2019高三数学人教A版 文一轮教师用书：第6章 第1节 不

第章 不等式、推理与证明
第一节 不等式的性质与一元二次不等式
[考纲传真] (教师用书独具)1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．
(对应学生用书第78页) [基础知识填充]
1．两个实数比较大小的方法
(1)作差法⎩⎨⎧
a －
b ＞0⇔a ＞b (a ，b ∈R )，a －b ＝0⇔a ＝b (a ，b ∈R )，
a －
b ＜0⇔a ＜b (a ，b ∈R )；
(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧
a
b
＞1⇔a ＞b (a ∈R ，b ＞0)，a
b ＝1⇔a ＝b (a ∈R ，b ＞0)，
a b ＜1⇔a ＜b (a ∈R ，b ＞0).
2．不等式的性质 (1)对称性：a >b ⇔b <a ；(双向性) (2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ；(单向性)
(3)可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ；(双向性) a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ；(单向性) (4)可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ； a >b ，c <0⇒ac <bc ；
a >
b >0，
c >
d >0⇒ac >bd ；(单向性)
(5)乘方法则：a >b >0⇒a n >b n (n ≥2，n ∈N )；(单向性)
(6)开方法则：a >b >0
n ≥2，n ∈N )；(单向性)
(7)倒数性质：设ab>0，则a<b⇔1
a>
1
b.(双向性)
3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
[
1．有关分数的性质
若a＞b＞0，m＞0，则
(1)b
a＜
b＋m
a＋m
；
b
a＞
b－m
a－m
(b－m＞0)
(2)a
b＞
a＋m
b＋m
；
a
b＜
a－m
b－m
(b－m＞0)
2．一元二次不等式恒成立问题
(1)不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a＞0且Δ＜0；
(2)不等式ax2＋bx＋c＜0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a＜0且Δ＜0. 3．简单的分式不等式
(1)f(x)
g(x)
≥0⇔
⎩
⎨
⎧f(x)·g(x)≥0，
g(x)≠0；
(2)f(x)
g(x)
＞0⇔
⎩
⎨
⎧f(x)g(x)＞0，
g(x)≠0.
[基本能力自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)a>b⇔ac2>bc2.()
(2)a>b>0，c>d>0⇒a
d>
b
c.()
(3)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.()
(4)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为
R.()
[答案](1)×(2)√(3)√(4)×
2．(教材改编)下列四个结论，正确的是()
①a>b，c<d⇒a－c>b－d；
②a>b>0，c<d<0⇒ac>bd；
③a>b>0⇒3
a>
3
b；
④a>b>0⇒1
a2>
1
b2.
A．①②B．②③
C．①④D．①③
D[利用不等式的同向可加性可知①正确；对于②，根据不等式的性质可知
ac<bd，故②不正确；因为函数y＝x 1
3是单调递增的，所以③正确；对于④，
由a>b>0可知a2>b2>0，所以1
a2<
1
b2，所以④不正确．]
3．(2018·洛阳模拟)若a，b∈R，且a>b，则下列不等式恒成立的是()
A．a2>b2B．a b>1
C．2a>2b D．lg(a－b)>0
C[取a＝－1，b＝－2，排除A，B，D．故选C．]
4．(2015·广东高考)不等式－x2－3x＋4>0的解集为________．(用区间表示) (－4,1)[由－x2－3x＋4>0得x2＋3x－4<0，解得－4<x<1，所以不等式－x2－3x＋4>0的解集为(－4,1)．]
5．若不等式mx2＋2mx＋1>0的解集为R，则m的取值范围是__________．[0,1)[①当m＝0时，1>0显然成立；
②当m ≠0时，由条件知⎩⎨⎧
m >0，
Δ＝4m 2
－4m <0，得0<m <1，
由①②知0≤m <1.]
(对应学生用书第79页)
A ．1x －1
y >0 B ．sin x －sin y >0 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭
⎪⎫12y <0
D ．ln x ＋ln y >0
(2)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，求f (－2)的
取值范围．
(1)C [函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(0，＋∞)上为减函数，∴当x >y >0时，
⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12y
，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12y <0，故C 正确；函数y ＝1x 在(0，＋∞)上为减函数，由x >y >0⇒
1x <1y ⇒1x －1
y <0，故A 错误；函数y ＝sin x 在(0，＋∞)上不单调，当x >y >0时，
不能比较sin x 与sin y 的大小，故B 错误；x >y >0⇒xy >0 ln(xy )>0 ln x ＋
ln y ＞0，故D 错误．
(2)由题意知f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ， f (－2)＝4a －2B ．
设m (a ＋b )＋n (a －b )＝4a －2b ， 则⎩⎨⎧ m ＋n ＝4，m －n ＝－2，解得⎩⎨⎧
m ＝1，n ＝3，
∴f (－2)＝(a ＋b )＋3(a －b )＝f (1)＋3f (－1)． ∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4， ∴5≤f (－2)≤10，
即f (－2)的取值范围为[5,10]．]
[规律方法] 1.对于不等式的常用性质，要弄清其条件和结论，不等式性质包括“单向性”和“双向性”两个方面，单向性主要用于证明不等式，双向性
是解不等式的依据，因为解不等式要求的是同解变形．
2．判断多个不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明． 3．由a <f (x ，y )<b ，c <g (x ，y )<d 求F (x ，y )的取值范围，要利用待定系数法解决，即设F (x ，y )＝mf (x ，y )＋ng (x ，y )，用恒等变形求得m ，n ，再利用不等式的性质求得F (x ，y )的取值范围．
[变式训练1] (1)(2018·衡阳模拟)若1a <1
b <0，则下列结论不正确的是( ) A ．a 2<b 2 B ．ab <b 2 C ．a ＋b <0
D ．|a |＋|b |>|a ＋b |
(2)若角α，β满足－π2<α<β<π，则α－β的取值范围是( ) 【导学号：79170185】 A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，3π2
B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫
－3π2，0
C ．⎝ ⎛
⎭
⎪⎫0，3π2
D ．⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，0
(1)D (2)B [由题可知b <a <0，所以A ，B ，C 正确，而|a |＋|b |＝－a －b ＝|a ＋b |，故D 错误，选D ． (2)∵－π2<β<π，∴－π<－β<π
2， ∴－3π2<α－β<3π2. 又∵α<β，∴α－β<0， 从而－3π
2<α－β<0.]
(1)3＋2x －x 2≥0； (2)x 2－(a ＋1)x ＋a <0.
[解] (1)原不等式化为x 2－2x －3≤0， 即(x －3)(x ＋1)≤0，
故所求不等式的解集为{x |－1≤x ≤3}. 6分
(2)原不等式可化为(x －a )(x －1)<0， 当a >1时，原不等式的解集为(1，a )；
当a ＝1时，原不等式的解集为∅； 当a <1时，原不等式的解集为(a,1).
12分
[母题探究] 将(2)中不等式改为ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a >0)，求不等式的解集． [解] 原不等式变为(ax －1)(x －1)<0，因为a >0，所以a ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x －1a (x －1)<0.3分
所以当a >1时，解集为1
a <x <1； 当a ＝1时，解集为∅； 当0<a <1时，解集为1<x <1
a .
10分
综上，当0<a <1
时，不等式的解集为⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
1<x <1
a
； 当a ＝1时，不等式的解集为∅； 当a >1
时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪
⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪
⎪⎪
1a <x <1
. 12分
[规律方法] 1.解一元二次不等式的步骤： (1)使一端为0且把二次项系数化为正数．
(2)先考虑因式分解法，再考虑求根公式法或配方法或判别式法． (3)写出不等式的解集．
2．解含参数的一元二次不等式的步骤：
(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式． (2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．
(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．
[变式训练2] (1)(2018·沈阳模拟)已知不等式ax 2－bx －1>0的解集是
⎩
⎨⎧
⎭
⎬⎫
x | －12<x <－13，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是( ) 【导学号：79170186】
A ．{x |2<x <3}
B ．{x |x ≤2或x ≥3}
C ．⎩
⎨⎧
⎭
⎬⎫x |
13<x <12
D ．⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫
x ⎪⎪⎪
x <13
或x >12
(2)解不等式12x 2－ax ＞a 2(a ∈R )
(1)B [∵不等式ax 2
－bx －1>0
的解集是⎩
⎨⎧
⎭
⎬⎫
x |
－12<x <－13，
∴ax 2－bx －1＝0的解是x 1＝－12和x 2＝－1
3，且a <0，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
－12－13＝b a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫
－13＝－1a ，
解得⎩⎨⎧
a ＝－6，
b ＝5.
则不等式x 2－bx －a ≥0即为x 2－5x ＋6≥0，解得x ≤2或x ≥3.] (2)原不等式可化为12x 2－ax －a 2＞0 即(4x ＋a )(3x －a )＞0 即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 4⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －a 3＞0
当a ＞0时，－a 4＜a
3，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＜－a 4或x ＞a 3； 当a ＝0时，x 2＞0，解集为{x |x ∈R 且x ≠0}；
当a ＜0时，－a 4＞a
3，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＜a 3或x ＞－a 4.
综上所述，当a ＞0
时，不等式的解集为⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
x ＜－a 4或x ＞a
3
； 当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠0}； 当a ＜0
时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪
⎪⎪
x ＜a 3或x ＞－a
4.
角度1 形如f (x )≥0(x ∈R )求参数的范围
(2018·张掖模拟)不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，
则实数a 的取值范围是__________________．
(－2,2] [当a －2＝0，即a ＝2时，不等式即为－4<0，对一切x ∈R 恒成立， 当a ≠2时，则有⎩⎨⎧
a －2<0，
Δ＝4(a －2)2
＋16(a －2)<0， 即⎩⎨⎧
a <2，－2<a <2，
∴－2<a <2.
综上，可得实数a 的取值范围是(－2,2]．]
角度2 形如f (x )≥0()x ∈[a ，b ]求参数的范围
设函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．
[解] 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋3
4m －6<0在x ∈[1,3]
上恒成立. 3分
有以下两种方法：
法一：令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋3
4m －6，x ∈[1,3]．
当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)⇒7m －6<0， 所以m <67，所以0<m <6
7； 7分
当m ＝0时，－6<0恒成立； 当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，
所以g (x )max ＝g (1)⇒m －6<0，所以m <6，所以m <0. 综上所述：m
的取值范围是⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫m ⎪⎪⎪
m <6
7
. 12分
法二：因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋3
4>0，
又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6
x 2
－x ＋1
.
7分
因为函数y ＝
6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋3
4
在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <6
7即可．
所以m
的取值范围是⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫m ⎪⎪⎪
m <6
7
. 12分
角度3 形如f (x )≥0(参数m ∈[a ，b ])求x 的范围
对任意的k ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(k －4)x ＋4－2k 的值恒大于零，则x 的取值范围是__________．
{x |x <1或x >3} [对任意的k ∈[－1,1]，x 2＋(k －4)x ＋4－2k >0恒成立，即g (k )＝(x －2)k ＋(x 2－4x ＋4)>0， 在k ∈[－1,1]时恒成立．
只需g (－1)>0且g (1)>0，即⎩⎨⎧
x 2
－5x ＋6>0，
x 2－3x ＋2>0，
解得x <1或x >3.]
[规律方法] 1.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．
2．对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方，另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．。