7.2正项级数敛散性的判别

n
100 100
(n 1)
n lim 2 n n1
100
2 1,

n1

2 n
100
发散.
(n 1) !
(2)

n1

n! 10
n
lim
un1 un
u n 是 正 项 级 数 , 如 果 lim
u n1 un
n
( 为数或
)
则
1 时级数收敛; 1 (=∞)时级数发散; 1 时失效.
比值收敛法的优点：不必找参考级数.
注 1:当 1时比值判别法失效;
例 级数
1 lim
n


n1

2 ) 若 u n 收敛， v n 发散，则
(u
n
v n )发散。
3)如果加括弧后所成的级数发散,则原来级数也发散.
当 q 1时, 收敛 n 1、 aq 敛散性 当 q 1时, 发散 n 0


2、调和级数
n 1
1 n
发散.
§7.2 正项级数敛散性的判别
n 1

1 3
p

3 2
dx x
p
1 1 1 p1 p1 n 1
1 即 S n有 上 界 , 1 p1
则 p 级数收敛 .
P-级数的结论(记住!)
1 当p 1时, p 级数 : p n 1 n 当p 1时,

收敛 发散
1 (1 a 1 )
(1 a 1 )(1 a 2 )

1

(1 a 1 )(1 a 2 ) (1 a n 1 ) 1 (1 a 1 )(1 a 2 ) (1 a n )
(1 a 1 )(1 a 2 ) (1 a n )
1
而

n1

1 n
收敛, 3
2

n1

ln n n
2
收敛.
例：用比较判别法或其极限形式判断
n1

ln n n
p
敛散性。
解：当 p 1 时 ,
ln n n
p

1 n
p
( n 3 ), 而
1 n
p
发散，
所以原级数发散。
ln n
当 p 1 时， lim
n 1 n
p0
p
n
• • • • 一、正项级数的概念 二、比较判别法 三、比值判别法 四、*根值判别法
一、正项级数
定义
如果级数
u n中各项均有
n1

u n 0 , 这种级数
称为正项级数.
注：大多数常数项级数的敛散性判别问题，都可以归结 为正项级数的敛散性判别问题！
正项级数收敛的充要条件
正项级数收敛 部分和数列 { Sn }有上界.
2

lim ln n
n

而
n1

1 n
2
收敛,
2


n1

ln n n
2
的敛散性依据该定理无法判别.
1
ln n n lim n 1 n
2
lim
ln n
1
n
lim
ln x x
x
lim
x
3 2
n
2
x 1 2 x
lim 2
x
1 x
0
n1
a
当 a 1 时， lim
n
a
n
1
1 0

n1

ln n n
ln n n 1 n

n1

ln n n

n1

ln n n
2
lim
n
lim ln n
n

n1

1 n
发散,

n1

ln n n
发散.
ln n lim
n
n lim ln n n 1 n
1 { S n }有 界 .
从而原级数收敛.
二、比较判别法
定理(比较判别法)设
n1
n 1 n 1

un和
v n 均为正项级数，
n1
n 1 n 1

且 un v n ( n 1, 2,) ,
若 vn 收敛,则 un 收敛;反之,若 un 发散,则 v n 发散.
ln (1
)发散.
例 判定级数

n1

5n 1 n 2n 3
2
的收敛性.
5n 1
解
因为
lim
n
n 2n 3 lim 2 n n 1 2n 3
2
5n n
2
n 5 lim
n
1 n 3 n
1 n 3 n
2
1 2
1 n
5

而级数
n1

1 n
发散,
2
级数

n1

5 1 2 1 n
发散.

例 判定级数

n1

n 3n 1
2
的收敛性.
n
3
解
因为
lim
n
3n 1 lim 2 n 3 n 1 1
2 3
n n2
n2
lim n
2 2
n
3n 1

1 3
而级数

n1

1
3
收敛, 级数
( 1 p 0 p ) lim
ln n n
p p0
n
lim
ln x x
1
p p0
lim
1 ( p p0 ) x
p p0
x
x
0


n
p0
收敛，
所以原级数收敛。
四、比值判别法
定理
设

n1

(比值判别法,达朗贝尔 D’Alembert 判别法)
放大，缩小的方向
对欲求级数进行 放大应放大为收 敛级数.
敛散性已知的级数,如p级数， 几何级数，调和级数等.
例 讨论p 级数1
1 2
p

1 3
p

1 4
p

1 n
p

y

n1

1 n
p
的敛散性.
( p 0)
解
当 p 1,
当 p 1,
1 n
1
p
p

1 n
, 则 p 级数发散
注：大的收敛，则小的收敛；小的发散则大的发散。 注：比较判别法在使用时，两个级数的项的不等式关系 从第一项开始就要满足，而有些级数也许一开始不 满足而从某一项开始满足，针对此给出下面推论
推论
设

n1

un和 v n都 是 正 项 级 数 , 且 存 在 常 数 c和 自 然 数 N ,
n1

1 解 ,a 1 1 n 2 n a a 1 lim lim 1, a 1 n n 1 0, a 1 n a 1 n a
当 a 1 时，

n1

1 a
n
收敛，
原级数收敛，
当 a 1 时，

1
n
发散，
1
原级数发散， 原级数发散。
使 得 当 n N 时 , 有 un cv n , 则
（1 ）当 （ 2）当

n1

v n 收敛时， u n 收敛 ; u n 发散时， v n 发散 .
n1 n1


n1
判断

n1

u n的 敛 散 性 .
对欲求级数进行 缩小应缩小为发 散级数.
cn un v n
1
发散 ,
n1 n
级数
1 n
2
收敛
n ( 1) un1 , lim n
lim
un1 un
n 1 lim n 1 n n 1 1
2
1
un
lim
n 1
1 n
2
n
n lim 1 n n1
2
n
注 2：条件是充分的,而非必要.
1
解：

1 ln ( n 1 )

n1

1 n1
发散,
所以原级数发散.
例 判断级数 的敛散性. n1 2 n 1 n

n
n 解： 2n 1
n
1 2
n
1 且 收敛, n1 2

n
发散,
n n1
lim
un1 un
n
1.
例 判别下列级数的收敛性:.n 1
2
(1 )

n1

2 n
n
100
lim
un1 un
n
lim
( n 1) 2 n
n 100
100
n
lim
2
n1 100
n
(n 1)

n
100 n
2
n
lim 2
n
即 ： un 收 敛

lim
un1 un un1 un

n1
n
1. 1.
级数

n1
n1

1 n 1
2
收敛 ,
un 发 散
lim
n1
n
级数
发散,
n
un1 un
级数
n1
1
?
un1 un
lim
un1 un
1
n
1.
1 n

n1

an (1 a 1 )(1 a 2 ) (1 a n )
收敛.
证 明 ：显然，该级数为正项级数.
Sn
a1 (1 a 1 ) 1

a2 (1 a 1 )(1 a 2 ) 1 (1 a 1 ) 1

an (1 a 1 )(1 a 2 ) (1 a n ) 1
分析： u n 收敛，即
n 1
lim S n 存在
n
证： ） S n 1 S n u n S n 0 S n
{ S n } 是单调递增数列，而已 知 { S n } 有上界
n
根据单调有界数列必有极限： lim S n 存 在 。
例 设 a n 0 , ( n 1, 2 , ), 证 明 级 数
n1 n1



un
n
n
l,则
(1 ) 若 0 l , 则 级 数 u n 与 n同 时 收 敛 或 发 散
( 2 )若 l 0 , 且 n收 敛 , 则 un收 敛 ;
n1


n1

n1
n1

( 3 ) 若 l , 且 n 发 散 , 则 u n 发 散
复习
1、常数项级数敛散性判断：
1 ) 计算部分和：
2 ) 计算极限
s n u1 u 2 u n
存在，则 lim s n n 不存在，则
u 收敛 u 发散
n n
2、常数项级数发散的判断方法：
1 ) 若 lim u n 0 , 则级数
n

u n 发散。
dx x
p
.
y 1 x
p

n

1
n n1
( p 1)
Sn 1 1 1
1 2
p

3
p
1 x
p
1 4
p

1 n
p n n1
o
1
2
3
1 2
p
x
4


2 1 n 1
1 x
p
dx

3 2
dx

1 x
p
dx

2 1
dx x
p

1 x
p
1 1 dx 1 p1 1 p x
的收敛性.

sin
1 n 1,
而级数
解
因为
lim

n
1 n
1 n

n1
1 n
发散 ,
级数

n1
s in

发散. 1 n
例 判 定 级 数 ln (1
n1
)的收敛性.
ln (1
1 n
) 1,
而级数
解
因为
lim
n
1 n
1 n

n1

1 n
发散 ,
级数

n1


n1

n 3n 1
2
收敛.
n2
例
判定级数

n1

1 3
n
n
的敛散性
.
1
解
lim
3
n
n
n 1
n
lim
3
n
n
n
3 n
lim
1 1 n 3
n
n
1,
3


n1

1 3
n
收敛 ,
故原级数收敛.
例
判定级数
n1

1 1 a
n
,a 0
的敛散性。
所以原级数收敛.
例 判断级数
n1

4
n 14
n 1 的敛散性.
4

解：
n 14
n 1
2 n
2
2 n 1
4
n 1
4
2

2 n 1
4
且
n1

2 n
收敛,
所以原级数收敛.
三、比较判别法的极限形式
定理(比较判别法的极限形式)
设 u n 与 n 均 为 正 项 级 数 , 且 有 lim

级数
n 1


1 n
和
n 1

1 n
2
均为p - 级数
n 1
1 n
p
的特例！

n 1
1 n

n 1

1
5
n4
例 判断级数
n1

1 n (n 1)
2
的敛散性. 1 n
2
解：
n
1 (n 1)
2

且
n1

1 n
2
收敛,
所以原级数收敛.
例 判断级数