2024届河南省新乡市高三第三次模拟考试数学试卷(解析版)

2023—2024学年高三第三次模拟考试
数学
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4．本试卷主要考试内容：高考全部内容.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.下列集合中有无数个元素的是（）
A.4x x ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩
⎭
N N B.4x x ⎧
⎫∈∈⎨⎬⎩
⎭
Z
N C.4x x ⎧
⎫∈∈⎨⎬⎩
⎭
N
Z D.4x x ⎧
⎫∈∈⎨⎬⎩
⎭
Q
N 【答案】D 【解析】
【分析】求出各个选项的元素个数即可得出答案.【详解】对于A ，因为
4x ∈N ，x ∈N ，则=1,2,4x ，{}41,2,4x x ⎧⎫
∈∈=⎨⎬⎩⎭
N N ，故A 错误；
对于B ，因为4
x
∈N ，Z x ∈，则=1,2,4x ，所以{}4=1,2,4x x ⎧⎫
∈∈⎨⎬⎩
⎭
Z
N ，故B 错误；对于C ，x ∈N ，4x ∈Z ，所以{}4=1,2,4x x ⎧⎫
∈∈⎨
⎬⎩⎭
N Z ，故C 错误；对于D ，4x x ⎧
⎫
∈∈⎨⎬⎩
⎭
Q N 有无数个元素.故D 正确.故选：D .
2.已知(13i)(i)()z a a =-+∈R 为纯虚数，则=a （）
A.3
B.3
- C.
1
3
D.13
-
【解析】
【分析】利用复数乘法求出z ，再利用纯虚数的意义求解即得.
【详解】依题意，(3)(13)i z a a =++-，由z 是纯虚数，得30
130a a +=⎧⎨-≠⎩
，
所以3a =-.故选：B
3.已知向量()434a b == ，
，，若a 与b 的夹角为3
π
，则a b ⋅= （）
A.10
B.
C.5
D.【答案】A 【解析】
【分析】利用向量的坐标求出5a == ，即可利用向量数量积公式求出结果.
【详解】()435a a =∴==
，
，，则
cos ,54cos 103
a b a b a b π
⋅=⋅=⨯⨯= ，故选：A.
4.已知直线()12:210:1310l x my l m x y +-=+++=，，则“2m =”是“12l l //”的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】C 【解析】
【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合两直线平行判断即得.【详解】当2m =时，直线12:2210:3310l x y l x y +-=++=，，则12l l //，当12l l //时，
21
131
m m -=≠+，解得2m =，所以“2m =”是“12l l //”的充要条件.故选：C
5.已知球O 的半径为5，点A 到球心O 的距离为3，则过点A 的平面α被球O 所截的截面面积的最小值是（）
A.9π
B.12π
C.16π
D.20π
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用球的截面小圆性质求出截面小圆半径即得.
【详解】由点A 到球心O 的距离为3，得球心O 到过点A 的平面α距离的最大值为3，因此过点A 的平面α被球O
4=，所以过点A 的平面α被球O 所截的截面面积的最小值是24π16π=.故选：C
6.如图所示的“分数杨辉三角形”被我们称为莱布尼茨三角形，是将杨辉三角形中的C r
n 换成
1
(1)C r n
n +得到的，
根据莱布尼茨三角形，下列结论正确的是（
）
A.
1
1
111
C C (1)C r r r n n n n n n +++=- B.
1
1
111
C C (1)C r r r n n n n n n +-+=-C.1
1
111
(1)C (1)C C r r r n n n n n n +++=++ D.1
1
111
(1)C (1)C C r r n n r n n n n +-+=++【答案】D 【解析】
【分析】观察莱布尼茨三角形，得出规律即可判断得解.
【详解】观察莱布尼茨三角形，知每一个数等于下一层与它紧挨的两个数之和，
因此1
1111
(1)C (1)C C r r
n n r n n n n +-+=++，即D 正确，ABC 错误.故选：D
7.倾斜角为θ的直线l 经过抛物线C ：216y x =的焦点F ，且与C 相交于,A B 两点．若ππ,64
θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，则
AF BF 的取值范围为（
）
A.[]
128,256 B.
[]
64,256
C.19664,
3⎡
⎤
⎢⎥⎣⎦ D.196
,1283⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
【答案】A 【解析】
【分析】利用焦半径公式将所求弦长用三角函数表示，再利用三角函数性质求出取值范围即可.
【详解】
首先，我们来证明抛物线中的焦半径公式，
如图，对于一个抛物线22y px =，倾斜角为θ的直线l 经过抛物线C ：22y px =的焦点F ，且与C 相交于
,A B 两点．作准线的垂线,AA BB ''，过F 作FM AA '⊥，
则cos AF AA MA AM p AF θ'=+=+'=，解得1cos p AF θ=
-，同理可得1cos p
BF θ
=+，
如图，不妨设A 在第一象限，由焦半径公式得81cos AF θ=-，8
1cos AF θ
=+，
则28864
1cos 1cos sin AF BF θθθ
=
⨯=-+，
而ππ,64θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得2
11sin ,42θ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，故[]2
64
128,256sin θ
∈，故A 正确，故选：A
8.设2ln24ln4
,2e
a b c -=
==，其中e 是自然对数的底数，则（）
A.b a c <<
B.a c b
<< C.<<b c a
D.c b a
<<【答案】B 【解析】
【分析】根据给定数据，构造函数ln ()x
f x x
=，利用导数探讨单调性并比较大小即得.【详解】令函数ln (),e x
f x x x =
>，求导得2
1ln ()0x f x x
-'=<，即函数()f x 在(e,)+∞上单调递减，而222e ln
ln2ln4ln342ln22,,e 243e 2
a b c -=
====，又2e 342<<，因此2e )(4)(3(2
)f f f >>，所以a c b <<.故选：B
【点睛】思路点睛：构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及数与数之间的内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.已知由5个数据组成的一组数据的平均数为7，方差为2，现再加入一个数据1，组成一组新数据，则（）
A.这组新数据的平均数为3
B.这组新数据的平均数为6
C.这组新数据的方差为203
D.这组新数据的方差为
25
3
【答案】BC 【解析】
【分析】根据给定条件，求出新数据组的平均数，再利用分层抽样的方差公式求出方差即得.【详解】依题意，这组新数据的平均数为57166⨯+=，方差为225120
[2(76)][0(16)]663
⨯+-+⨯+-=.故选：BC
10.已知m n l ，，为空间中三条不同的直线，αβγ，，为空间中三个不同的平面，则下列说法中正确的是（
）
A.若,m m αβγ⋂=⊥，则,αγβγ⊥⊥
B.若,m n αα⊂⊄，则m 与n 为异面直线
C.若,,l m n αββγγα⋂=⋂=⋂=，且l m P = ，则P n ∈
D.若,,//m m αβαγ⊥⊥，则//βγ【答案】ACD 【解析】
【分析】利用面面垂直的判定判断A ；确定线线位置关系判断B ；利用平面基本事实判断C ；利用线面垂直
的性质、面面平行的性质判断D.
【详解】对于A ，显然,m m αβ⊂⊂，又m γ⊥，则,αγβγ⊥⊥，A 正确；对于B ，由,m n αα⊂⊄，得m 与n 可能相交、可能平行、也可能为异面直线，B 错误；对于C ，由,l m αββγ⋂=⋂=，l m P = ，知点P 在平面,,αβγ内，即为平面,αγ的公共点，而n γα=I ，因此P n ∈，C 正确；
对于D ，由,m m αβ⊥⊥，得//αβ，而//αγ，因此//βγ，D 正确.
故选：ACD
11.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()262f x f x +=-，且()()()112f x f x f -++=-，若
5
()12
f =，则（）
A.()20241f =
B.()f x 的图象关于直线3x =-对称
C.()f x 是周期函数
D.
2025
1
1(1)()20252k
k kf k =--=∑【答案】BCD 【解析】
【分析】根据给定的等式，结合赋值法推导出函数()f x 及对称轴，再逐项分析计算得解.【详解】由(1)(1)(2)f x f x f -++=-，得(1)(3)(2)f x f x f +++=-，
则(f x -1)(3)f x =+，即()(4)f x f x =+，因此()f x 是周期为4的周期函数，C 正确；令=1x -，得(2)(0)(2)f f f -+=-，则(0)0f =，因此(2024)(0)0f f ==，A 错误；由(26)(2)f x f x +=-，得(6)()f x f x +=-，则()[(12)6](6)f x f x f x -=-+=-，因此()f x 的图象关于直线3x =-对称，B 正确；
由(6)()f x f x +=-，得()f x 的图象关于直线3x =对称，因此直线34x n =-+及34()x n n =+∈Z 均为()f x 图象的对称轴，从而75(2)(0)0,(()12
2
f f f f -====，令3
2x =
，得33(1)(1)022
f f -++=，即1
5(()122
f f =-=-，则139()((12
22
f f f ===-，
故
2025
1
113574049(1)()(2()3(4()2025()222222k
k kf k f f f f f =--=-+-+--∑
(1234)(2021202220232024)20252025=--+++--++= ，D 正确.
故答案为：BCD
【点睛】结论点睛：函数()y f x =的定义域为D ，x D ∀∈，
①存在常数a ，b 使得()(2)2()()2f x f a x b f a x f a x b +-=⇔++-=，则函数()y f x =图象关于点
(,)a b 对称.
②存在常数a 使得()(2)()()f x f a x f a x f a x =-⇔+=-，则函数()y f x =图象关于直线x a =对称.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.双曲线22
2:1223
x y E a a a -=+++的实轴长为4，则=a ________.
【答案】1【解析】
【分析】根据给定条件，确定双曲线的焦点位置，再列式计算即得.【详解】显然220a a ++>恒成立，则双曲线E 的焦点在x 轴上，
于是22
22230a a a ⎧++=⎨+>⎩
，所以1a =.
故答案为：1
13.已知函数()sin (0)f x x x ωωω=>，若存在1[0,π]x ∈，使得1()2f x =-，则ω的最小值为________.【答案】116
##5
1
6【解析】
【分析】利用辅助角公式化简函数()f x ，求出相位的范围，再利用正弦函数的性质求解即得.
【详解】函数π()2sin(3f x x ω=-
，由1[0,π]x ∈，得1πππ
[,π]333
x ωω-∈--，由存在1[0,π]x ∈，使得1()2f x =-，得π3π
π32
ω-≥，解得116ω≥，
所以ω的最小值为11
6
.
故答案为：
11
6
14.如图，在扇形OAB 中，半径4OA =，90AOB ∠=︒，C 在半径OB 上，D 在半径OA 上，E 是扇形弧上的动点（不包含端点），则平行四边形BCDE 的周长的取值范围是______．
【答案】(8,12]【解析】
【分析】设OC x =，利用平行四边形性质，结合勾股定理求出BCDE 周长的函数关系，再求出函数的值域即可.
【详解】设OC x =，则4BC x =-，由BCDE ，得4DE BC x ==-，显然04x <<，连接OE ，由//DE BC ，90AOB ∠=︒，得90ODE ∠=︒，
2222224(4)8OD OE DE x x x =-=--=-，2222BE CD OD OC x
==+=因此BCDE 的周长2228242(22)12l BC CD x x x =+=-+=--+显然0222x <
<，当22x =，即2x =时，max 12l =，而0x =时，8l =，
所以BCDE 的周长的取值范围是(8,12].故答案为：(8,12]
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.已知函数()ln f x x x =．（1）求()f x 的极值；
（2）若过点(),a b 可以作两条直线与曲线()y f x =相切，证明：ln b a a <．【答案】（1）极小值为11
()e e
f =-，无极大值；
（2）证明见解析.【解析】
【分析】（1）求出函数()f x 的导数，判断函数的单调性并求出极值.
（2）设出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线方程，把点(),a b 的坐标代入，构造函数
()ln g x a x x a =-+，分类探讨单调性、确定方程ln b a x x a =-+正根个数即得.
【小问1详解】
因为()ln f x x x =，所以()ln 1f x x '=+，令()0f x '=，得1
e
x =，当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭
时，()0,()'<f x f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝
⎭
上单调递减，
当1,e
x ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭
时，()0,()'>f x f x 在1,e
∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭
上单调递增，
所以当1e x =
时，()f x 取得极小值，且极小值为11e e f ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，无极大值.【小问2详解】
设切点为()000,ln x x x ，则切线的方程为()()0000ln 1ln y x x x x x -=+-，则()()0000ln 1ln b x x x a x -=+-，整理得00ln b a x x a =-+，由过点(,)a b 可以作两条直线与曲线()y f x =相切，可得方程ln b a x x a =-+有两个不相等的正根.令()ln g x a x x a =-+，则()a x
g x x
-'=
，当0a ≤时，()0,()g x g x <'在()0,+∞上单调递减，则方程ln b a x x a =-+最多只有一个正根，不符合题意，
当0a >时，若(0,)x a ∈，则()0,()g x g x >'在()0,a 上单调递增，
若(,)x a ∈+∞，则()0,()g x g x <'在(),a +∞上单调递减，则max ()()ln g x g a a a ==，故要使得方程ln b a x x a =-+有两个不相等的正根，则ln b a a <.
16.如图，在四面体ABCD 中，,,,AB AC AD BC BD BC BD E F ====⊥分别为AB AC ，的中点．
（1）证明：平面ACD ⊥平面BCD ；（2）求平面BDF 与平面CDE 夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）
22
11.
【解析】
【分析】（1）取CD 的中点O ，借助勾股定理逆定理证得OB OA ⊥，再利用线面垂直、面面垂直的判断推理即得.
（2）以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面BDF 与平面CDE 的法向量，再利用面面角的向量求法求解即得.【小问1详解】
取CD 的中点O ，连接OA ，OB ，因为BC BD =，所以OB CD ⊥，且2
CD
OB =
，又AC AD BC BD ===，所以OA CD ⊥，ACD ≌BCD △，则90CAD CBD ∠=∠= ，有2
CD
OA =，因为2
2
AB BC CD ==
，所以222OB OA AB +=，则OB OA ⊥，又OA CD O = ，,OA CD ⊂平面ACD ，所以OB ⊥平面ACD ，又OB ⊂平面BCD ，所以平面ACD ⊥平面BCD .【小问2详解】
由（1）知，,,OD OB OA 两两垂直，
以O 为坐标原点，直线,,OD OB OA 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图，
设4CD =，则(0,0,2),(0,2,0),(2,0,0),(2,0,0)A B C D -，因为E ，F 分别为AB ，AC 的中点，所以(0,1,1),(1,0,1)E F -，
则(2,2,0),(1,2,1),(4,0,0),(2,1,1)BD BF CD CE =-=--==
，
设平面BDF 的法向量为()111,,m x y z = ，则11111220
20
m BD x y m BF x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩
，令11x =，得(1,1,3)m = ，设平面CDE 的法向量为()222,,n x y z = ，则222240
20
n CD x n CE x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩
，令21y =，得(0,1,1)n =- ，1322cos ,11112
m n m n m n ⋅〈〉===-⨯
，
所以平面BDF 与平面CDE 夹角的余弦值为
22
11
.17.甲、乙两个不透明的袋中各装有6个大小质地完全相同的球，其中甲袋中有3个红球、3个黄球，乙袋中有1个红球、5个黄球．
（1）若从两袋中各随机地取出1个球，求这2个球颜色相同的概率；
（2）若先从甲袋中随机地取出2个球放入乙袋中，再从乙袋中随机地取出2个球，记从乙袋中取出的红球个数为X ，求X 的分布列与期望．【答案】（1）1
2
（2）分布列见解析，()1
2
E X =【解析】
【分析】（1）记这2个球颜色相同为事件A ，根据相互独立事件的概率公式计算可得；
（2）依题意X 的可能取值为0、1、2，利用全概率公式求出()0P X =，()1P X =，()2P X =，即可得到分布列与数学期望.【小问1详解】
记这2个球颜色相同为事件A ，则()3135166662
P A =
⨯+⨯=；【小问2详解】
依题意X 的可能取值为0、1、2，
则()2222112353733
6222222
686868C C C C C C C 190C C C C C C 35P X ==⨯+⨯+⨯=，()211211111353373362
222222686868C C C C C C C C C 291C C C C C C 70P X ==⨯+⨯+⨯=，
()2211233332
22226868C C C C C 32C C C C 70
P X ==⨯+⨯=，
所以X 的分布列为：
X
12P
1935
29
70
370
所以()1929310123570702E X =⨯
+⨯+⨯=.
18.已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左、右顶点分别是12,A A ，椭圆C 的焦距是2，P （异于12,A A ）
是椭圆C 上的动点，直线1A P 与2A P 的斜率之积为3
4
-．（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）12,F F 分别是椭圆C 的左、右焦点，Q 是12PF F △内切圆的圆心，试问平面上是否存在定点,M N ，使得QM QN +为定值?若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）22
143
x y +=；
（2）存在，2.【解析】
【分析】（1）设出点()111,,0P x y y ≠，利用斜率坐标公式列式可得223
4
b a =，借助距离为2求解即得.
（2）设()00,Q x y ，借助三角形面积可得013y y =，利用点到直线距离探讨0x 与1x 的关系，结合椭圆C 的方程推理即得.
【小问1详解】设()111,,0P x y y ≠，则
22112
2
1x y a b +=，即()
2
2212
1
2
a x
b y a
-=
，
显然点12(,0),(,0)A a A a -，依题意，2211122211134y y y b x a x a x a a ⋅==-=-+--，解得223
4b a =，由椭圆C 的焦距是2，得221a b -=
，则2,a b ==，
所以椭圆C 的标准方程为22
143
x y +=.
【小问2详解】
设()00,Q x y ，因为()121212012111
22
PF F S PF PF F F y F F y =
++⋅=⋅ ，则013y y =，由（1）知1(1,0)F -，则直线1PF 的方程为1
1(1)1
y y x x =
++，即()11110y x x y y -++=，从而点Q 到直线1PF 的距离
0d y =，
即(
)()01311x x +-+=
，即()()()2
2
001191611x x x y +-++=.
因为2211143x y +=，所以22
11314x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，所以()()()2210013121114x x x x +-++=-
，所以()2
2
010*********x x x x x +-+-=，即()()01012680x x x x --+=，
因为010111,22,680x x x x -<<-<<-+>，所以012x x =，
因为
2211
143x y +=，所以()()22
00231
43
x y +
=，即220
113
y x +=，点Q 在以66(,0),(,0)33
-为焦点，长轴长为2的椭圆上，故存在定点66(
,0),(,0)33
M N -，使得2QM QN +=.
【点睛】思路点睛：涉及动直线与圆锥曲线相交满足某个条件问题，可设出直线方程，再与圆锥曲线方程联立，利用韦达定理并结合已知推理求解.
19.函数()[]f x x =称为取整函数，也称为高斯函数，其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数，例如：
[3.2]3,[0.6]0,[1.6]2==-=-．对于任意的实数x ，定义1[],[]2()1[]1,[]2x x x x x x x ⎧
≤+⎪⎪=⎨⎪+>+⎪⎩数列{}n a 满足)n a n =．
（1）求132024,a a 的值；
（2）设n n b n a =+，从全体正整数中除去所有n b ，剩下的正整数按从小到大的顺序排列得到数列{}n c ．①求{}n c 的通项公式；
②证明：对任意的n +∈N ，都有1231111119
72
n c c c c ++++< ．【答案】（1）134a =，202445a =；（2）①2
n c n =；②证明见解析.【解析】【分析】（1）由
71342<<，89
2024452
<<，利用给定的定义即可求出132024,a a .（2）①按22(1)k n k ≤<+，221(1)k k n k ++≤<+分段讨论n b 的取值，即可求出n c ；②利用①的结论，结合单调性并借助裂项相消法求和即可推理得证.【小问1详解】由
71342<<，得[13]3=1
1313]2
>+，所以1313)13]14a ==+=；
由
89452<<
，得44=
12
>+，
所以2024145a ==+=.【小问2详解】
①依题意，1111(1)112b a =+=+=+=，则11c =，对于给定的n +∈N ，存在唯一确定的k +∈N
，使得1k k ≤<+，即22
(1)k n k ≤<+，
而22
11
()2
4
k k k +=++
，则当22k n k k ≤≤+时，n a k =，设2,{0,1,2,,}n k m m k =+∈ ，此时n b n k =+，即2
,{0,1,2,,}n b k k m m k =++∈ ；
当221(1)k k n k ++≤<+时，1n a k =+，设2,{1,2,,2}n k m m k k k =+∈++ ，
此时1n b n k =++，即2
1,{1,2,,2}n b k k m m k k k =+++∈++ ，
因此{
}
222222
,1,,2,22,23,,31n b k k k k k k k k k k k k ∈++++++++++ ，恰好跳过2221(1)k k k ++=+，即所有正整数中恰好少了2(1)k +，因为11c =，所以2
n c n =.
②由2
0n c n =>，得
10n c >，则1231111
{}n c c c c ++++ 为递增数列，12311111491191493672
c c c ++=++=<，
当4n ≥时，221111111
(1(1)(1)211
n c n n n n n n =<==---+-+，则
12311114911111111111
[()()()()()]362354657211
n c c c c n n n n ++++<+-+-+-++-+---+ 4911111119111119()()362341722172
n n n n =
++--=-+<++，所以对任意的n +∈N ，都有
1231111119
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n c c c c ++++< .【点睛】易错点睛：裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．。