2023年江苏考研数学二试题及答案

2023年江苏考研数学二试题及答案
一、选择题：1~10小题,每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项
是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
1. 1
ln(e )1
y x x =+- 的斜渐近线为( ) A.e y x =+ B.1e y x =+ C.y x = D.1e
y x =- 【答案】B.
【解析】由已知1ln e 1y x x ⎛⎫
=+
⎪-⎝⎭
，则 1lim
limln e ln e 11x x y x x →∞→∞
⎛⎫=+== ⎪-⎝⎭
， 11lim lim ln e lim ln e 111x x x y x x x x x x →∞→∞→∞⎡⎤⎡⎤⎛
⎫⎛⎫-=+-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥--⎝⎭⎝
⎭⎣⎦⎣⎦ 1lim ln e ln e 1x x x →∞
⎡⎤
⎛⎫=+- ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦ 1lim ln 1e(1)x x x →∞⎡⎤=+⎢⎥-⎣⎦
1
lim
e(1)e
x x x →∞==-，
所以斜渐近线为1
e
y x =+
.故选B. 2.
函数0()(1)cos ,0x f x x x x ≤=+>⎩
的一个原函数为（ ）.
A
．)ln ,0()(1)cos sin ,0x x F x x x x x ⎧≤⎪
=⎨⎪+->⎩
B
．)
ln 1,0()(1)cos sin ,0
x x F x x x x x ⎧+≤⎪
=⎨⎪+->⎩
C
．)
ln ,0()(1)sin cos ,0x x F x x x x x ⎧≤⎪
=⎨⎪++>⎩
D
．)
ln 1,0()(1)sin cos ,0
x x F x x x x x ⎧+≤⎪
=⎨⎪++>⎩
【答案】D.
【解析】由已知0
lim ()lim ()(0)1x x f x f x f +-
→→===，即()f x 连续. 所以()F x 在0x =处连续且可导，排除A ，C.
又0x >时，[(1)cos sin ]cos (1)sin cos (1)sin x x x x x x x x x '+-=-+-=-+， 排除B.
故选D.
3.设数列{},{}n n x y 满足111111
,sin ,22
n n n n x y x x y y ++====,当n →∞时( ). A.n x 是n y 的高阶无穷小 B.n y 是n x 的高阶无穷小 C.n x 是n y 的等价无穷小
D.n x 是n y 的同阶但非等价无
穷小
【答案】B. 【解析】在0,
2π⎛⎫
⎪⎝⎭
中，2sin x x π>，从而12sin n n n x x x π+=>.又112n n y y +=，从而 111
11
22444n n
n n n
n n n y y y y x x x x ππππ
++⎛⎫⎛⎫<=<<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
L ， 所以1
1
lim
0n n n y x +→∞
+=.故选B. 4. 若0y ay by '''++=的通解在(,)-∞+∞上有界，这（ ）.
A.0,0a b <>
B.0,0a b >>
C.0,0a b =<
D.0,0a b =>
【答案】D
【解析】微分方程0y ay by '''++=的特征方程为20r ar b ++=.
①若2
40a b -<
，则通解为2
12()e
()a
x y x C x C x -=+；
②若240a b ->
，则通解为2212()e
e
a
a x x y x C C ⎛⎛ -- ⎝
⎭
⎝⎭
=+；
③若2
40a b -=，则通解为2
12()()e a x y x C C x -=+.
由于()y x 在(,)-∞+∞上有界，若02a -
>，则①②③中x →+∞时通解无界，若02
a
-<，则①②③中x →-∞时通解无界，故0a =.
0a =时，若0b > ，
则1,2r =，
通解为12()()y x C C =+，在(,)-∞+∞上有界.
0a =时，若0b <
，则1,2r =
，通解为12()e y x C C =+，在(,)-∞+∞上无界.
综上可得0a =，0b >.故选D.
5. 设函数()y f x =由参数方程2||
||sin x t t y t t =+⎧⎨=⎩
确定，则( ).
A.()f x 连续，(0)f '不存在
B.(0)f '存在，()f x '在0x =处不连续
C.()f x '连续，(0)f ''不存在
D.(0)f ''存在，()f x ''在0x =处不连续
【答案】C
【解析】0
lim lim ||sin 0(0)x t y t t y →→===，故()f x 在0x =连续.
0()(0)||sin (0)lim
lim 02||
x t f x f t t
f x t t →→-'===+. sin cos ,03
()()00()sin cos 0t t t
t y t f x t x t t t t t +⎧>⎪⎪
''===⎨'⎪
--<⎪⎩
0t =时，0x =；0t >时，0x >；0t <时，0x <，故()f x '在0x =连续.
00sin cos 0
()(0)23(0)lim lim 39x t t t t
f x f f x t ++
+→→+-''-''===, 00()(0)sin cos 0
(0)lim lim 2x t f x f t t t f x t
--
-→→''----''===-,
故(0)f ''不存在.故选C. 6. 若函数1
2
1
()(ln )αα+∞
+=
⎰
f dx x x 在0=αα处取得最小值，则0=α( )
A.1
ln(ln 2)
-
B.ln(ln 2)-
C.1
ln 2
-
D.ln 2
【答案】A. 【解析】已知1
12
2
21d(ln )111
()d (ln )(ln )(ln )(ln 2)
a
a a a
x f a x x x x x a a +∞
+∞+∞-++=
==-=
⎰
⎰，则 2111ln ln 2111()ln ln 2(ln 2)(ln 2)(ln 2)a a a
f a a a a a ⎛⎫
'=-
-=-+ ⎪⎝⎭
， 令()0f a '=，解得01
.ln ln 2
a =-
故选A.
7.设函数2
()()e x
f x x a =+.若()f x 没有极值点,但曲线()y f x =有拐点,则a 的取值范围是( ). A.[0,1) B.[1,)+∞ C.[1,2) D. [2,)+∞
【答案】C.
【解析】由于()f x 没有极值点,但曲线()y f x =有拐点，则2()(2)e x
f x x x a '=++有两
个相等的实根或者没有实根，2()(42)e x
f x x x a ''=+++有两个不相等的实根.于是知
440,
164(2)0,a a -≤⎧⎨
-+>⎩
解得12a ≤<.故选C. 8. ,A B 为可逆矩阵，E 为单位阵，*
M 为M 的伴随矩阵，则*
⎛⎫= ⎪⎝⎭A E O B
A.****||||⎛⎫
- ⎪⎝⎭A B B A O B A
B.****||||⎛⎫
- ⎪⎝⎭B A A B O A B C.****||||⎛⎫- ⎪⎝⎭B A B A O
A B
D.****|||⎛⎫- ⎪⎝⎭A B A B O
B |A
【答案】B
【解析】由于
*
||||||||⎛⎫⎛⎫
⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
A E A E A E E O A
B O O B O B O B O E O A B ， 故
*1
||||
||||-⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
A E A E A
B O O B O B O A B
1111
||||
||||----⎛⎫-⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A B O A A B O A B O B 1111
||||||||||||----⎛⎫
-= ⎪⎝⎭A A B A A B B O B A B ****
||||⎛⎫
-= ⎪⎝⎭A B A B O
B A . 故选B.
9. 2
2
2
123121323(,,)()()4()f x x x x x x x x x =+++--的规范形为 A.2
2
12y y +
B.22
12y y -
C.222
1234y y y +-
D.222
123y y y +-
【答案】B
【解析】2
2
2
123121323(,,)()()4()f x x x x x x x x x =+++--
222
123121323233228x x x x x x x x x =--+++，
二次型的矩阵为211134143⎛⎫ ⎪
=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，
21
1
21
||134(7)1311
4
31
4
1
λλλλ
λλ
λ
---=--=+-----A E
21
(7)210(7)(3)01
4
1
λλλ
λλλ-=+-=-+-=-， 1233,7,0λλλ==-=，故规范形为22
12y y -，故选B.
10.已知向量组121212212,1,5,03191⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
ααββ ，若γ 既可由12,αα 线性表
示，又可由12,ββ线性表示，则=γ( )
A.33,4k k R ⎛⎫
⎪
∈ ⎪ ⎪⎝⎭
B.35,10k k R ⎛⎫ ⎪
∈ ⎪ ⎪⎝⎭
C.11,2k k R -⎛⎫ ⎪
∈ ⎪ ⎪⎝⎭
D.15,8k k R ⎛⎫ ⎪
∈ ⎪ ⎪⎝⎭
【答案】D
【解析】设1122314
2
k k k k
=+=+γααββ，则11223142k k k k +--=0ααββ，对关于1234,,,k k k k 的方程组的系数矩阵作初等变换化为最简形，
121212211003(,,,)2150010131910011--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
=--=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
A ααββ，
解得T
T
T
T
1234(,,,)(3,1,1,1)(3,1,1,0)(33,1,1,)k k k k C C C C C =--+-=--+-，故
=γ11221211(33)(1)5(1)5,8(1)8C k k C C C k k R C -⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
+=-+-=-=∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
αααα.故选D.
二、填空题：11~16小题,每小题5分,共30分.请将答案写在答题纸指定位置上.
11．当0x →时，2
()ln(1
)f x ax bx x =+++与2
()e cos x g x x =-是等价无穷小，则ab =________.
【答案】2-
【解析】由题意可知，
2
2
00()ln(1)1lim lim ()e cos x x x f x ax bx x g x x →→+++==-222022221
()
2lim 11+()[1()]
2
x ax bx x x o x x o x x o x →++-+=+--+ 22022
1
(1)()()
2lim 3()2
x a x b x o x x o x →++-+=+，
于是13
10,22
a b +=-=，即1,2a b =-=，从而2ab =-. 12.
曲线y =⎰
的孤长为_________.
【答案】
43
π
【解析】曲线y =
⎰
的孤长为
x x ==
2= 2sin 2
330
22cos d2sin 8cos d x t
t t t t π
π
==⎰⎰3
1cos 282
t
dt π
+=⎰ 30
14sin 22t t π
⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭43π
=13. 设函数(,)z z x y =由方程e 2z
xz x y +=-确定，则22
(1,1)
x
z
∂=∂_________.
【答案】32
-
【解析】将点(1,1)带入原方程，得0z =. 方程e 2z xz x y +=-两边对x 求偏导，得e
2z
z z
z x x x
∂∂++=∂∂， 两边再对x 求偏导，得2
2
22
2e e 20z
z z z z z x x x x x ∂∂∂∂⎛⎫+++= ⎪∂∂∂∂⎝⎭
，将1,1,0x y z ===代入以上两式，得
(1,1)1z x ∂=∂，22(1,1)
3
2
x
z
∂=-∂.
14. 曲线353
32x y y =+在1x =对应点处的法线斜率为_________. 【答案】119
-
【解析】当1x =时，1y =.
方程3
5
3
32x y y =+两边对x 求导，得2
4
2
9(56)x y y y '=+，将1x =，1y =代入，得
9(1)11y '=
.于是曲线353
32x y y =+在1x =对应点处的法线斜率为119
-. 15. 设连续函数()f x 满足(2)()f x f x x +-=，2
0()d 0f x x =⎰
，则
3
1
()d f x x =⎰
_________.
【答案】12
【解析】
3
32312
1
1
1
1
()d ()d ()d ()d ()d ()d f x x f x x f x x f x x f x x f x x =-=--⎰
⎰⎰⎰⎰⎰
312
()d ()d f x x f x x
=-⎰⎰1
11
20
1(2)d ()d d 2
x t
f t t f x x x x -=+-==
⎰
⎰⎰. 16. 13123
123121,
0,
20,2
ax x x ax x x x ax ax bx +=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪+=⎩ 有解，其中,a b 为常数，若0111412a a a = ，则
11
120
a a a
b =________. 【答案】8
【解析】方程组有解，则0
111101
110
||
122110
12001202
a a a a a a a a
b a
a b ==-+=A ，故11
1280
a a a
b =.
三、解答题：17~22小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本题满分10分）
设曲线):(e ()L y y x x =>经过点2
(e ,0)，L 上任一点(,)P x y 到y 轴的距离等于该点处的切线在y 轴上的截距，
(Ⅰ)求()y x ；
(Ⅱ)在L 上求一点，使该点的切线与两坐标轴所围三角形面积最小，并求此最小面积. 【解】(Ⅰ)曲线L 在点(,)P x y 处的切线方程为()()Y y y x X x '-=-，令0X =，则切线在y 轴上的截距为()Y y xy x '=-，则()x y xy x '=-，即1
1y y x
'-
=-，解得()(l n )
y x x C x =-，其中C 为任意常数. 又2
(e )0y =，则2C =，故()(2ln )y x x x =-.
(Ⅱ)设曲线L 在点(,(2ln ))x x x -处的切线与两坐标轴所围三角形面积最小，此时切线方程
为
(2ln )(1ln )()Y x x x X x --=--.
令0Y =，则ln 1
x
X x =
-；令0X =，则Y x =.
故切线与两坐标轴所围三角形面积为2
11()22ln 12(ln 1)
x x S x XY x x x ==⋅⋅=--，
则2
(2ln 3)
()2(ln 1)
x x S x x -'=-.令()0S x '=，得驻点3
2e x =. 当32
e e x <<时，()0S x '<；当32
e x >时，()0S x '>，故()S x 在32
e x =处取得极小值，同时也取最小值，且最小值为33
2
(e )e S =.
18.（本题满分12分）
求函数2
cos (,)e
2
y
x f x y x =+的极值. 【解】由已知条件，有
cos (,)e y x f x y x '=+，
cos (,)e (sin )y y f x y x y '=-.
令(,)0,(,)0x y f x y f x y ''==，解得驻点为1,e k π⎛⎫- ⎪⎝⎭
，其中k 为奇数；(e,)k π-，其中
k 为偶数.
(,)1xx
f x y ''=，cos (,)e (sin )y xy f x y y ''=-，cos 2cos (,)e sin e cos y y yy f x y x y x y ''=-. 在点1,e k π⎛⎫- ⎪⎝⎭
处，其中k 为奇数，
1,1e xx A f k π⎛⎫''=-= ⎪⎝⎭，1,0e xy B f k π⎛⎫''=-= ⎪⎝⎭，2
1,e e yy C f k π-⎛⎫''=-= ⎪⎝⎭
， 由于20AC B -<，故1
,e k π⎛⎫- ⎪⎝⎭
不是极值点，其中k 为奇数.
在点(e,)k π-处，其中k 为偶数，
(e,)1xx
A f k π''=-=，(e,)0xy
B f k π''=-=，2(e,)e yy
C f k π-''=-=，
由于20AC B ->，且0A >，故(e,)k π-为极小值点，其中k 为偶数，且极小值为
2
e (e,)2
f k π-=-.
19.（本题满分12分）
已知平面区域(,)|01D x y y x ⎧⎫=≤≤
≥⎨⎬⎩⎭
， （1）求平面区域D 的面积S .
(2)求平面区域D 绕x 一周所形成的旋转体的体积. 【解】
(1)
22
21
4
4
sec 1
d d tan sec sin t S x t t t t t π
π
π
π+∞
===⎰
⎰⎰
2222
44sin 1d d cos sin 1cos t t t t t
π
π
ππ==--⎰⎰
2
4
1cos 11ln
ln
2cos 1
2t t π
π-==+. (2) 22221
1111d d 1(1)14V x x x x x x ππ
ππ+∞
+∞⎛⎫⎛⎫
==-=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭
⎰
⎰.
20.（本题满分12分）
设平面区域D 位于第一象限，由曲线2
2
1x y xy +-=，2
2
2x y xy +-=与直
线
,0y y ==围成，计算22
1
d d 3D
x y x y +⎰⎰
.
【解】221
d d 3D
x y x y +
⎰⎰30d d π
θρ=⎰
32201
d sin 3cos π
θρθθ
=+⎰
322011ln 2d 2sin 3cos πθθθ=+⎰ 32011ln 2d tan 2
tan 3πθθ=+⎰
==.
21.（本题满分12分）
设函数()f x 在[,]a a -上有二阶连续导数. （1）证明：若(0)0f =，存在(,)a a ξ∈-，使得2
1()[()()]f f a f a a ξ''=+-； （2）若()f x 在(,)a a -上存在极值，证明：存在(,)a a η∈-，使得21|()||()()|2f f a f a a
η''≥--. 【证明】(1)将()f x 在00x =处展开为
22
()()()(0)(0)(0)2!2!
f x f x f x f f x f x δδ''''''=++=+， 其中δ介于0与x 之间.
分别令x a =-和x a =，则
2
1()()(0)()2!
f a f a f a ξ'''-=-+，10a ξ-<<， 2
2()()(0)()2!
f a f a f a ξ'''=+，20a ξ<<， 两式相加可得
212()()()()2
f f f a f a a ξξ''''+-+=， 又函数()f x 在[,]a a -上有二阶连续导数，由介值定理知存在ξ∈12[,](,)a a ξξ⊂-，使得
12()()()2
f f f ξξξ''''+=， 即2
1()[()()]f f a f a a ξ=-+. (2)设()f x 在0x 处取得极值，则0()0f x '=.
将()f x 在0x 处展开为
22
000000()()()()()()()()()2!2!
f x x f x x f x f x f x x x f x δδ''''--'=+-+=+， 其中δ介于0x 与x 之间.
分别令x a =-和x a =，则
2
100()()()()2!
f a x f a f x η''+-=+，10a x η-<<， 2
200()()()()2!
f a x f a f x η''-=+，02x a η<<， 两式相减可得
22
2010()()()()()()22
f a x f a x f a f a ηη''''-+--=-， 所以
22
2010()()()()|()()|22
f a x f a x f a f a ηη''''-+--=- 22
1020|()|()|()|()22
f a x f a x ηη''''+-≤+ 220012|()|[()()](|()|max(|()|,|()|))2
f a x a x f f f ηηηη''''''''≤
++-= 2200|()|[()()]2|()|2f a x a x a f ηη''''≤++-=， 即21|()||()()|2f f a f a a
η''≥--.
22.（本题满分12分）
设矩阵A 满足对任意的123,,x x x 均有112321233232x x x x x x x x x x x ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
A .
(1)求A
(2)求可逆矩阵P 与对角阵Λ，使得1
-=P AP Λ. 【解】(1)由112321233232x x x x x x x x x x x ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
A ，得
112233*********x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
A ，
即方程组123111211011x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪--=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎣⎦
0A 对任意的123,,x x x 均成立，故111211011⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A . (2)11
1101||2
11(2)20011011λλλλλλλλ---=--=+-----A E , (2)(2)(1)0λλλ=-+-+=,
特征值为1232,2,1λλλ=-==-.
3111002211011011000⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A E ,1011⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭
α;
1111042231013013000--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A E ,2431⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α; 211201************⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+=→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A E ,3102-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
α, 令123041(,,)130112-⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭P ααα ，则1200020001--⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭
P AP Λ.。