江苏省徐州市第一中学2025届高考仿真卷数学试卷含解析

江苏省徐州市第一中学2025届高考仿真卷数学试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．盒中装有形状、大小完全相同的5张“刮刮卡”，其中只有2张“刮刮卡”有奖，现甲从盒中随机取出2张，则至少有一张有奖的概率为( ) A ．
12
B ．
35
C ．
710
D ．
45
2．已知数列{}n a 的通项公式是2
21sin 2n n a n π+⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，则12312a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ）
A ．0
B ．55
C ．66
D ．78
3．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（ ）
A ．
2
3
B ．
43
C ．2
D ．4
4．已知15
455,log 5,log 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）
A ．a b c >>
B ．a c b >>
C ．b a c >>
D ．c b a >>
5222
3
，AB 、CD 是底面圆O 的两条互相垂直的直径，E 是母线PB 的中点，已知过CD 与E 的平面与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P 的距
A ．
12
B ．1
C ．
104
D ．
52
6．设全集为R ，集合{}02A x x =<<，{}
1B x x =≥，则()A B =R
A ．{}
01x x <≤
B ．{}
01x x <<
C ．{}12x x ≤<
D ．{}
02x x <<
7．一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为（ ） A ．
3
π B ．3
π
-
C ．
23
π D ．23
π-
8．我国宋代数学家秦九韶（1202-1261）在《数书九章》（1247）一书中提出“三斜求积术”，即：以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积. 其实
质是根据三角形的三边长a ，b ，c 求三角形面积S ，即222
22
21[()]42
c a b S a c +-=-. 若ABC ∆的面积112S =
，3a =，2b =，则sin A 等于（ ）
A ．
55
10
B ．
116
C ．
5510或
11
6
D ．
1120或
11
36
9．设函数()f x 在定义城内可导，()y f x =的图象如图所示，则导函数()y f x '=的图象可能为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．复数()(1)2z i i =++的共轭复数为（ ）
A ．33i -
B ．33i +
C ．13i +
D ．13i -
11．如图，平面四边形ACBD 中，AB BC ⊥，3AB =，2BC =，ABD △为等边三角形，现将ABD △沿AB 翻折，使点D 移动至点P ，且PB BC ⊥，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ）
A ．8π
B ．6π
C ．4π
D ．
82
3
12．过点6(26)2P ，的直线l 与曲线213y x =-交于A B ，两点，若25PA AB =，则直线l 的斜率为( ) A ．23B ．23+C ．2323
D ．2331
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．某校13名学生参加军事冬令营活动，活动期间各自扮演一名角色进行分组游戏，角色按级别从小到大共9种，分别为士兵、排长、连长、营长、团长、旅长、师长、军长和司令.游戏分组有两种方式，可以2人一组或者3人一组.如果2人一组，则必须角色相同；如果3人一组，则3人角色相同或者3人为级别连续的3个不同角色.已知这13名学生扮演的角色有3名士兵和3名司令，其余角色各1人，现在新加入1名学生，将这14名学生分成5组进行游戏，则新加入的学生可以扮演的角色的种数为________.
14．设n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且712a a =-，则
9
54
S S a =+______. 15．已知向量()1,1a =，()2,b m =-，若()
2//a b b -，则实数m =______. 16．已知函数()()()2
02ln f x a x x x a =+>-有两个极值点1x 、()212x x x <，则()()12f x f x +的取值范围为
_________.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）在ABC ∆角中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若3asinB bcosA =． （1）求角A ；
（2）若ABC ∆的面积为235a =，，求ABC ∆的周长． 18．（12分）已知直线l 的极坐标方程为63sin πρθ⎛
⎫
-
= ⎪⎝
⎭，圆C 的参数方程为1010x cos y sin θ
θ=⎧⎨=⎩
（θ为参数）．
（2）求直线l 被圆截得的弦长．
19．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是矩形，3AB =，2AD =，PAD △为正三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，E 、F 分别为PC 、PB 的中点.
（1）证明：//EF 平面PAD ； （2）求几何体ABCDEF 的体积.
20．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点()
0,3P ，曲线C ：2cos 2sin x y α
α
⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）以原点为极点，x
轴正半轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为3cos 62
πρθ⎛
⎫
-= ⎪
⎝
⎭. （Ⅰ）判断点P 与直线l 的位置关系并说明理由；
（Ⅱ）设直线与曲线C 的两个交点分别为A ，B ，求11PA PB
+的值. 21．（12分）设33
()(4)log (01).11
a f x a x x a a a a =--
+>≠--且 （1）证明:当4a =时，()ln 0x f x +≤；
（2）当1x ≥时()0f x ≤，求整数a 的最大值.（参考数据：20.69,3 1.10ln ln ≈≈，5 1.61,7 1.95ln ln ≈≈） 22．（10分）已知，设函数
(I )若，求
的单调区间： (II )当
时，
的最小值为0，求
的最大值.注：
…为自然对数的底数.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

先计算出总的基本事件的个数，再计算出两张都没获奖的个数，根据古典概型的概率，求出两张都没有奖的概率，由对立事件的概率关系，即可求解. 【详解】
从5张“刮刮卡”中随机取出2张，共有2
510C =种情况， 2张均没有奖的情况有2
33C =（种），故所求概率为37
11010
-=. 故选:C. 【点睛】
本题考查古典概型的概率、对立事件的概率关系，意在考查数学建模、数学计算能力，属于基础题. 2、D 【解析】
先分n 为奇数和偶数两种情况计算出21sin 2n π+⎛⎫
⎪⎝⎭
的值，可进一步得到数列{}n a 的通项公式，然后代入
12312a a a a +++⋅⋅⋅+转化计算，再根据等差数列求和公式计算出结果.
【详解】
解：由题意得，当n 为奇数时，213sin sin sin sin 12222n n ππππππ+⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=+=+==-
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，
当n 为偶数时，21sin sin sin 1222n n ππππ+⎛⎫⎛
⎫=+==
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
所以当n 为奇数时，2
n a n =-；当n 为偶数时，2
n a n =，
所以12312a a a a +++⋅⋅⋅+
22222212341112=-+-+-⋅⋅⋅-+ 222222(21)(43)(1211)=-+-+⋅⋅⋅+-
(21)(21)(43)(43)(1211)(1211)=+-++-+⋅⋅⋅++- 12341112=++++⋅⋅⋅++ 121+122
⨯=
（）
78=
此题考查数列与三角函数的综合问题，以及数列求和，考查了正弦函数的性质应用，等差数列的求和公式，属于中档题. 3、B 【解析】
由三视图知该四棱锥是底面为正方形，且一侧棱垂直于底面，由此求出四棱锥的体积． 【详解】
由三视图知该四棱锥是底面为正方形，且一侧棱垂直于底面，画出四棱锥的直观图，如图所示：
则该四棱锥的体积为211421333
ABCD V S PA =⋅=⨯⨯=正方形. 故选：B. 【点睛】
本题考查了利用三视图求几何体体积的问题，是基础题． 4、A 【解析】
根据指数函数的单调性，可得1
551a =>，再利用对数函数的单调性，将,b c 与1
1,2对比，即可求出结论.
【详解】
由题知105
441551,1log 5log 22
a b =>=>=>=
， 51
log 2log 52
c =<=
，则a b c >>. 故选:A. 【点睛】
本题考查利用函数性质比较大小，注意与特殊数的对比，属于基础题..
建立平面直角坐标系，求得抛物线的轨迹方程，解直角三角形求得抛物线的焦点到圆锥顶点P 的距离. 【详解】
将抛物线放入坐标系，如图所示，
∵2PO =，1OE =，2OC OD ==
∴(2C -，设抛物线22y px =，代入C 点， 可得22y x =- ∴焦点为1,02⎛⎫
-
⎪⎝⎭
， 即焦点为OE 中点，设焦点为F ，
12EF =
，1PE =，∴5
PF =
故选：D 【点睛】
本小题考查圆锥曲线的概念，抛物线的性质，两点间的距离等基础知识；考查运算求解能力，空间想象能力，推理论证能力，应用意识. 6、B 【解析】
分析：由题意首先求得R C B ，然后进行交集运算即可求得最终结果. 详解：由题意可得：{}|1R C B x x =<， 结合交集的定义可得：(){}01R A C B x ⋂=<<. 本题选择B 选项.
点睛：本题主要考查交集的运算法则，补集的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
因为时针经过2小时相当于转了一圈的1
6
，且按顺时针转所形成的角为负角，综合以上即可得到本题答案. 【详解】
因为时针旋转一周为12小时，转过的角度为2π，按顺时针转所形成的角为负角，所以经过2小时，时针所转过的弧度数为11263
ππ-⨯=-. 故选：B 【点睛】
本题主要考查正负角的定义以及弧度制，属于基础题. 8、C 【解析】
将2S =，a =2b =，代入S =225,9c c ==，再分类讨论，利用余
弦弦定理求cos A ，再用平方关系求解. 【详解】
已知S =
a =2
b =，
代入S =
2
=
即4212450c c -+= ， 解得225,9c c ==，
当2
5c =时，由余弦弦定理得：222
cos 210b c a A bc +-==，
sin 10
A =
=
.
当2
9c =时，由余弦弦定理得：2225
cos 26
b c a A bc +-== ，11
sin 6
A =
=
. 故选：C 【点睛】
本题主要考查余弦定理和平方关系，还考查了对数学史的理解能力，属于基础题.
根据()f x 的图象可得()f x 的单调性，从而得到()f x '在相应范围上的符号和极值点，据此可判断()f x '的图象. 【详解】
由()f x 的图象可知，()f x 在(),0-∞上为增函数，
且在()0,∞+上存在正数,m n ，使得()f x 在()()0,,,m n +∞上为增函数， 在(),m n 为减函数，
故()f x '在()0,∞+有两个不同的零点，且在这两个零点的附近，()f x '有变化， 故排除A ，B.
由()f x 在(),0-∞上为增函数可得()0f x '≥在(),0-∞上恒成立，故排除C. 故选：D. 【点睛】
本题考查导函数图象的识别，此类问题应根据原函数的单调性来考虑导函数的符号与零点情况，本题属于基础题. 10、D 【解析】
直接相乘，得13i +，由共轭复数的性质即可得结果 【详解】
∵21()()13z i i i =++=+ ∴其共轭复数为13i -. 故选：D 【点睛】
熟悉复数的四则运算以及共轭复数的性质. 11、A 【解析】
将三棱锥P ABC -补形为如图所示的三棱柱，则它们的外接球相同，由此易知外接球球心O 应在棱柱上下底面三角形的外心连线上，在Rt OBE 中，计算半径OB 即可. 【详解】
由AB BC ⊥，PB BC ⊥，可知BC ⊥平面PAB ．
将三棱锥P ABC -补形为如图所示的三棱柱，则它们的外接球相同．
由此易知外接球球心O 应在棱柱上下底面三角形的外心连线上， 记ABP △的外心为E ，由ABD △为等边三角形， 可得1BE =．又12
BC
OE =
=，故在Rt OBE 中，2OB =， 此即为外接球半径，从而外接球表面积为8π． 故选：A 【点睛】
本题考查了三棱锥外接球的表面积，考查了学生空间想象，逻辑推理，综合分析，数学运算的能力，属于较难题. 12、A 【解析】
利用切割线定理求得,PA AB ，利用勾股定理求得圆心到弦AB 的距离，从而求得30APO ∠=︒，结合45POx ∠=，求得直线l 的倾斜角为15，进而求得l 的斜率. 【详解】
曲线213y x =-为圆2213x y +=的上半部分，圆心为()0,013设PQ 与曲线213y x =-相切于点Q ， 则()
2
PQ PA PB PA PA AB =⋅=⋅+222
5
375PA PO OQ -=== 所以5,2PA AB ==，
O 到弦AB 13123-=23231
sin 2
262OP APO ==
=⨯∠，所以30APO ∠=︒，由于45POx ∠=，所以直线l 的倾斜角为453015-=，斜率为()tan 45tan 30
tan15tan 4530231tan 45tan 30
-=-=
=-+⨯故选：A
【点睛】
本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、9
【解析】
对新加入的学生所扮演的角色进行分类讨论，分析各种情况下14个学生所扮演的角色的分组，综合可得出结论.
【详解】
依题意，14名学生分成5组，则一定是4个3人组和1个2人组.
①若新加入的学生是士兵，则可以将这14个人分组如下；3名士兵；士兵、排长、连长各1名；营长、团长、旅长各1名；师长、军长、司令各1名；2名司令.所以新加入的学生可以是士兵，由对称性可知也可以是司令；
②若新加入的学生是排长，则可以将这14个人分组如下：3名士兵；连长、营长、团长各1名；旅长、师长、军长各1名；3名司令；2名排长.所以新加入的学生可以是排长，由对称性可知也可以是军长；
③若新加入的学生是连长，则可以将这14个人分组如下：2名士兵；士兵、排长、连长各1名；连长、营长、团长各1名；旅长、师长、军长各1名；3名司令.所以新加入的学生可以是连长，由对称性可知也可以是师长；
④若新加入的学生是营长，则可以将这14个人分组如下：3名士兵；排长、连长、营长各1名；营长、团长、旅长各1名；师长、军长、司令各1名；2名司令.所以新加入的学生可以是营长，由对称性可知也可以是旅长；
⑤若新加入的学生是团长，则可以将这14个人分组如下：3名士兵；排长、连长、营长各1名；旅长、师长、军长各1名；3名司令；2名团长.所以新加入的学生可以是团长.
综上所述，新加入学生可以扮演9种角色.
故答案为：9.
【点睛】
本题考查分类计数原理的应用，解答的关键就是对新加入的学生所扮演的角色进行分类讨论，属于中等题. 14、18
【解析】
将已知712a a =-已知转化为1,a d 的形式，化简后求得12a d =-，利用等差数列前n 公式化简
954S S a +，由此求得表达式的值.
【详解】
因为712a a =-，所以()195154341949922,
1856131213a d S a d a d S a a a a d d d
+⨯=-====+++-+. 故填：18.
【点睛】
本题考查等差数列基本量的计算，考查等差数列的性质以及求和，考查运算求解能力，属于基础题.
15、-2
【解析】
根据向量坐标运算可求得()24,2a b m -=-，根据平行关系可构造方程求得结果.
【详解】
由题意得：()24,2a b m -=- ()2//a b b - ()422m m ∴=--，解得：2m =-
本题正确结果：2-
【点睛】
本题考查向量的坐标运算，关键是能够利用平行关系构造出方程.
16、(),16ln 224-∞-
【解析】
确定函数()y f x =的定义域，求导函数，利用极值的定义，建立方程，结合韦达定理，即可求()()12f x f x +的取值范围．
【详解】
函数()()2
2ln f x a x x x =-+的定义域为()0,∞+，()21222212x ax a f x a x x x -+⎛⎫'=-+= ⎪⎝⎭， 依题意，方程22220x ax a -+=有两个不等的正根1x 、2x （其中12x x <），
则241604a a a ∆=->⇒>，由韦达定理得120x x a +=>，120x x a =>，
所以
()()()()()
22121212122ln 2f x f x a x x x x a x x +=++-+()()()2222121212122ln 222ln 222ln 2a x x x x x x a x x a a a a a a a a a ⎡⎤=++--+=+--=--⎣⎦
， 令()()22ln 24h a a a a a a =-->，则()2ln 2h a a a '=-，()()2122a h a a a
-''=-=， 当4a >时，()0h a ''<，则函数()y h a '=在()4,+∞上单调递减，则()()44ln280h a h '<=-<，
所以，函数()y h a =在()4,+∞上单调递减，所以，()()416ln224h a h <=-.
因此，()()12f x f x +的取值范围是(),16ln 224-∞-.
故答案为：(),16ln 224-∞-.
【点睛】
本题考查了函数极值点问题，考查了函数的单调性、最值，将()()12f x f x +的取值范围转化为以a 为自变量的函数的值域问题是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）3
π；（2）1. 【解析】
（1）由正弦定理化简已知等式可得sin A sin B B cos A ，求得tan A A ∈（0，π），可求A =
3π． （2）利用三角形的面积公式可求bc =8，由余弦定理解得b +c =7，即可得解△ABC 的周长的值．
【详解】
（1）由题意，在ABC ∆中，因为asinB =，
由正弦定理，可得sin A sin B B cos A ，
又因为(0,)B π∈，可得sin B ≠0，
所以sin A A ，即：tan A
因为A ∈（0，π），所以A =
3π； （2）由（1）可知A =3
π，且a =5，
又由△ABC 的面积12bc sin A =4
bc ，解得bc =8， 由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bc cos A ，可得：25=b 2+c 2-bc =（b +c ）2-3bc =（b +c ）2-24，
整理得（b +c ）2=49，解得：b +c =7，
所以△ABC 的周长a +b +c =5+7=1．
【点睛】
本题主要考查了正弦定理，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
18、（1120y -+=．x 2+y 2＝1．（2）16
【解析】
（1）直接利用极坐标方程和参数方程公式化简得到答案.
（2）圆心()0,0到直线的距离为1262
d =
=，故弦长为. 【详解】
（1）sin 63πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即1sin 62ρθθ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，即162y x =，
120y -+=.
10cos 10sin x y θθ
=⎧⎨=⎩，故22100x y +=.
（2）圆心()0,0到直线的距离为1262d =
=，故弦长为16=. 【点睛】
本题考查了极坐标方程和参数方程，圆的弦长，意在考查学生的计算能力和转化能力.
19、（1）见解析；（2）
54 【解析】
（1）由题可知，根据三角形的中位线的性质，得出//EF BC ，根据矩形的性质得出//AD BC ，所以//EF AD ，再利用线面平行的判定定理即可证出//EF 平面PAD ；
（2）由于平面PAD ⊥平面ABCD ，根据面面垂直的性质，得出PO ⊥平面ABCD ，从而得出E 到平面ABCD 的距
. 【详解】
解：（1）∵E ，F 分别为PC ，PB 的中点，
∴//EF BC ，
∵四边形ABCD 是矩形，∴//AD BC ，∴//EF AD ，
∵AD ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ，
∴//EF 平面PAD .
（2）取AD ，BC 的中点O ，M ，连接PO ，OE ，OM ，ME ，则PO AD ⊥，
由于ABF OME -为三棱柱，E OMCD -为四棱锥，
∵平面PAD ⊥平面ABCD ，∴PO ⊥平面ABCD ， 由已知可求得3PO =， ∴E 到平面ABCD 的距离为1322
==h PO ， 因为四边形ABCD 是矩形，3AB =，2AD =， 1=3232
ABMO OMCD S S ∴=⨯⨯=四边形四边形， 设几何体ABCDEF 的体积为V ，
则ABF OME E OMCD V V V --=+三棱柱四棱锥，
∴1123
ABMO OMCD V S h S h =⋅+⋅四边形四边形， 即：131353322324
V =⨯⨯+⨯⨯=.
【点睛】
本题考查线面平行的判定、面面垂直的性质和棱锥的体积公式，考查逻辑推理和计算能力.
20、（Ⅰ）点P 在直线l 上；见解析（Ⅱ）1114PA PB
+=【解析】
（Ⅰ）直线l ：2cos 36πρθ⎛
⎫-= ⎪⎝⎭
3cos sin 3ρθρθ+l 33x y +=
0=，所以点P 在直线l 上；
（Ⅱ）根据直线的参数方程中参数的几何意义可得.
【详解】
（Ⅰ）直线l
：2cos 6πρθ⎛
⎫-= ⎪⎝⎭
cos sin θρθ+ 所以直线l
y +
0=，
所以点P 在直线l 上；
（Ⅱ）直线l
的参数方程为12x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数）， 曲线C 的普通方程为22
124
x y +=， 将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程得251240t t +-=，
设两根为1t ，2t ，所以12125t t +=-，11405t t ⋅=-<， 故1t 与2t 异号， 所以
125t t A P P B =-=+， 121245PA PB t t t t ⋅=⋅=-=
，
所以11PA PB PA PB PA PB
++==⋅【点睛】
本题考查在极坐标参数方程中方程互化，还考查了直线的参数方程中参数的几何意义，属于中档题.
21、（1）证明见解析；（2）5a =.
【解析】
（1）将4a =代入函数解析式可得()1f x x =-+，构造函数()ln 1g x x x =-+，求得()g x '并令()0g x '=，由导函数符号判断函数单调性并求得最大值，由()max 0g x =即可证明()0g x ≤恒成立，即不等式得证.
（2）对函数求导，变形后讨论当1a >时的函数单调情况：当()()413ln a a a
--≤时，可知满足题意；将不等式化简后
构造函数()2543ln ,1g a a a a a =-+->，利用导函数求得极值点与函数的单调性，从而求得最小值为()3g ，分别依次代入检验()()()()3,4,5,6g g g g ⋅⋅⋅的符号，即可确定整数a 的最大值；当
()()413ln a a a -->时不满足题意，因为求整数a 的最大值，所以01a <<时无需再讨论.
【详解】
（1）证明：当4a =时代入()f x 可得()1f x x =-+，
令()ln 1g x x x =-+，()0,x ∈+∞，
则()111x g x x x
-'=-=， 令()0g x '=解得1x =，
当()0,1x ∈时()0g x '>，所以()ln 1g x x x =-+在()0,1x ∈单调递增，
当()1,x ∈+∞时()0g x '<，所以()ln 1g x x x =-+在()1,x ∈+∞单调递减，
所以()()max 1ln1110g x g ==-+=，
则()ln 10g x x x =-+≤，即()ln 0x f x +≤成立. （2）函数33()(4)log (01).11
a f x a x x a a a a =--+>≠--且 则()()()41343ln (),1ln 1
1ln a a x
a a
f x x x a a x a a ----'=-=≥--， 若1a >时，当()()413ln a a a --≤时，()0f x '<，则()f x 在[
)1,+∞时单调递减，所以()()10f x f ≤=，即当1x ≥时()0f x ≤成立；
所以此时需满足()()1413ln a a a a >⎧⎪--⎨≤⎪⎩
的整数解即可， 将不等式化简可得2543ln a a a -+≤，
令()2543ln ,1g a a a a a =-+->
则()()()2213325325,1a a a a g a a a a a a
+---'=--==> 令()0g a '=解得3a =，
当()1,3a ∈时()0g a '<，即()g a 在()1,3a ∈内单调递减，
当()3,a ∈+∞时()0g a '>，即()g a 在()3,a ∈+∞内单调递增，
所以当3a =时()g a 取得最小值，
则()2335343ln 323ln 30g =-⨯+-=--<，
()2445443ln 43ln 40g =-⨯+-=-<，
()2555543ln 543ln 543 1.610g =-⨯+-=-≈-⨯<，
()()2665643ln 6103ln 2ln 3103 1.790g =-⨯+-=-+≈-⨯>
所以此时满足2543ln a a a -+≤的整数a 的最大值为5a =； 当()()413ln a a a -->时，在()()411,2ln a a x a ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦
时()0f x '>，此时()()10f x f >=，与题意矛盾，所以不成立. 因为求整数a 的最大值，所以01a <<时无需再讨论，
综上所述，当1x ≥时()0f x ≤，整数a 的最大值为5a =.
【点睛】 本题考查了导数在证明不等式中的应用，导数与函数单调性、极值、最值的关系和应用，构造函数法求最值，并判断函数值法符号，综合性强，属于难题.
22、 (I )详见解析；(II )
【解析】
(I )求导得到
，讨论和两种情况，得到答案. (II )
，故，取，，求导得到单调性，得到，得到答案. 【详解】
(I )
，， 当
时，恒成立，函数单调递增； 当
时，，，当时，函数单调递减； 当
时，函数单调递增. 综上所述：
时，在上单调递增；时，在上单调递减，在上单调递增. (II )
在上恒成立；
，故，
现在证明存在，，使的最小值为0.
取，，（此时可使），
，，
故当上时，，故，
在上单调递增，，
故在上单调递减，在上单调递增，故.
综上所述：的最大值为.
【点睛】
本题考查了函数单调性，函数的最值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.。