高考数学统考第二轮专题复习 微专题一 数列与其他知识的综合学案(理,含解析)

学习资料
微专题一数列与其他知识的综合
微点1数列与新信息的综合
含“新信息”背景的数列问题,常常有图表迁移、新运算、新概念、新情境等。

此类问题有以下几个难点:一是对于新的概念与规则,学生在处理时会有一个熟悉的过程,不易抓住信息的关键部分并用于解题。

二是学生不易发现每一问所指向的知识点，传统题目通常在问法上就直接表明该用哪些知识进行处理,例如“求通项”“求和”,但因为新信息问题与新信息相关，所以要运用的知识隐藏得较深，不易让学生找到解题的方向.三是此类问题在设计时通常注重几问之间的联系,即前面问题的处理是为了给最后一问做好铺垫。

1（1)［2020·全国卷Ⅱ]0—1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列a1a2…a n…满足a i∈｛0，1｝（i=1,2,…)，且存在正整数m，使得a i+m=a i（i=1，2，…）成立,则称其为0—1周期序列，并称满足a i+m=a i（i=1，2，…)的最小正整数m为这个序列的周期.对于周期
为m的0—1序列a1a2…a n…，C（k）=1
m ∑
i=1
m
a i a i+k（k=1，2，…,m—1）是描述其性质的重要
指标。

下列周期为5的0-1序列中,满足C(k）≤1
5
(k=1,2,3,4)的序列是(）
A。

11010… B.11011…C。

10001…D。

11001…
（2）图W1-1是某省从1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增确诊病例变化曲线图。

若该省从1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增确诊病例数按日期顺序排列构成数列｛a n｝，{a n}的前n项和为S n，则下列说法中正确的是(）
图W1—1
A。

数列｛a n}是递增数列
B.数列｛S n}是递增数列
C.数列｛a n}的最大项是a11
D。

数列{S n｝的最大项是S11
微点2数列与函数的综合
数列与函数的综合问题的解题策略：
(1)已知函数条件,解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图像研究数列问题;
（2）已知数列条件，解决函数问题,一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形.
另外要注意数学思想方法的应用,如函数与方程思想等.
2(1)若数列{a n}为等差数列,{b n｝为等比数列,且满足a1+a2020=27,b1·b2020=2,函数f（x）
满足f（x+2)=-f（x)且f(x）=e x,x∈[0,2］,则f a1010+a1011
1+b1010b1011
=(）
A。

e B。

e2C。

e—1D。

e9
(2）已知数列{a n｝满足对任意n∈N＊，a n∈0,π
2,且a1=π
3
，f（a n+1)=√f'(a n),其中f（x)=tan x，
则使得sin a1·sin a2·…·sin a k〈1
10
成立的最小正整数k为。

微点3 数列与解析几何的综合
数列与解析几何的综合，主要从探究数列递推关系开始,其步骤是:①探究递推公式；②研究数列的前n 项和或通项公式.因此，其突破口是探究点与点的关系,挖掘数列的递推关系.
3两光滑的曲线相切，那么它们在公共点处的切线相同。

如图W1—2所示,一列圆C n :x 2
+
（y —a n )2
=r n 2（a n >0，r n 〉0，n=1，2，…)逐个外切，且均与曲线y=x 2
相切,若r 1=1，则
a 1= ,r n = 。

图W1—2
微点4 数列与平面向量的综合
4（1）如图W1—3,已知点E 是平行四边形的边AB 的中点，F n (n ∈N ＊
）为边BC 上的
一列点,连接AF n 交BD 于G n ,点G n 满足G n D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a n+1·G n A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -2（2a n +3）·G n E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,其中数列{a n }是首项为1的正项数列,S n 是数列｛a n ｝的前n 项和,则下列结论正确的是
( ）
图W1—3
A .a 3=15
B .数列{a n +3}是等比数列
C 。

a n =4n —3
D 。

S n =2n+1
-n —2
（2）设S n ，T n 分别为等差数列｛a n },｛b n }的前n 项和，且S n T n
=3n+2
4n+5。

设点A 是直线BC 外一点,
点P 是直线BC 上一点,且AP
⃗⃗⃗⃗⃗ =a 1+a 4b 3
·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则实数λ的值为 ( ）
A .28
25
B 。

-3
25
C .3
28
D 。

-18
25
1。

已知函数f (x ）={1-4x,x ≤0,
1+log 3x,x >0,在等差数列｛a n ｝中，a 7=7，a 9=11，则f (a 8)= （ ）
A 。

1
B 。

2
C 。

3
D .4
2.若数列｛a n }的首项a 1=2，且点(a n ,a n+1）在直线x-y=2上，则数列｛a n ｝的前n 项和S n 等于 （ ） A .3n
-1 B 。

-n 2
+3n C 。

3n +1
D 。

n 2
-3n
3.在数列{a n }中,a 1=1，若OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a n+1，—1),OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，a n +2)，且OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，S n 为数列｛a n }的前n 项和，令b n =1
S n +n
,若数列｛b n }的前n 项和为T n ,则T n = ( ）
A .
n
n+1
B 。

n+1n+2
C 。

n+2
n+3
D 。

n+3
n+4
4.设函数f (x )是定义在（0,+∞)上的单调函数，且对于任意正数x ，y 均有f (xy ）=f (x )+f (y )，已知f (2）=1，若一个各项均为正数的数列｛a n ｝满足f （S n )=f (a n )+f (a n +1)-1(n ∈N *
），其中S n 是数列{a n ｝的前n 项和，令b n =1
a n a n+1
,数列{b n }的前n 项和为T n ,则T 2020的值为
（ )
A.2020B。

1
2020
C。

2019
2020D.2020
2021
5.若数列{a n}满足:存在正整数T,对于任意正整数n都有a n+T=a n成立，则称数列{a n}为周期
数列，周期为T.已知数列｛a n｝满足a1=m（m>0）,a n+1={a n-1,a n>1,
1
a n
,0<a n≤1,则下列结论中错误的
是(）
A.若a3=4,则m可以取3个不同的值
B.若m=√2，则数列{a n｝是周期为3的数列
C。

对于任意的T∈N*且T≥2,存在m〉1，使得{a n｝是周期为T的数列
D.存在m∈Q且m≥2,使得数列｛a n}是周期数列
6.对于数列{a n｝，令P n=1
n
(a1+2a2+…+2n—1a n)（n∈N＊),则称{P n}为｛a n}的“伴随数列”。

已知数列{a n}的“伴随数列”｛P n}的通项公式为P n=2n+1（n∈N＊)，记数列｛a n—kn｝的前n项和为S n，若S n≤S4对任意的正整数n恒成立，则实数k的取值范围为。

7.我们把一系列向量a i（i=1，2,…，n）按次序排列成一列，称为向量列，记作｛a n}.已知
向量列｛a n}满足:a1=(1，1)，a n=（x n，y n)=1
2
（x n-1—y n-1,x n-1+y n—1)（n≥2）,设θn表示向量
a n—1与a n的夹角，若
b n=n2
πθn,对于任意正整数n,不等式√1
b n+1
+√1
b n+2
+…+√1
b2n
〉1
2
log a(1—2a)
恒成立，则实数a的取值范围是。

8.牛顿迭代法（Newton'smethod)又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphsonmethod），是牛顿在17世纪提出的一种近似求方程根的方法。

如图W1—4,设r是f(x）=0的根,选取x0作为r的初始近似值,过点（x0，f(x0）)作曲线y=f(x）的切线l,l与x轴的交点的横坐标x1=x0—f(x0)
f'(x0)
(f’（x0)≠0),称x1是r的一次近似值,过点(x1，f（x1)）作曲线y=f（x）的切
线，则该切线与x轴的交点的横坐标为x2=x1—f(x1)
(f’(x1)≠0），称x2是r的二次近似值。

f'(x1)
重复以上过程,得到r的近似值序列.请你写出r的n+1次近似值与r的n次近似值的关系式。

若f(x)=x2—2，取x0=1作为r的初始近似值，试求f（x）=0的一个根√2的三次近似值（请用分数作答）。

图W1—4
微专题一数列与其他知识的综合
微点1
例1(1)C(2)C[解析］（1)对于A选项,C(1）=1
5∑
i=1
5
a i a i+1=1
5
×（1+0+0+0+0)=1
5
，
C(2）=1
5∑
i=1
5
a i a i+2=1
5
×(0+1+0+1+0）=2
5
>1
5
,不满足题意;
对于B选项，C(1）=1
5∑
i=1
5
a i a i+1=1
5
×（1+0+0+1+1)=3
5
〉1
5
，不满足题意；
对于C选项,C(1)=1
5∑
i=1
5
a i a i+1=1
5
×（0+0+0+0+1）=1
5
,
C(2）=1
5∑
i=1
5
a i a i+2=1
5
×（0+0+0+0+0)=0,
C(3）=1
5∑
i=1
5
a i a i+3=1
5
×(0+0+0+0+0)=0,
C(4)=1
5∑
i=1
5
a i a i+4=1
5
×（1+0+0+0+0）=1
5
,满足题意;
对于D选项，C(1)=1
5∑
i=1
5
a i a i+1=1
5
×(1+0+0+0+1)=2
5
〉1
5
，不满足题意。

故选C.
（2）因为1月28日的新增确诊病例数小于1月27日的新增确诊病例数，即a7〉a8,所以{a n｝不是递增数列，所以选项A错误；因为2月23日新增确诊病例数为0，所以S33=S34，所以数列{S n}不是递增数列,所以选项B错误；因为1月31日新增确诊病例数最多，从1月21日算起,1月31日是第11天，所以数列｛a n｝的最大项是a11,所以选项C正确；数列｛S n｝的最大项是S35，所以选项D错误。

故选C.
微点2
例2（1)A（2)298[解析]（1）因为数列{a n}为等差数列,且a1+a2020=27,所以a1010+a1011=27.
因为{b n｝为等比数列,且b1·b2020=2，所以b1010b1011=2,所以a1010+a1011
1+b1010b1011=27
3
=9。

因为f(x+2）=—f
（x），所以f（x+4)=-f（x+2)=f(x），所以函数f（x）的周期为4,又f（x)=e x,x∈［0,2］,
所以f（9）=f（2×4+1)=f（1）=e，即f a1010+a1011
1+b1010b1011
=e.故选A。

(2）f (x )=tan x=sinx
cosx ,f'(x ）=
cos 2x+sin 2x
cos 2x
=1+tan 2x 。

∵f (a n+1）=√f'(a n ),∴tan a n+1=√1+tan 2a n ,
即tan 2
a n+1-tan 2
a n =1,
∴数列{tan 2a n }是首项为3，公差为1的等差数列, ∴tan a n =√n +2。

∵a n ∈0,π
2，∴sin a n =
√n+2
√n+3
， ∴sin a 1·sin a 2·…·sin a k =√3
4×4
5×5
6×…×k+2
k+3=√3
k+3，由√3
k+3〈1
10，
解得k 〉297,
∴使得sin a 1·sin a 2·…·sin a k 〈1
10成立的最小正整数k 为298。

微点3
例3 5
4 n [解析]当r 1=1时，圆C 1：x 2
+（y —a 1)2
=1,将圆C 1的方程与y=x 2
联立,消去x 得
y 2—(2a 1—1）y+a 12-1=0，则Δ=（2a 1-1)2-4（a 12
—1）=0，解得a 1=5
4。

由图可知当n ≥2时,a n =a n-1+r n —1+r n ①。

将x 2
+（y —a n ）2
=r n 2与y=x 2
联立，消去x 得y 2
-(2a n —1)y+a n 2—r n 2=0,
则Δ=(2a n -1）2
—4(a n 2-r n 2）=0，整理得a n =r n 2+14
，代入①得r n 2+14
=r n -12+14
+r n-1+r n ，
整理得r n -r n-1=1，则r n =r 1+（n —1）=n.
微点4
例4 （1）B （2)B ［解析］（1)∵E 为AB 的中点,∴2G n E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =G n A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +G n B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴G n B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =—G n A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2G n E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 。

又∵D ，G n ，B 三点共线，∴G n D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λG n B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =—λG n A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2λG n E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .又∵G n D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a n+1·G n A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ —2
（2a n +3）·G n E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴{
-λ=a n+1,
2λ=-2(2a n +3),
可得a n+1=2a n +3,∴a n+1+3=2（a n +3），∴数列{a n +3｝是等比数列.又
∵a 1=1,∴a n +3=（1+3)×2n-1
，∴a n =2n+1
—3,∴a 3=13,S n =
4(1-2n )1-2
—3n=2n+2-3n —4.故选B .
(2)由题知S n ，T n 分别为等差数列{a n }，｛b n }的前n 项和，且S n T n
=3n+2
4n+5,不妨取S n =3n 2
+2n ,T n =4n 2
+5n ,
当n=1时，a 1=S 1=5，当n ≥2时,a n =S n —S n —1=6n —1，验证得当n=1时上式成立,所以数列｛a n }的通项公式为a n =6n-1，同理可得，数列｛b n }的通项公式为b n =8n+1， 则
a 1+a 4
b 3
=2825。

由点P 在直线BC 上,可设BP
⃗⃗⃗⃗⃗ =k BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +k BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +k (AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(1—k )AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +k AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2825AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以1-k=2825
,所以λ=k=—3
25.故选B .
【强化训练】
1。

C ［解析]在等差数列｛a n }中，a 7=7，a 9=11,可得a 8=7+112
=9，所以f （a 8)=f （9）=1+log 39=3.
故选C .
2。

B ［解析］由点（a n ，a n+1)在直线x-y=2上，可得a n -a n+1=2，即a n+1—a n =-2,所以数列｛a n }是首项为2,公差为-2的等差数列,则S n =2n+1
2n (n —1）·(-2)=3n-n 2。

故选B 。

3.A [解析]∵OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a n+1，-1），OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（1,a n +2),且OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OQ
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴a n+1=a n +2,又a 1=1,∴数列｛a n }是以1为首项，2为公差的等差数列,
∴a n =1+2×(n —1）=2n-1，∴S n =(a 1+a n )n
2
=n 2，∴b n =1
S
n
+n =1
n 2+n =1
n -1
n+1,∴T n =1
1—1
2+12-1
3+1
3—1
4
+…+
1
n -1
n+1
=1-1
n+1=n
n+1。

故选A 。

4.D ［解析]由题意可知当n ∈N ＊
时，f (S n ）+1=f （a n )+f （a n +1），即f （S n )+f (2)=f （a n )+f (a n +1），
故f (2S n ）=f ［a n ·(a n +1）］,即2S n =a n ·（a n +1）=a n 2+a n .当n=1时，2a 1=2S 1=a 1·(a 1+1)，得a 1=1.当n ≥2时,由2S n =a n 2+a n ,可得2S n —1=a n -12+a n —1,两式相减,可得
2a n =2S n -2S n-1=a n 2+a n -a n -12—a n —1,整理得
（a n +a n-1）（a n -a n-1-1)=0，∵a n +a n —1〉0，∴a n —a n-1—1=0，即a n -a n-1=1,故数列{a n ｝是以1为首项，1为公差的等差数列，∴a n =1+1·(n —1)=n ，n ∈N
＊
,∴b n =1
a
n a n+1
=1n(n+1)，∴T 2020=b 1+b 2+…+b 2020=11×2+12×3+…+12020×2021=1—12+12—1
3+…
+1
2020—1
2021=1-1
2021=2020
2021。

故选D .
5.D [解析］对于A,若a 3=4，因为a n+1={a n -1,a n >1,
1
a n
,0<a n ≤1,
所以当a 2>1时,a 2—1=a 3=4,解得a 2=5，
当a 1>1时，a 1—1=a 2=5，解得a 1=6,当0〈a 1≤1时，1
a 1
=a 2=5，解得a 1=15
；当0<a 2≤1时，1
a 2
=a 3=4,
解得a 2=14,当a 1〉1时，a 1—1=a 2=14,解得a 1=54，当0<a 1≤1时,1a 1
=a 2=1
4,解得a 1=4,不合题意，
舍去.故m 可以取3个不同的值,故A 中结论正确.对于B,若m=√2,则a 2=a 1—1=√2—1，
a 3=1
a 2
=√2+1,a 4=a 3—1=√2，…，所以a n+3=a n ,则数列{a n }是周期为3的数列，故B 中结论正确.
对于C,D ，先考虑数列｛a n }的周期性。

如果a 1=k+a ，k ∈N *
，0<a ≤1,那么
a 2=k-1+a ,a 3=k-2+a ,…,a k+1=a.要使得数列｛a n ｝有周期性，只需要a k+2=1
a =a 1=k+a 。

因为方程
1a
=k+a ,即a 2+ka —1=0的正根为a=-k+√k 2+4
2
∈(0,1),所以a 一定存在，从而存在m=k+a ,使得
数列{a n }的周期为k+1。

对于C,为了使数列的周期为T ，只需取k=T —1≥1,a=-k+√k 2+4
2
即可,此时m>1,故C 中结论正
确。

对于D ，如果存在这样的m ,那么由前面的分析知必有m=k+a ，k ∈N ＊
,0<a ≤1，且a=-k+√k 2+4
2
∈Q ，于是有√k 2+4∈Q ,这是不可能的,故D 中结论错误.
6。

125，5
2
［解析］由题意得a 1+2a 2+…+2n-1a n =n ·2n+1①，所以a 1=1×22=4,a 1+2a 2+…+2n-2
a n —1=（n —1)·2n
（n ≥2）②,由①-②得2n —1
a n =n ·2n+1—(n-1）·2n （n ≥2）,所以a n =2n+2(n ≥2），
当n=1时也满足上式，所以a n =2n+2（n ∈N ＊
）。

因此数列｛a n —kn ｝的前n 项和S n =1
2
n
（4—k+2n+2—kn ）=1
2n （6-k+2n-kn )，因为S n ≤S 4对任意正整数n 恒成立,所以{2-k <0,4(2-k)+2≥0,
5(2-k)+2≤0,
所以125≤k ≤5
2。

7.（0，√2-1) ［解析］因为cos θn =a n -1·a n
|a
n -1||a n
|
=(x ,y )·(12(x -y ),12
(x +y ))
√x n -1+y n -1×√[1
2
(x n -1-y n -1)] +[12
(x n -1+y n -1)] =
12x 2+12y 2
√x n -1+y n -1×√1
2
x n -1+12
y n -1
=√22，所以θn =π
4，
故b n =n 2
4，√1
b
n+1
+√1
b
n+2
+…+√1b 2n
=2n+1+2n+2+…+22n .令f （n )=2n+1+2n+2+…+2
2n ，则f (n+1)—f (n )=
2
n+2+2
n+3
+…+2
2(n+1)—2n+1+2n+2
+…+22n =22n+1-2
2n+2>0,所以f (n ）单调递增,所以f （n )min =f (1)=1,则1〉1
2log a (1-2a ）。

因为a>0且a ≠1,1—2a>0，所以0<a<1
2，则1-2a 〉a 2
,解得—1—√2<a 〈-1+√2,故实数a 的取值范围为(0，√2-1）. 8.x n+1=x n —
f(x n )
f'(x n )
（f'（x n ）≠0）
577
408 [解析］由题设可得x 1=x 0-f(x 0)f'(x 0
)(f'（x 0)≠0），x 2=x 1—f(x 1
)
f'(x 1
)
（f’（x 1）≠0）,x 3=x 2—
f(x 2)
f'(x 2)
(f’(x 2)≠0）,依次类推,则可得x n+1=x n -f(x n )
f'(x n )
，其中f’（x n ）
≠0.因为f （x )=x 2
-2,所以x n+1=x n -x n 2-22x n
=x n
2+22x n
（x n ≠0）， 因为x 0=1，故x 1=3
2，x 2=17
12,x 3=577
408。