武汉中学高二下学期数学总复习试题(4)

武汉中学高二下学期数学总复习试题(4)
武汉中学 柏任俊
一、选择题：
1.已知m 、n 、l 为直线，α、β、γ为平面，有下列四个命题 ①若βαβα//,//,//则m m ； ②ααα⊥⊂⊂⊥⊥l m n m l n l 则,,,,
③γβγαβα⊥⊥
则,//,； ④n m n m ⊥⊥⊂
⊂则,,,βαβα
其中正确命题的个数是 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
2.设地球的半径为R ，若甲地位于北纬45︒东经120︒，乙地位于南纬75︒东经120︒，则甲、乙两地的球面距离为 （ ）
A
B ．
6R π
C ．
56
R π
D ．
23R π 3.如右图所示，在单位正方体1111D C B A ABCD -
的面对角线B A 1上存在一点P 使得P D AP 1+最 短，则P D AP 1+的最小值为 （ ）
A ．2
B ．2
6
2+ C ．22+ D ．
22+
4.从四种不同的顔色中选取若干种顔色给正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的六个面涂色，要求相邻
两个面涂不同的顔色，则共有涂色方法有 （ ）
A ．24种
B ．72种
C ．96种
D ．48种 5. 1！+2·2！+3·3！+…n·n ！= （ ） A 、（n+1）!-1 B 、（n+1）！ C 、（n+1）！+1 D 、（n+2）！
6.某人的密码箱上的密码是一种五位数字号码，每位上的数字可在0到9这10个数字中选取，该人记得箱子的密码1，3，5位均为0，而忘记了2，4位上的数字，只有随意按下2，
4位上的数字，则他按对2，4位上的数字的概率是 （ ）
A ．
5
2 B ．
5
1 C ．
10
1 D ．
100
1 7.由正方体的八个顶点中的两个所确定的所有直线中，取出两条，这两条直线是异面直线的概率为 （ ）
A ．
29189 B ． 2963 C ． 3463
D ． 47 8.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是 （ ） A. 至少有1个白球, 都是白球 B. 至少有1个白球, 至少有1个红球 C. 恰有1个白球, 恰有2个白球 D. 至少有1个白球, 都是红球
A
C
1
9.如果654321,,,,,a a a a a a 的方差为3，那么2)3(1-a 、2)3(2-a 、2)3(3-a 、2)3(4-a 、2)3(5-a 、2)3(6-a 的方差是
（ ）
A ．0
B ．3
C ．6
D ．12
10.已知函数f (x )＝x 3
+ax 2
，过曲线y ＝f (x ) 上一点P(－1，b ) 且平行于直线3x +y ＝0的切线方程为
（ ）
A ．3x +y －1＝0
B ．3x +y +1＝0
C ．3x －y ＋1＝0
D ．3x +y －2＝0
二、填空题：
11.将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A -BD -C,有如下四个结论：（1）AC ⊥BD ；（2）∆ACD 为等边三角形；（3）AB 与面BCD 所成的角为060；（4）AB 与CD 所成的角为060. 其中正确的结论的序号是 .
12.半径为2的球内接四面体A-BCD ，AB 、AC 、AD 两两互相垂直，则ABC S ∆+ABD S ∆+ACD S ∆的最大值为 .
13.已知球面上A 、B 两点间的球面距离是1，过这两点的球面半径的夹角为60°，则这个球
的表面积与球的体积之比是
.
14.(x － 1x
)8
的 展开式中x 2的系数为 .
15.甲、乙两名篮球运动员，投篮的命中率分别为
3
2
,43，设甲投4球恰好投进3球的概率 为1p ，乙投3球恰好投进2球的概率为2p ，则1p 与2p 的大小关系为_____________
16.如图是某企业近几年来关于生产销售的一张统计图表，则针对该企业近几年的销售情况，有以下几种说法： ①这几年的利润逐年提高；（注：利润＝销售额－总成本）
②2002年至2003年是销售额增长最快的一年； ③2003年至2004年是销售额增长最慢的一年； ④2004年至2005年是销售额增长最慢，但是由于总成本有所下降，因而2005年的利润比上一年仍有所增长。

其中说法正确的是 (注：把你认为正确的说法的代号都填上．．．
)．
G
F D
E C B A
三、解答题：
17.已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，2
ABC BAD π
∠=∠=
，24AB BC AD ===，E 、
F 分别是AB 、CD 上的点，EF ∥BC ，AE x =，
G 是BC 的中点。

沿EF 将梯形ABCD 翻折，使平面AEFD ⊥平面EBCF (如图).（1）当2x =时，求证：BD EG ⊥；（2）若以
F 、B 、C 、D 为顶点的三棱锥的体积记为()f x ，求()f x 的最大值；（3）当()f x 取得最大值时，求二面角D-BF-C 的大小。

F
E D
C
B A
18. 10张奖券中，一等奖的有2张，二等奖的有3张，三等奖的有5张。

每次从中任抽一张（1）连续抽取3次（每次取后不放回），求至少有一次中一等奖的概率；
（2）连续抽取5次（每次取后放回），求第一次中一等奖，后四次中恰有2次中二等奖的概率.
19.在某次空战中，甲机先向乙机开火，击落乙机的概率时0.2；若乙机未被击落，就进行还击，击落甲机的概率时0.3；若甲机未被击落，则再进攻乙机，击落乙机的概率时0.4，求在这个三个回合中：（1）甲机被击落的概率；（2）乙机被击落的概率。

20.设事件A 发生的概率为P ，若在A 发生的条件下B 发生的概率为P /，则由A 产生B 的概率为P •P /，根据这一规律解答下题：一种掷硬币走跳棋的游戏：棋盘上有第0，1，2，3，…，100，共101站，设棋子跳到第n 站的概率为n P ，一枚棋子开始在第0站（即01P =），由棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若硬币出现正面则棋子向前跳动一站，出现反面则向前跳动两站，直到棋子跳到第99站（获胜）或100站（失败）时，游戏结束。

已知硬币出现正反面的概率都为
1
2
.⑴ 求123,,P P P ，并根据棋子跳到第1n +站的情况，试用1,n n P P -表示1n P +；⑵ 设1(1100)n n n a P P n -=-≤≤，求证：数列{}n a 是等比数列，并求出{}n a 的通项公式；⑶ 求玩该游戏获胜的概率。

21.设12,x x 是函数32
2()(,,0)32
a b f x x x a x a b R a =
+-∈>的两个极值点，且12|||| 2.x x +=
（I ）证明：01a <≤；（II ）证明：||b ≤（III ）若函数1()()2()h x f x a x x '=--，证明：
当12,x x <<且10x <时，|()|4.h x a ≤
22.由原点O 向三次曲线2
3
3ax x y -=引切线，切于点P 1（x 1，y 1）（O ，P 1两点不重合），再由P 1引此曲线的切线，切于点P 2（x 2，y 2）（P 1，P 2不重合）.如此继续下去，得到点列
)}.,({n n n y x P （1）求x 1；（2）求1+n n x x 与满足的关系式；（3）若a >0，试判断n x 与a 的大
小关系并说明理由.
参考答案：
BDDCA DBCDB 11.【答案】（1）（2）（4）；12.【答案】8；13.【答案】π；14.【答案】70
15.【答案】642741)43
(3341=⨯
⨯=C p ,9
431)32(22
32=⨯⨯=C p ,21p p <.16.【答案】②
④.
17.解:∵平面AEFD ⊥平面EBCF ,AE ⊥EF,∴AE ⊥面平面EBCF ,AE ⊥EF,AE ⊥BE,又BE
⊥EF,故可建立空间坐标系E-xy z 。

则A （0，0，2），B （2，0，0），G （2，2，0），
D （0，2，2），
E （0，0，0）
（1）BD =（－2，2，2）EG =（2，2，0）
BD EG ⋅=（－2，2，2）（2，2，0）＝0，∴BD EG ⊥……4分；
（2）∵AD ∥面BFC ，()f x =V A-BFC ＝
1
3
BFC
s AE ＝
131
2
4(4-x )x 2288(2)333x =--+≤即2x =时()f x 有最大值为8
3。

……8分
（3）设平面DBF 的法向量为1(,,)n x y z =，∵AE=2, B （2，0，0），D （0，2，2）， F （0，3，0）,∴(2,3,0),BF =-BD =（－2，2，2）,
则 1100
n BD n BF ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即(,,)(2,2,2)0(,,)(2,3,0)0x y z x y z -=⎧⎨-=⎩，2220230 x y z x y -++=⎧⎨-+=⎩
取x ＝3，则y ＝2，z ＝1，∴1(3,2,1)n =……11分 面BCF 的一个法向量为2(0,0,1)n = 则cos<12,n n >=
12121414
||||n n n n
=……13分
二面角D-BF-C 的平面角为π-arccos
14
……14分。

18.解: （1）
815 （2） 132325000
19.解：设A 表示“甲机被击落”这一事件，则A 发生只可能在第2回合中发生，而第2回合又只能在第1回合甲失败了才可能进行，用i A 表示第i 回合射击成功(1,2,3)i =。

B 表示“乙机被击落”的事件，则 （4分）
121123,A A A B A A A A ==+ (6分)
()(1)0.80.30.24P A ∴=⨯= （8分） ()(2)0.20.80.70.40.424P B =+⨯⨯=。

（12分）
20.解：(1)112P =
，201113
224P P P =+= 312
115
228
P P P =+= （5分）
12
1
211-+=
+Pn P P n n （7分） (2) 依题意：1111
22n n n P P P +-=+
∴ 111
()2
n n n n P P P P +--=--
∴{}1n n P P --表示等比数列 （9分 又21011-
=-=P P a ,1001,)2
1
(≤≤-=∴n a n n （11分） 答：(1)；(2) （12分） 21.解：（I ）证明：12,x x 是函数()f x 的两个极值点，12,x x ∴是22()f x ax bx a '=+-的
两个根.
1212112,0.||||2b
x x x x a x x x a ∴+=-⋅=-<∴+-=
，得22344.b a a =- （II ）证明：设23()44g a a a =-，则2()8124(23)g a a a a a '=-=-， 由()0g a '>，
得()0g a '>，得
2
1.3
a <≤
()g a ∴在2(0,)3上是增函数，在2,13⎛⎤
⎥⎝⎦
上是减函数；max 216()()327g a g ∴==，故||b ≤
（III ）证明：12,x x 是22()f x ax bx a '=+-的两个实根，12()()().f x a x x x x '∴=--
12112()()()2()()(2),h x a x x x x a x x a x x x x ∴=----=---
2
1212|||2||()||||2|(
).2
x x x x h x a x x x x a -+--∴=-⋅--≤
111,||.x x x x x x >∴-=-又11220,0,20.x x x x ∴<⋅<∴+> 2222,20,|2|2,n x x x x x x <∴--<∴--=+-
1221|||2|2 4.x x x x x x ∴-+--=-+=故|()|4.h x a ≤
22.解：（1）由ax x y a ax x y 63)0(32
23-='≠-=得 过曲线上点P 1（x 1，y 1）的切线L 1的斜率为12
1163ax x k -=
))(63()3(:112121311x x ax ax ax x y L --=--∴的方程为
又)63()3(:,12
112
13
11ax x x ax x L --=--故有过原点
a x x ax x 2
3
032112
131=
∴≠=∴ （2）过曲线上的点),(111+++n n n y x P 的切线方程是：
))(63()3(112
12131+++++--=--n n n n n x x ax x ax x y
1+n L 过曲线上点),(n n n y x P 故))(63()3(311212131_23+++++--=---n n n n n n n n x x ax x ax x ax x 即：))(63()(3112
1212313+++++--=---n n n n n n n n x x ax x x x a x x
12112112163)(30
++++++-=+-++≠-n n n n n n n n n n ax x x x a x x x x x x
)(3)2)((0
)(3211112
112=--+-∴=---+∴++++++n n n n n n n n n n n n x x a x x x x x x a x x x x
a x x n n 321=+∴+
（3）由（2）得：)(21
232111a x a x a x x n n n n --=-∴+-=++ 故数列2}{1a a x a x n =--是以为首项，公比为2
1
-的等比数列.
1)21(2--=-∴n n a a x ,a x n n ])2
1
(1[--=∴
∵0>a ∴当n 为偶数时：a a a x n n n <-=--=])2
1
(1[])21(1[
当n 为奇数时：a a a x n n n >+=--=])2
1
(1[])21(1[。