高三数学第三次联考试题 理含解析 试题

靖远县2021届高三数学第三次联考试题 理〔含解析〕
本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

考生注意：
1.本套试卷分第I 卷〔选择题〕和第II 卷〔非选择题〕两局部，一共150分.考试时间是是120分钟.
2.请将各题答案填写上在答题卡上.
3.本套试卷主要考试内容：高考全部内容.
第I 卷
一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.
1.2(12i)i
-在复平面内对应的点位于〔 〕
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【答案】B 【解析】 【分析】
利用复数代数形式的运算化简，再由几何意义确定象限即可
【详解】
()()()()
2
12i 34i i 34i 43i i
i i i ------=
==-+⨯-
应选B
【点睛】此题考察复数代数形式运算及几何意义，熟记复数的代数表示法及其几何意义，是根底题． 2.设集合2
{|4}A x x =>，{|2}A B x x =<-，那么集合B 可以为〔 〕
A. {|3}x x <
B. {|31}x x -<<
C. {|3}x x >-
D. {|1}<x x
【答案】D 【解析】 【分析】
先求得集合A,再依次验证选项即可.
【详解】因为{|22}A x x x 或=-，可以依次验证选项，得到当{|1}B x x =<时，{|2}A B x x ⋂=<-. 故答案为D.
【点睛】这个题目考察了集合的交集运算，属于根底题目.
3.从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高〔单位：厘米〕分布情况汇总如表：
由此表估计这100名小学生身高的中位数为〔 〕〔结果保存4位有效数字〕 A. 119.3 B. 119.7
C. 123.3
D. 126.7
【答案】C 【解析】 【分析】
由表格数据确定每组的频率，由中位数左右频率一样求解即可.
【详解】由题身高在(] 100,110,(](]
110,120,120,130的频率依次为0.05，0.35，0.3,前两组频率和为0.4，组距为10，设中位数为x,那么()0.3
x 1200.110
-⨯= 应选C
【点睛】此题考察中位数计算，熟记中位数意义，准确计算是关键，是根底题.
4.将函数f 〔x 〕=cos 〔4x-π
3
〕的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g
〔x 〕的图象，那么g 〔x 〕的最小正周期是〔 〕 A.
π2
B. π
C. 2π
D. 4π
【答案】B 【解析】 【分析】
先由伸缩变换确定g(x),再求周期公式计算即可
【详解】由题()1ππg x ?
cos 4x cos 2x 233⎛⎫⎛
⎫=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,∴T=2π2=
π 应选B
【点睛】此题考察三角函数伸缩变换，准确记忆变换原那么是关键，是根底题.
5.如下图，某瓷器菜盘的外轮廓线是椭圆，根据图中数据可知该椭圆的离心率为〔 〕
A.
2
5
B.
35
23
25
【答案】B 【解析】 【分析】
分析图知2a,2b,那么e 可求.
【详解】由题2b=16.4,2a=20.5,那么b 4a 5，=那么离心率2
415⎛⎫-= ⎪⎝⎭
35.
【点睛】此题考察椭圆的离心率，熟记a,b 的几何意义是关键，是根底题.
6.假设函数f 〔x 〕=()x 1
2
22a x 1log x 1x 1⎧++≤⎪
⎨+⎪⎩，，＞有最大值，那么a 的取值范围为〔 〕 A. ()5,∞-+ B. [)5,∞-+ C. (),5∞-- D. (]
,5∞-- 【答案】B 【解析】 【分析】
分析函数每段的单调性确定其最值，列a 的不等式即可求解.
【详解】由题()x
f x 22a,x 1=++≤,单调递增，故()()f x f 14a,;≤=+
()()12
f x lo
g x 1,x 1,=+>单调递减，故()()f x f 11>=-,因为函数存在最大值，所以4a 1+≥-，解
a 5≥-.
应选B.
【点睛】此题考察分段函数最值，函数单调性，确定每段函数单调性及最值是关键，是根底题. 7.汉朝时，张衡得出圆周率的平方除以16等于
5
8
，如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，俯视图中的曲线为圆，利用张衡的结论可得该几何体的体积为〔 〕
A. 32
B. 40 3210
4010
【答案】C 【解析】
将三视图复原，即可求组合体体积
【详解】将三视图复原成如图几何体：半个圆柱和半个圆锥的组合体，底面半径为2，高为4，那么体
积为22
11132π24π24π2323⨯⨯+⨯⨯⨯=，利用张衡的结论可得2π53210π10V 1683
，，=∴==
应选C
【点睛】此题考察三视图，正确复原，熟记圆柱圆锥的体积是关键，是根底题
8.设x ，y 满足约束条件2020210y x x y +⎧⎪
-⎨⎪-+⎩
，
，，那么z x y =+的最大值与最小值的比值为〔 〕
A. 2-
B. 32
-
C. 1-
D. 52
-
【答案】A 【解析】
【分析】
作出不等式组所表示的可行域，平移直线z x y =+，观察直线在x 轴上获得最大值和最小值时相应的最优解，再将最优解代入目的函数可得出z 最大值和最小值，于此可得出答案． 【详解】如图，作出约束条件表示的可行域.
由图可知，当直线z x y =+经过点()25A ，
时.z 获得最大值； 当直线z x y =+经过点3,22B ⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
时，z 获得最小值.故max min 7
272
z z ==--，应选A ．
【点睛】此题考察简单的线性规划问题，一般利用平移直线利用直线在坐标轴上的截距得出最优解，考察计算才能，属于中等题．
9.假设存在等比数列{}n a ，使得()123169a a a a +=-，那么公比q 的最大值为〔 〕 15
+ 15
+ 15
-+ 15
-+ 【答案】D 【解析】 【分析】
将原式表示为1a d ，的关系式，看做关于1a 的二次型方程有解问题，利用判别式列不等式求解即可. 【详解】由题设数列的公比为q(q≠0),那么(
)2
1111
a a q a q
6a
9+=-,整理得()
22
11q q a 6a 9+-+=0,
当2
q q 0+=时，易知q=-1，符合题意；但q≠0,当2
q q +≠0时，
()
23636q q 0=-+≥，解得
1515q ---+≤≤故q 15
-+应选D
【点睛】此题考察等比数列，考察函数与方程的思想，准确转化为1a 的二次方程是关键，是中档题. 10.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，1C E 3EC =，那么异面直线AC 1与BE 所成角的余弦值为〔 〕 217
317
451
551
【答案】D 【解析】 【分析】
取1BB 靠近1B 的四等分点F ，连接1C F ，那么1C F ∥BE,连接AF,∴∠A 1C F 或者其补角为所求,在A 1C F
中利用余弦定理即可求解.
【详解】取1BB 靠近1B 的四等分点F ，连接1C F ，那么1C F ∥BE,连接AF,∴∠A 1C F 或者其补角为所求，设正方体的边长为4
，那么11AC C F AF 5,cos ===∴
∠A 1C F == 应选D
【点睛】此题考察异面直线所成的角，作平行线找角是根本思路，准确计算是关键，是根底题. 11.设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，假设a 7=5，S 5=-55，那么nS n 的最小值为〔 〕 A. 343- B. 324-
C. 320-
D. 243-
【答案】A 【解析】 【分析】
将75a S ，用1a ,d 表示，解方程组求得n S ，再设函数求导求得n nS 的最小值即可. 【
详
解
】
∵
()11a 65
5a 2d 55
d +=⎧⎨
+=-⎩解得
1a 194,
d =-⎧⎨
=⎩∴
()232n n n n 1S 19n 42n 21n,nS 2n 21n ,
2
-=-+
⨯=-∴=-设
()()()()32f x 2x 21x x 0,f x 6x x 7,=->=-'当0<x<7时，()f x 0,'<当x>7时，()f x 0'>,故n nS 的
最小值为f(7)=-343. 应选A.
【点睛】此题考察等差数列通项及求和，考察函数的思想，准确记忆公式，纯熟转化为导数求最值是关键，是中档题.
12.A ，B 分别是双曲线C ：2
2
y x 12
-=的左、右顶点，P 为C 上一点，且P 在第一象限．记直线PA ，PB
的斜率分别为k 1，k 2，当2k 1+k 2获得最小值时，△PAB 的重心坐标为〔 〕
A. ()1,1
B. 41,
3⎛⎫
⎪⎝⎭
C. 4,13⎛⎫
⎪⎝⎭
D. 44,33⎛⎫
⎪⎝⎭
【答案】B 【解析】 【分析】
设A 〔1-，0〕，B 〔1，0〕，P 〔x ，y 〕，得到12k k ＝2，利用根本不等式求解最值，得到P 的坐标，进而得到△PAB 的重心坐标.
【详解】解：设A 〔1-，0〕，B 〔1，0〕，P 〔x ，y 〕 由题意，11y k x =
+，21
y
k x =-，
∴2
1221
y k k x ==-2，21k +2k ≥=4，当且仅当2k 1＝2k 时取等号，
此时1k ＝1，PA 的方程为y ＝x +1，
22k =，PB 的方程为y ＝2()1x -
联立方程：()1
21y x y x =+⎧⎨-⎩
＝，解得P ()3,4
∴重心坐标为11300441,333-++++⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 应选B
【点睛】此题考察双曲线的简单性质的应用，考察转化思想以及计算才能，属于中档题．
第II 卷
二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13.7
17x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的展开式的第2项为_______．
【答案】5x - 【解析】
由二项式定理的通项公式求解即可
【详解】由题展开式的第2项为1
16
5
7
1C x x 7x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭
故答案为5x -
【点睛】此题考察二项式定理，熟记公式，准确计算是关键，是根底题.
14.在平行四边形ABCD 中，A 〔1，2〕，B 〔-2，0〕，()AC 23，
=-，那么点D 的坐标为______． 【答案】(6,1) 【解析】 【分析】
先求AB,再求AD 进而求D 即可
【详解】由题()AB 32AD AC AB 5,1，
，=--∴=-=-,故D(6,1) 故答案为()6,1
【点睛】此题考察向量的坐标运算，准确计算是关键，是根底题 15.假设函数()cos 1,x
f x x x =++
那么()()11lg 2lg lg 5lg 25f f f f ⎛⎫
⎛⎫
+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
_____． 【答案】6 【解析】 【分析】
确定()()f x f x 22x +-=+,再由对数的运算性质代入求值即可 【
详
解
】
由
题()()f x f x 22x ,lg2+-=+=
-
()()()1111lg ,lg5lg ,f lg2f lg f lg5f lg 222lg2lg562525⎛⎫⎛⎫
=-∴+++=⨯++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
【点睛】此题考察对数运算,函数的综合应用，考察抽象概括才能与计算才能，是中档题.
16.过点(1,0)M -引曲线C ：32y x ax a =++的两条切线，这两条切线与y 轴分别交于,A B 两点，假设
||||MA MB =，那么a =__________．
【答案】274
-
【解析】 【分析】
由MA MB =∴两切线的斜率互为相反数，设切点，求导列关于t 的方程求出t 值即可求解
【详解】设切点坐标为(
)
33
22
2t at a
t,2t at a ,y 6x a,6t a ,t 1
++++=+'∴+=+即324t 6t 0+=,解得
t=0或者t=3
,
MA MB 2
-=∴两切线的斜率互为相反数，即2a+62
302⎛⎫
⨯-= ⎪⎝⎭
,解得27a 4=- 故答案为274
-
【点睛】此题考察导数的几何意义，转化MA MB =两切线的斜率互为相反数是打破点，纯熟掌握切线的求法，准确计算是关键，是中档题.
三、解答题：本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.第17~21题为必考题，每道试题考生都必须答题.第22、23题为选考题，考生根据要求答题. 〔一〕必考题：一共60分.
17.在ABC ∆中，3sin 2sin ,tan A B C ==.
〔1〕求cos 2C ；
〔2〕假设1AC BC -=，求ABC ∆的周长.
【答案】〔1〕17
18
-
；〔2〕5. 【解析】
【分析】
〔1〕先求1cosC 6=
，由二倍角公式即可求cos2C ；〔2〕由题得3a 2b =，解得a,b 值，再由余弦定理求c 边即可求解.
【详解】〔1〕∵tanC =1cosC 6=， ∴2117cos2C 21618⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭
. 〔2〕设ΔABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c .
∵3sinA 2sinB =，∴3a 2b =，
∵AC BC b a 1-=-=，∴a 2=，b 3=.
由余弦定理可得222c a b 2abcosC 13211=+-=-=，
那么c =ΔABC 的周长为5【点睛】此题考察正余弦定理解三角形，熟记三角的根本关系式，准确运用余弦定理计算c 边是关键，是根底题.
18.某厂销售部以箱为单位销售某种零件，每箱的定价为200元，低于100箱按原价销售；不低于100箱通过双方议价，买方能以优惠8%成交的概率为，以优惠6%成交的概率为．
〔1〕甲、乙两单位都要在该厂购置150箱这种零件，两单位各自达成的成交价互相HY ，求甲单位优惠比例不低于乙单位优惠比例的概率；
〔2〕某单位需要这种零件650箱，求购置总价X 的数学期望．
【答案】〔1〕；〔2〕120640元.
【解析】
【分析】
〔1〕先求甲单位优惠比例低于乙单位优惠比例的概率，再由对立事件得概率即可求解；〔2〕先写出在折扣优惠中每箱零件的价格为Y 的取值，再列分布列求解即可
【详解】〔1〕因为甲单位优惠比例低于乙单位优惠比例的概率为0.40.60.24⨯=，
所以甲单位优惠比例不低于乙单位优惠比例的概率10.240.76-=.
〔2〕设在折扣优惠中每箱零件的价格为Y 元，那么Y 184=或者188.
Y 的分布列为
那么EY 1840.61880.4185.6=⨯+⨯=.
从而购置总价X 的数学期望为185.6650120640⨯=元. 【点睛】此题考察离散型随机变量的分布列，对立事件的概率，是根底题.
19.()1,2B 是抛物线()2:20M y px p =>上一点，F 为M 的焦点． 〔1〕假设1,2A a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，5,3C b ⎛⎫ ⎪⎝⎭
是M 上的两点，证明：FA ，FB ，FC 依次成等比数列． 〔2〕假设直线()30y kx k =-≠与M 交于()11,P x y ，()22,Q x y 两点，且12124y y y y ++=-，求线段PQ 的垂直平分线在x 轴上的截距．
【答案】〔1〕见解析；〔2〕4
【解析】
【分析】
〔1〕由B 在抛物线上，求出抛物线方程；根据抛物线焦半径公式可得FA ，FB ，FC 的长度，从而证得依次成等比数列；〔2〕将直线代入抛物线方程，消去x ，根据韦达定理求解出k ，从而可得PQ 中点坐标和垂直平分线斜率，从而求得PQ 垂直平分线所在直线方程，代入0y =求得结果.
【详解】〔1〕()1,2B 是抛物线()2:20M y px p =>上一点
42p ∴= 2p ⇒=
根据题意可得：13122FA =+=，112FB =+=，58133
FC =+= 2382423
=⨯= FA ∴，FB ，FC 依次成等比数列
〔2〕由234y kx y x
=-⎧⎨=⎩，消x 可得24120ky y --= 124y y k
∴+=，1212y y k =- 12124y y y y ++=- 4124k k
∴-=- 2k ⇒= 设PQ 的中点()00,x y
()0121212y y y k ∴=+==，()001322
x y =+= ∴线段PQ 的垂直平分线的斜率为12
- 故其直线方程为()1122
y x -=-- 当0y =时，4x =
【点睛】此题考察抛物线的几何性质、直线与抛物线综合问题，关键在于可以通过直线与抛物线方程联立，得到韦达定理的形式，从而准确求解出斜率.
20.如下图，在多面体ABCDEF 中，四边形ADEF 为正方形，AD ∥BC ，AD ⊥AB ，AD=2BC=1．
〔1〕证明：平面ADEF ⊥平面ABF ．
〔2〕假设AF ⊥平面ABCD ，二面角A-BC-E 为30°，三棱锥A-BDF 的外接球的球心为O ，求二面角A-CD-O 的余弦值．
【答案】〔1〕详见解析；〔2〕34
.
【分析】
证明AD ⊥平面ABF 即可证明平面ADEF ⊥平面ABF ；〔2〕由题确定二面角A BC E --的平面角为
ABF ∠，进而推出O 为线段BE 的中点，以A 为坐标原点建立空间直角坐标系A xyz ，
-由空间向量的线面角公式求解即可
【详解】〔1〕证明：因为四边形ADEF 为正方形，
所以AD AF ⊥，
又AD AB ⊥，AB AF A ⋂=，
所以AD ⊥平面ABF .
因为AD ⊂平面ADEF ，所以平面ADEF ⊥平面ABF .
〔2〕解：由〔1〕知AD ⊥平面ABF ，又AD BC ，那么BC ⊥平面ABF ，从而BC BF ⊥， 又BC AB ⊥，所以二面角A BC E --的平面角为ABF 30∠=.
以A 为坐标原点建立空间直角坐标系A xyz -，如下图，
那么()D 0,1,0，1C 3,,02⎫⎪⎭
，()F 0,0,1. 因为三棱锥A BDF -的外接球的球心为O ，所以O 为线段BE 的中点，
那么O 的坐标为311,,222⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，31OC 22⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭
. 设平面OCD 的法向量为()n x,y,z =，那么n OC n CD 0⋅=⋅=，
即10,210,2x z y ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩令x 1=
，得(n 1,23,=.
易知平面ACD 的一个法向量为()m 0,0,1=，
那么3cosm,n 16==⨯由图可知，二面角A CD O --为锐角，
故二面角A CD
O --【点睛】此题考察面面垂直的断定，空间向量计算线面角，第二问确定球心O 的位置是关键，是中档题.
21.函数f 〔x 〕的导函数f '〔x 〕满足〔x+xlnx 〕f '〔x 〕＞f 〔x 〕对x ∈〔1，+∞〕恒成立． 〔1〕判断函数g 〔x 〕=()
f x 1lnx +在〔1，+∞〕上的单调性，并说明理由；
〔2〕假设f 〔x 〕=e x +mx ，求m 的取值范围．
【答案】〔1〕()g x 在(1,)+∞上单调递增；〔2〕[2,)e -+∞.
【解析】
【分析】
〔1〕对()g x 求导利用条件即可判断单调性；〔2〕将()x
f x e mx =+代入条件，()()x h x e x 1xlnx mxlnx(x 1)=-++>转化为()h x 0>恒陈立，求()h x '，讨论2e m +的正负求解即可
【详解】〔1〕由()()()x xlnx f x f x '+>，()x 1,∞∈+，得()()()11lnx f x f x 0x
'+->. ()()()()()21f x 1lnx f x x g x 1lnx +-=+''，
那么()g x 0'>，
故()g x 在()1,∞+上单调递增.
〔2〕∵()x f x e mx =+，∴()()
x x x xlnx e m e mx ++>+， 即()()x x x xlnx e m e mx ++-- ()x e x 1xlnx mxlnx 0=-++>.
设函数()()x h x e x 1xlnx mxlnx(x 1)=-++>，
()()()x h x e x 1x 1lnx m 1lnx ⎡⎤'=+++++⎣⎦ ()()x 1lnx x 1e m ⎡⎤=+++⎣⎦，
∵x 1>，∴1lnx 0+>，()()x
p x x 1e m =++为增函数， 那么()()p x p 12e m >=+.
当2e m 0+≥，即m 2e ≥-时，()h x 0'>，那么()h x 在()1,∞+上单调递增，
从而()()h x h 10>=.
当2e m 0+<，即m 2e <-时，那么0x 1∃>，()0p x 0=，
假设01x x <<，()h x 0'<；假设0x x >，()h x 0'>.
从而()()()0min h x h x h 10=<=，这与()h x 0>对()x 1,∞∈+恒成立矛盾，故m 2e <-不合题意. 综上，m 的取值范围为[
)2e,∞-+.
【点睛】此题考察导数与函数的单调性问题，不等式恒成立问题，明确第二问分类讨论的HY 是关键，是中档题.
〔二〕选考题：一共10分请考生在第22、23题中任选一题答题.假如多做，那么按所做的第一题计分. 22.在直角坐标系xOy
中，直线的参数方程为1222x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
〔t 为参数〕，以坐标原点为极点，x 轴的正
半轴为极轴建立极坐标系，圆C
的极坐标方程为ρ=
〔1〕假设l 与C 相交于,A B 两点，()2,0P -，求PA PB ⋅；
〔2〕圆M 的圆心在极轴上，且圆M 经过极点，假设l 被圆M 截得的弦长为1，求圆M 的半径．
【答案】〔1〕6；〔2〕13.
【解析】
【分析】
〔1〕将直线参数方程代入圆C 的直角坐标方程，利用12PA PB t t ⋅=求解得到结果；〔2〕写出l 的普通方程并假设圆M 的直角坐标方程，利用弦长为1建立a 与d 的关系，再结合圆心到直线间隔 公式得到方程，解方程求得a ，即为圆的半径.
【详解】〔1
〕由ρ=，得2210x y +=
将1222x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
代入2210x y +=，得2260t t --=
设,A B 两点对应的参数分别为12,t t ，那么126t t =- 故126PA PB t t ⋅==
〔2〕直线l
0y -+=
设圆M 的方程为()()2220x a y a a -+=>
圆心(),0a 到直线l 的间隔
为d =
因为1=，所以()222
32144a d a +=-= 解得：13a =或者1a =-〔舍〕
那么圆M 的半径为13
【点睛】此题考察直线参数方程中参数的几何意义、极坐标与直角坐标的互化、参数方程化普通方程.解决直线参数方程问题中间隔 之和或者积的关键，是明确直线参数方程HY 形式中的参数的几何意义，将间隔 问题转化为韦达定理的形式.
23.设函数()13f x x x =-++.
〔1〕求不等式()61f x -<的解集；
〔2〕证明：2
4()24x f x x -≤≤+.
【答案】〔1〕9735(,)(,)2222
--；〔2〕详见解析. 【解析】
【分析】
〔1〕零点分段法去绝对值解不等式即可；〔2〕零点分段分情况证明()f x 2x 4<+再由绝对值不等式证明()f x 4≥即可
【详解】〔1〕∵()f x 61-<，∴()1f x 61-<-<，即()5f x 7<<，
当3x 1-≤≤时，()f x 4=显然不合；
当x 3<-时，52x 27<--<，解得97x 22
-
<<-； 当x 1>时，52x 27<+<，解得35x 22<<. 综上，不等式()f x 61-<的解集为9735,,2222⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 〔2〕证明：当3x 1-≤≤时，()f x 42x 4=≤+；
当x 3<-时，()()()f x 2x 42x 22x 460-+=----+=-<，
那么()f x 2x 4<+；
当x 1>时，()()
()f x 2x 42x 22x 420-+=+-+=-<，
那么()f x 2x 4<+.
∵()()f x x 1x 3x 1x 34=-++≥--+=，∴()f x 4≥.
∵24x 4-≤，∴()2f x 4x ≥-. 故()2
4x f x 2x 4-≤≤+. 【点睛】此题考察绝对值不等式的解法，证明不等式，纯熟运算是关键，是中档题
本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。