天津市2020〖西师大版〗高三数学复习试卷专题五解析几何解答题

天津市2020年〖西师大版〗高三数学复习试卷专题五解析几
何解答题 创作人：百里代表 创作日期：202X.04.01 审核人： 北堂会通 创作单位： 博恒中英学校
例1已知椭圆C ：2224x y +=.
（1）求椭圆C 的离心率；
（2）设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥，试判断直线AB 与圆222x y +=的位置关系，并证明你的结论.
2、利用弦长公式求解直线与圆锥曲线的弦长问题 当直线(斜率为k )与圆锥曲线交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)时，则|AB |＝21k +·|x 1－x 2|＝211k +
|y 1－y 2|，而|x 1－x 2|＝221214x x x x +-（），可根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方
程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后再进行整体代入求解．
例2已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，其中12,F F 为左、右焦点，且离心率3e =l 与椭圆交于两不同点()()1122,,,P x y Q x y .当直线l 过椭圆C 右焦点F 2且倾斜角为4
π时，原点O 到直线l 的距离为2. （1）求椭圆C 的方程；
（2）若OP OQ ON +=，当OPQ ∆面积为
62
时，求||||ON OP ⋅的最大值. 3、利用点差法求解圆锥曲线问题 点差法是一种常见的设而不求的方法，在解答平面解析几何的某些问题时，合理的运用点差法，可以有效减少解题的运算量，达到优化解题过程的目的。

点差法的基本过程为：设点、代入、作差、整理代换。

例3 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>与直线:()l x m m R =∈,四点
)0,22(),1,3(--，)1,3(-，（ ）3,3--中有三个点在椭圆C 上，剩余一个点在直线l 上． (I)求椭圆C 的方程；
(Ⅱ)若动点P 在直线l 上，过P 作直线交椭圆C 于M ，N 两点，使得PM PN =，再过P 作直线'l MN ⊥.证明直线'l 恒过定点，并求出该定点的坐标．
【练一练提升能力】
1. 如图，曲线C 由上半椭圆22
122:1(0,0)y x C a b y a b
+=>>≥和部分抛物线22:1(0)C y x y =-+≤
连接而成，12,C C 的公共点为,A B ，其中1C 的离心率为
2. （1）求,a b 的值；
（2）过点B 的直线l 与12,C C 分别交于,P Q （均异于点,A B ），若AP AQ ⊥，求直线l 的方程.
2.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有||||FA FD =.当点A 的横坐标为3时，ADF ∆为正三角形. （Ⅰ）求C 的方程；
（Ⅱ）若直线1//l l ，且1l 和C 有且只有一个公共点E ，
（ⅰ）证明直线AE 过定点，并求出定点坐标；
（ⅱ）ABE ∆的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.
3. 圆22
4x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P
（如图），双曲线22
122:1x y C a b
-=过点P （1）求1C 的方程；
（2）椭圆2C 过点P 且与1C 有相同的焦点，直线l 过2C 的右焦点且与2C 交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆心过点P ，求l 的方程.
轨迹与轨迹方程
【背一背重点知识】
1.曲线与方程的概念：
在直角坐标系中，如果某曲线C （看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。

那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。

2.求轨迹方程的基本步骤：（1）建系设点：建立适当的坐标系，用有序实数对（x,y ）表示曲线上任意一点M 的坐标；（2）列出关于动点的几何等量关系是：写出适合条件的p （M ）的集合P={M|p(M)}；（3）坐标化:用坐标表示条件p(M)，列出方程F(x,y)=0；（4）化简：化方程f(x,y)=0为最简形式；（5）检验：说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上，同时检验前后化简的等价性。

3. 求轨迹方程的基本方法：直接法、相关点法、定义法、参数法、交轨法等。

【讲一讲提高技能】
1、直接法求轨迹方程
当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程, 称之直接法.
例1在平面直角坐标系xOy 中，,E F 两点的坐标分别为0,1、0,1，动点G 满足:直线EG 与直线
FG 的斜率之积为14-
． （1）求动点G 的轨迹方程；
（2）设,A B 为动点G 的轨迹的左右顶点，P 为直线4=x l ：上的一动点（点P 不在x 轴上），连[AP 交G 的轨迹于C 点，连PB 并延长交G 的轨迹于D 点，试问直线CD 是否过定点？若成立，请求出该定点坐标，若不成立，请说明理由．
2、定义法求轨迹方程
如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法．
例2设A 是圆
422=+y x 上的任意一点， l 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线 l 与x 轴的交点，点M 在直线 l 上，且满足2
3=
．当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的标准方程； （2）设曲线C 的左右焦点分别为1F 、2F ，经过2F 的直线m 与曲线C 交于P 、Q 两点，若
21212||||||Q F P F PQ +=，求直线m 的方程．
3、相关点法求轨迹方程
相关点法：用动点Q 的坐标x ，y 表示相关点P 的坐标x 0、y 0，然后代入点P 的坐标（x 0，y 0）所满足的曲线方程，整理化简便得到动点Q 轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法．
例3如图,长为m+1(m>0)的线段AB 的两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动,点M 是线段AB 上一点,且MB m AM = ，求点M 的轨迹C 的方程,并判断轨迹C 为何种圆锥曲线。

4、交轨法求轨迹方程
求两曲线的交点轨迹时，可由方程直接消去参数，或者先引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数来得到轨迹方程，称之交轨法.
例4如图，椭圆0C ：22
221(0x y a b a b
+=>>，a ，b 为常数)，动圆22211:C x y t +=，1b t a <<。

点12,A A 分别为0C 的左，右顶点，1C 与0C 相交于A ，B ，C ，D 四点。

求直线1AA 与直线2A B 交点M 的轨迹方程。

5、参数法求轨迹方程
当动点坐标x 、y 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x 、y 与某一变数t 的关系，得(),(),
x g t x t ϕ=⎧⎨=⎩再
消去参变数t ，得到方程(,)0f x y =，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法．
例 5设椭圆方程为142
2
=+y x ，过点M （0，1）的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 是坐标原点，点P 满足)(2
1OB OA OP +=，点N 的坐标为)21,21(，当l 绕点M 旋转时，求动点P 的轨迹方程。

【练一练提升能力】 1.如图，梯形ABCD 的底边AB 在y 轴上，原点O 为AB 的中点，4242||,||2,,33AB CD AC BD =
=-⊥M 为CD 的中点．
（Ⅰ）求点M 的轨迹方程；
（Ⅱ）过M 作AB 的垂线，垂足为N ，若存在正常数0λ，使0MP PN λ=，且P 点到A 、B 的距离和为定值，求点P 的轨迹E 的方程；
（Ⅲ）过1
(0,)2
的直线与轨迹E 交于P 、Q 两点，求OPQ ∆面积的最大值．
2.已知的线段线段2121,4),0,1(),0,1(PF PF F F =-垂直平分线与1PF 交于Q 点.
（1）求Q 点的轨迹方程；
（2）已知点 A （-2,0），过点2F 且斜率为k （ ）0k ≠的直线l 与Q 点的轨迹相交于,E F 两点，直线AE ，AF 分别交直线3x =于点M ,N ，线段MN 的中点为P ，记直线2PF 的斜率为k '.求证:k k '⋅为定值.
圆锥曲线中的范围、最值问题
【背一背重点知识】
1、求圆锥曲线最值范围问题常见的方法有两种
（1）几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用图像性质结合曲线的定义来解决，这是几何法。

（2）代数法：题目中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值或范围。

求函数的最值范围常见的代数方法有:配方法、判别式法、基本不等式法、单调性法、三角换元法等。

2、求有关圆锥曲线的最值问题市应注意以下几点：
（1）圆锥曲线上本身存在的最值问题。

如 ①椭圆上两点间最大距离为a 2；②椭圆的焦半径的取值范围为[]c a c a +-,，c a -和c a +分别表示椭圆的焦点到椭圆上的最短距离和最长距离等.
(2)圆锥曲线上的点到定点的距离的最值问题,常把两点间的距离公式转化为区间上的二次函数的最值问题,有时也用圆锥曲线的参数方程,化为三角函数的最值问题解决;
(3)圆锥曲线上的点到定直线的距离的最值问题解法同上或用平行切线法;
(4)由直线(系)和圆锥曲线的位置关系,求直线中或圆锥曲线中某个参数(系数)满足的范围,解决方法是把所求参数化为另一变元的函数关系求解.
【讲一讲提高技能】
圆锥曲线中的范围和最值问题的求解方法：
求解有关圆锥曲线的最值、参数范围的问题：一是注意题目中的几何特征，充分考虑图形的性质；二是运用函数思想。

建立目标函数，求解最值。

在利用代数法解决最值和范围问题时常从以下几个方面入手:
(1)利用判别式来构造不等关系,从而确定参数的取值范围;
(2)利用已知参数的范围,求新参数的范围,解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系;
(3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的范围;
(4)利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的范围;
(5)利用函数的值域的求法,从而确定参数的取值范围.
例1已知点A (0,2),椭圆E:22221(0)x y a b a b +=>>3；F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为33
，O 为坐标原点 （I ）求E 的方程；
（II ）设过点A 的动直线l 与E 相交于P,Q 两点。

当OPQ ∆的面积最大时，求l 的直线方程.
例2设,A B 是椭圆22
: 143
x y W +=上不关于坐标轴对称的两个点，直线AB 交x 轴于点M （与点,A B 不重合），O 为坐标原点.
（1）如果点M 是椭圆W 的右焦点，线段MB 的中点在y 轴上，求直线AB 的方程；
（2）设N 为x 轴上一点，且4OM ON ⋅=，直线AN 与椭圆W 的另外一个交点为C ，证明：点B 与点C 关于x 轴对称.
【练一练提升能力】
1.已知两点)0,1(1-F 及)0,1(2F ，点P 在以1F 、2F 为焦点的椭圆C 上，且1PF 、21F F 、2PF 构成等差数列．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）如图，动直线:l y kx m =+与椭圆C 有且仅有一个公共点，点,M N 是直线l 上的两点，且l M F ⊥1，l N F ⊥2． 求四边形12F MNF 面积S 的最大值．
2.已知,A B 为椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>上两动点，12,F F 分别为其左右焦点，直线AB 过点()2,0F c ，且不垂直于x 轴，1ABF ∆的周长为8，且椭圆的短轴长为32．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）已知点P 为椭圆C 的左端点，连接PA 并延长交直线4:=x l 于点M ．求证：直线BM 过定点．
解答题（共10题）
1.已知椭圆C ：)0(122
22>>=+b a b
y a x ，左焦点)0,3(-F ，且离心率23=e ． （1）求椭圆C 的方程；
（2）若直线l ：m kx y +=（ ）0≠k 与椭圆C 交于不同的两点M ，N （M ，N 不是左、右顶点），且以MN 为直径的圆经过椭圆C 的右顶点A ．求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标．
2.已知定点()110,F -,()21,0F ,动点(),P x y ,且满足1122,,PF F F PF 成等差数列.
(Ⅰ) 求点P 的轨迹1C 的方程；
(Ⅱ) 若曲线2C 的方程为()()22222x t y t t -+=+
( )0t <≤过点()2,0A -的 直线l 与曲线2C 相切,求直线l 被曲线1C 截得的线段长的最小值.
3、已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点分别为12(,0),(,0)(0)F c F c c ->，过点2
(,0)a E c
的直线与椭圆相交于,A B 两点，且1212//,2F A F B F A F B =．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）求直线AB 的斜率．
4.已知椭圆的焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线24x y =
的焦点，离心率e =
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的右焦点F 作与坐标轴不垂直的直线l ，交椭圆于A 、B 两点，设点(,0)M m 是线段OF 上的一个动点，且()MA MB AB +⊥，求m 的取值范围；
（3）设点C 是点A 关于x 轴的对称点，在
x 轴上是否存在一个定点N ，使得C 、B 、N 三点共线？若
存
在，求出定点N 的坐标，若不存在，请说明理由． 5.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，左、右焦点分别为12,F F ，点G 在椭圆C 上，且021=⋅GF GF ，12
GFF ∆的面积为3. （1）求椭圆C 的方程：
（2）设椭圆的左、右顶点为A ，B ，过2F 的直线l 与椭圆交于不同的两点M ，N （不同于点A ，B ），探索直线AM ，BN 的交点能否在一条垂直于x 轴的定直线上，若能，求出这条定直线的方程；若不能，请说明理由.
6.（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）
已知动点),(y x S 到直线:l x =22的距离是它到点)0,2(T 的距离的2倍.
（Ⅰ）求动点S 的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）设轨迹C 上一动点P 满足：ON OM OP μλ2+=，其中,M N 是轨迹C 上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为1-2
，若(,)Q λμ为一动点，1233(,0),(,0)22E E -为两定点，的值求||||21QE QE +. 7.1已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b +=>>的离心率为63
,右焦点为(22,0),斜率为1的直线l 与椭圆G 交于,A B 两点,以AB 为底边作等腰三角形,顶点为(3,2)P -.
(1)求椭圆G 的方程;
(2)求PAB ∆的面积.
8.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为32
，直线y x =被椭圆C 截得410. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）过原点的直线与椭圆C 交于,A B 两点（,A B 不是椭圆C 的顶点）.点D 在椭圆C 上，且AD AB ⊥，直线BD 与x 轴、y 轴分别交于,M N 两点.
（i ）设直线,BD AM 的斜率分别为12,k k ，证明存在常数λ使得12k k λ=，并求出λ的值；
（ii ）求CMN ∆面积的最大值.
9.已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的右焦点为F ，M 为上顶点，O 为坐标原点，若△OMF 的面积为21，且椭圆的离心率为2
2． （1）求椭圆的方程；
（2）是否存在直线l 交椭圆于P ，Q 两点， 且使点F 为△PQM 的垂心？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．
10.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，且经过点3(1,)2
P ． 过它的两个焦点1F ，2F 分别作直线1l 与2l ，1l 交椭圆于A 、B 两点，2l 交椭圆于C 、D 两点，且12l l ⊥．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）求四边形ACBD 的面积S 的取值范围．。