) ? 2 A ? 10 V ? (15 ? ) ? 4e ?? t A ? (30 ? 60e ?? t )V
图4－11
将10V电压源用短路代替，保留受控源，得到图 (b)电 路 。 由 于 5? 电 阻 被 短 路 ， 其 电 流 i1=0 ， 致 使 端 口 电 压 u=(2? )i1=0，与i为何值无关。由此求得
Ro
?
u i
?
0 i
?
0
这表明该单口等效为一个4V电压源，如图(c)所示。
戴维宁定理在电路分析中得到广泛应用。当只对电路 中某一条支路或几条支路(记为NL)的电压电流感兴趣时， 可以将电路分解为两个单口网络NL与N1的连接，如图(a)所 示。用戴维宁等效电路代替更复杂的含源单口N1，不会影 响单口NL(不必是线性的或电阻性的)中的电压和电流。代 替后的电路[图(b)] 规模减小，使电路的分析和计算变得更 加简单。
?I max
Ro
式中Imax =US/Ro是电表短路(Rx=0)时指针满偏转的电流。
上式表明，当被测电阻Rx 由? 变化到0时，相应的电流 I则从0变化到Imax ；当被测电阻与电表内阻相等(Rx=Ro)时， I=0.5Imax ，即指针偏转一半，停留在电表刻度的中间位置， 当开关处于R? 1，R? 10，R? 100，R? 1k 的不同位置时，可
Ro
?
????
R1R2 R1 ? R2
?
R3R4 R3 ? R4
????
(4 ? 6)
用戴维宁等效电路代替单口网络，得到图(d) 电路，由
此求得
i ? uoc Ro ? RL
(4 ? 7)
从用戴维宁定理方法求解得到的图 (d)电路和式 (4－7)
中，还可以得出一些用其它网络分析方法难以得出的有用
结论。例如要分析电桥电路的几个电阻参数在满足什么条
图4－14
解：万用电表可用来测量二端器件的直流电阻值。将被测 电阻接于电表两端，其电阻值可根据电表指针偏转的 角度，从电表的电阻刻度上直接读出。为了便于测量 不同的电阻，其量程常分为R?1, R?10, R?100, R?1k等 档，用开关进行转换。
图(a)是一个含源线性电阻单口网络，可用戴维宁定理 来简化电路分析。
u ? u ' ? u ? Ro i ? u oc
u ? u ' ? u ? Ro i ? u oc
此式与式(4－4)完全相同，这就证明了含源线性电阻 单口网络，在端口外加电流源存在惟一解的条件下，可以 等效为一个电压源uoc和电阻Ro串联的单口网络。
只要分别计算出单口网络N的开路电压uoc和单口网络 内全部独立电源置零(独立电压源用短路代替及独立电流源 用开路代替)时单口网络No的等效电阻Ro，就可得到单口网 络的戴维宁等效电路。
图4－10
解：uoc的参考方向如图(b)所示。由于i=0，使得受控电流
源的电流3i=0，相当于开路，用分压公式可求得uoc为
uoc
?
12 12 ?
6
? 18V
?
12V
图4－10
为求Ro，将18V独立电压源用短路代替，保留受控源， 在 a、b端口外加电流源i，得到图(c)电路。通过计算端口
电压u的表达式可求得电阻Ro
Ro
?
3? 6 ? 3? 6
? 4?
? 2?
? 8?
用3V电压源与8? 电阻的串联代替图(b)所示单口网络，
得到图(d)所示等效电路。由于理想二极管D2是反向偏置， 相当于开路，即I2=0，理想二极管D1是正向偏置，相当于 短路，得到图(e)所示等效电路。由图(e)求得
I1
?
3 8? 7
A
?
0.2A
Ro
?
u i
?
? 8?
例4－8 已知r =2? ，试求该单口的戴维宁等效电路。
图4－11
解：在图上标出uoc的参考方向。先求受控源控制变量i1
i1
?
10V 5?
?
2A
求得开路电压
uoc ? ri1 ? 2? ? 2A ? 4V
在单口网络端口上外加电流源 i ,根据叠加定理，端口 电压可以分为两部分组成。一部分由电流源单独作用 (单口 内全部独立电源置零 )产生的电压u' =Roi [图(b)]，另一部分 是外加电流源置零 (i=0)，即单口网络开路时，由单口网络 内部全部独立电源共同作用产生的电压 u”=uoc [图(c)]。由 此得到
先将图中虚线部分用一个2k? 电阻来模拟(当2.8k? 电
位器的滑动端位于最上端时，它是10k? 和2.5k? 电阻的并
联)。图(b)是该电表的电路模型，可进一步简化为图(c)所
示的电路。由此求得电表外接电阻 Rx时的电流：
I
?
US Ro ? Rx
?
Ro Ro ? Rx
?U S Ro
?1 1? Rx
以求得电阻Ro分别为25? ，250? ，2500? ，25k? 左右，相 应的满偏转电流Imax 分别为50mA，5mA，0.5mA和 50? A(设US=1.25V)。若电池的实际电压US大于1.25V，则 可调整2.8k? 电位器的滑动端来改变Imax ，使指针停留在0? 处(称为电阻调零)。
令 I=2A，求得Rx=3? 。此时电压U 为
U ? Ro1I ? U oc1 ? (?1? ) ? 2A ? 5V ? ?7V
或 U ? (Rx ? Ro2 )I ? U oc2 ? ? (3 ? 2) ? 2V ? 3V ? ?7V
§4－6 戴维南定理
由第二章已经知道，含独立电源的线性电阻单 口网络，可以等效为一个电压源和电阻串联单口 网络，或一个电流源和电阻并联单口网络。本章 介绍的戴维宁定理和诺顿定理提供了求含源单口 网络两种等效电路的一般方法，对简化电路的分 析和计算十分有用。这两个定理是本章学习的重 点。本节先介绍戴维南定理。
?
(1?
)?
gU oc1
?
2 2?
2
?
20V
?
3U oc1
? 10V
解得
U oc1
?
? 10V 2
?
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为求 Ro1，将20V电压源用短路代替，得到图(d)电路， 再用外加电流源I计算电压U的方法求得Ro1。列出KVL 方程
U ? (1? )? (gU ? I ) ? ?? 2? 2 ? ??? I ? 3U ? (2? )I ?2? 2 ?
例4－12 电路如图4-16(a)所示，其中g=3S。试求Rx为何值 时电流I=2A，此时电压U为何值?
图4－16
解：为分析方便，可将虚线所示的两个单口网络 N1和 N2 分别用戴维宁等效电路代替，到图 (b) 电路。单口 N1 的开路电压Uoc1可从图(c)电路中求得，列出KVL 方程
U oc1
图4－9
将单口网络内的2A电流源和 4e??t 电流源分别用开路
代替，10V电压源用短路代替，得到图(b)电路，由此求得 戴维宁等效电阻为
Ro ? 10? ? 5? ? 15?
根据所设uoc的参考方向，得到图(c)所示戴维宁等效电 路。其uoc和Ro值如上两式所示。
例4－7 求图4-10(a)单口网络的戴维宁等效电路。
注：网络内含有受控源等双口耦合元件时，应将两条支路 放在同一单口网络内。
例4－9 求图4-13(a)所示电桥电路中电阻RL的电流i 。
图4－13
解：断开负载电阻RL，得到图(b)电路，用分压公式求得
u oc
?
????
R1
R2 ? R2
?
R4 R3 ? R4
????u S
(4 ? 5)
图4－13
将独立电压源用短路代替，得到图(c)电路，由此求得
常用Ro表示；当单口网络视为负载时，则称之为输入电阻， 并常用Ri表示。电压源uoc和电阻Ro的串联单口网络，称为 戴维宁等效电路。
当单口网络的端口电压和电流采用关联参考方向时， 其端口电压电流关系方程可表为
u ? Roi ? uoc (4 ? 4)
戴维宁定理可以在单口外加电流源i，用叠加定理计算 端口电压表达式的方法证明如下。
下面举例说明。
例4－5 求图4-8(a)所示单口网络的戴维宁等效电路。
图4－8
解：在单口网络的端口上标明开路电压u
的参考方向，
oc
注意到i=0，可求得
uoc ? ?1V ? (2? ) ? 2A ? 3V
图4－8
将单口网络内1V电压源用短路代替，2A电流源用开路 代替，得到图(b)电路，由此求得
件下，可使电阻 RL中电流i为零的问题，只需令式 (4－7)分
子为零，即
u oc
?
R2 R1 ? R2
?
R4 R3 ? R4
?
0
由此求得
R1R4 ? R2 R3
(4 ? 8)
这就是常用的电桥平衡(i=0)的公式。根据此式可从已
知三个电阻值的条件下求得第四个未知电阻之值。
例4－10 图4-14(a)是MF —30型万用电表测量电阻的电原 理图。试用戴维宁定理求电表测量电阻时的电流I。
解得
Ro1
?
U I
?
? 1?
再由图(e)电路求出单口 N2的开路电压Uoc2和输出电阻 Ro2
U oc2
?
3
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6
?
3V
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?
??? 1A ?
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2?Biblioteka 最后从图(b)电路求得电流I 的表达式为
I ? U oc2 ? U oc1 ? 3V ? (? 5V) ? 8V Ro1 ? Ro2 ? Rx ? 1? ? 2? ? Rx 1? ? Rx
戴维宁定理：含独立电源的线性电阻单口网络N，就端 口特性而言，可以等效为一个电压源和电阻串联的单口网络 [图(a)] 。电压源的电压等于单口网络在负载开路时的电压uoc； 电阻Ro是单口网络内全部独立电源为零值时所得单口网络No 的等效电阻 [图(b)]。
图4－6
uoc 称为开路电压。Ro称为戴维宁等效电阻。在电子 电路中，当单口网络视为电源时，常称此电阻为输出电阻，
例4－11 求图4-15(a)电路中电流I1和I2。
图4－15
解：图 (a) 是一个非线性电阻电路，但去掉两个理想二极管
支路后的图 (b)电路是一个含源线性电阻单口网络，可
用戴维宁等效电路代替。由图(b) 求得开路电压
U oc
?
6 3? 6
? 9V ?
5V ?
?2?
?? (4A)
?
3V
由图(c)求得等效电阻
Ro ? 1? ? 2? ? 3? ? 6?
根据uoc的参考方向，即可画出戴维宁等效电路，如图 (c)所示。
例4－6 求图4-9(a)所示单口网络的戴维宁等效电路。
图4－9
解；标出单口网络开路电压uoc的参考方向，用叠加定理求
得u
为
oc
u oc ? (10 ? ) ? 2 A ? 10 V ? (15 ? ) ? 4e ?? t A ? (30 ? 60e ?? t )V
图4－11
将10V电压源用短路代替，保留受控源，得到图 (b)电 路 。 由 于 5? 电 阻 被 短 路 ， 其 电 流 i1=0 ， 致 使 端 口 电 压 u=(2? )i1=0，与i为何值无关。由此求得
Ro
?
u i
?
0 i
?
0
这表明该单口等效为一个4V电压源，如图(c)所示。
戴维宁定理在电路分析中得到广泛应用。当只对电路 中某一条支路或几条支路(记为NL)的电压电流感兴趣时， 可以将电路分解为两个单口网络NL与N1的连接，如图(a)所 示。用戴维宁等效电路代替更复杂的含源单口N1，不会影 响单口NL(不必是线性的或电阻性的)中的电压和电流。代 替后的电路[图(b)] 规模减小，使电路的分析和计算变得更 加简单。
?I max
Ro
式中Imax =US/Ro是电表短路(Rx=0)时指针满偏转的电流。
上式表明，当被测电阻Rx 由? 变化到0时，相应的电流 I则从0变化到Imax ；当被测电阻与电表内阻相等(Rx=Ro)时， I=0.5Imax ，即指针偏转一半，停留在电表刻度的中间位置， 当开关处于R? 1，R? 10，R? 100，R? 1k 的不同位置时，可
Ro
?
????
R1R2 R1 ? R2
?
R3R4 R3 ? R4
????
(4 ? 6)
用戴维宁等效电路代替单口网络，得到图(d) 电路，由
此求得
i ? uoc Ro ? RL
(4 ? 7)
从用戴维宁定理方法求解得到的图 (d)电路和式 (4－7)
中，还可以得出一些用其它网络分析方法难以得出的有用
结论。例如要分析电桥电路的几个电阻参数在满足什么条
图4－14
解：万用电表可用来测量二端器件的直流电阻值。将被测 电阻接于电表两端，其电阻值可根据电表指针偏转的 角度，从电表的电阻刻度上直接读出。为了便于测量 不同的电阻，其量程常分为R?1, R?10, R?100, R?1k等 档，用开关进行转换。
图(a)是一个含源线性电阻单口网络，可用戴维宁定理 来简化电路分析。
u ? u ' ? u ? Ro i ? u oc
u ? u ' ? u ? Ro i ? u oc
此式与式(4－4)完全相同，这就证明了含源线性电阻 单口网络，在端口外加电流源存在惟一解的条件下，可以 等效为一个电压源uoc和电阻Ro串联的单口网络。
只要分别计算出单口网络N的开路电压uoc和单口网络 内全部独立电源置零(独立电压源用短路代替及独立电流源 用开路代替)时单口网络No的等效电阻Ro，就可得到单口网 络的戴维宁等效电路。
图4－10
解：uoc的参考方向如图(b)所示。由于i=0，使得受控电流
源的电流3i=0，相当于开路，用分压公式可求得uoc为
uoc
?
12 12 ?
6
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12V
图4－10
为求Ro，将18V独立电压源用短路代替，保留受控源， 在 a、b端口外加电流源i，得到图(c)电路。通过计算端口
电压u的表达式可求得电阻Ro
Ro
?
3? 6 ? 3? 6
? 4?
? 2?
? 8?
用3V电压源与8? 电阻的串联代替图(b)所示单口网络，
得到图(d)所示等效电路。由于理想二极管D2是反向偏置， 相当于开路，即I2=0，理想二极管D1是正向偏置，相当于 短路，得到图(e)所示等效电路。由图(e)求得
I1
?
3 8? 7
A
?
0.2A