高三数学：山东省实验中学2024届高三2月调研考试试题和答案

山东省实验中学2024届高三调研考试
数学试题
2024.2
说明：本试卷满分150分.试题答案请用2B 铅笔和0.5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效.考试时间120分钟.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.设{}{}2
1,4,2,1,A x B x ==，若B A ⊆，则x =（
）
A.0
B.0或2
C.0或-2
D.2或-2
2.若22n
x ⎫+⎪⎭展开式中只有第6项的二项式系数最大，则n =（
）
A.9
B.10
C.11
D.12
3.已知向量()()1,3,2,2a b ==
，则cos ,a b a b +-= （
）
A.
117
B.
17
C.
5
D.
5
4.等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0.若236,,a a a 成等比数列，则{}n a 前6项的和为（）
A.-24
B.-3
C.3
D.8
5.要得到函数cos2y x =的图象，只需将函数πsin 23y x ⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图象（）
A.向右平移
π
6个单位 B.向左平移
π
6个单位C.向右平移π
12
个单位
D.向左平移π
12
个单位
6.在三棱锥P ABC -中，线段PC 上的点M 满足13PM PC =，线段PB 上的点N 满足2
3
PN PB =，则三棱锥P AMN -和三棱锥P ABC -的体积之比为（）
A.
1
9
B.
13
C.
29
D.
49
7.为研究某池塘中水生植物的覆盖水塘面积x （单位：2dm ）与水生植物的株数y （单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，用模型e (0)kx y c c =>去拟合x 与y 的关系，设ln ,z y x =与z 的数据如表格所示：得
到x 与z 的线性回归方程2ˆˆ 1.z x a =+，则c =（）
x
3
4
6
7
z
2 2.5 4.57A.-2
B.-1
C.2
e - D.1
e -8.双曲线22
22:1(0,0)x y M a b a b
-=>>的左､右顶点分别为,A B ，曲线M 上的一点C 关于x 轴的对称点为D ，
若直线AC 的斜率为m ，直线BD 的斜率为n ，则当9
mn mn
+取到最小值时，双曲线离心率为（）
A.3
B.4
D.2
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知复数z 满足210z z ++=，则（）
A.1i 22
z =-
+ B.1
z =C.2z z = D.2320240
z z z z ++++= 10.过线段()404x y x += 上一点P 作圆22:4O x y +=的两条切线，切点分别为,A B ，直线AB 与,x y 轴分别交于点,M N ，则（
）
A.点O 恒在以线段AB 为直径的圆上
B.四边形PAOB 面积的最小值为4
C.AB 的最小值为
D.OM ON +的最小值为4
11.已知函数())
ln
1f x x =+，则（
）
A.()f x 在其定义域上是单调递减函数
B.()y f x =的图象关于()0,1对称
C.()f x 的值域是()
0,∞+D.当0x >时，()()f x f x mx -- 恒成立，则m 的最大值为-1
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知随机变量(),X B n p ~.若()()30,20E X D X ==，则p =__________.
13.已知抛物线2
2(0)y px p =>的焦点F 为椭圆22
143
x y +=的右焦点，直线l 过点F 交抛物线于,A B 两点，
且8AB =.直线12,l l 分别过点,A B 且均与x 轴平行，在直线12,l l 上分别取点,M N （,M N 均在点,A B 的右侧），ABN ∠和BAM ∠的角平分线相交于点P ，则PAB 的面积为__________.
14.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为,M N 为1BD 的三等分点，动点P 在1ACB 内，且PMN 的面积为
26
3
，则点P 的轨迹长度为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）
如图所示，圆O 的半径为2，直线AM 与圆O 相切于点,4A AM =，圆O 上的点P 从点A 处逆时针转动到最高点B 处，记(],0,πAOP ∠θθ=∈.
（1）当2π
3
θ=时，求APM 的面积；（2）试确定θ的值，使得APM 的面积等于AOP 的面积的2倍.
16.（15分）
如图，直三棱柱111ABC A B C -中，,D E 分别是1,AB BB 的中点，12
AA AC CB AB ===
.
（1）证明：1BC ∥平面1A CD ；（2）求二面角1D A C E --的正弦值.17.（15分）
盒中有大小颜色相同的6个乒乓球，其中4个未使用过（称之为新球），2个使用过（称之为旧球）.每局比赛
从盒中随机取2个球作为比赛用球，比赛结束后放回盒中.使用过的球即成为旧球.（1）求一局比赛后盒中恰有3个新球的概率；
（2）设两局比赛后盒中新球的个数为X ，求X 的分布列及数学期望.18.（17分）已知函数()()21ln ,,2
f x x a x a f x =
∈'-R 是()f x 的导函数，()e x g x x =.（1）求()f x 的单调区间；（2）若()f x 有唯一零点.①求实数a 的取值范围；
②当0a >时，证明：()()4g x f x >'+.19.（17分）
已知有穷数列()12:,,,3n A a a a n 中的每一项都是不大于n 的正整数.对于满足1m n 的整数m ，令集合
(){},1,2,,k A m k a m k n === ∣.记集合()A m 中元素的个数为()s m （约定空集的元素个数为0）.
（1）若:6,3,2,5,3,7,5,5A ，求()5A 及()5s ；
（2）若
()()()
12111
n n s a s a s a +++= ，求证：12,,,n a a a 互不相同；（3）已知12,a a a b ==，若对任意的正整数(),,i j i j i j n ≠+ 都有()i i j A a +∈或()
j i j A a +∈，求
12n a a a +++ 的值.
山东省实验中学2024届高三调研考试
数学参考答案
2024.2
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.
13
13.14.
3
四､解答题：共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.【解析】
（1）过点P 作PQ AM ⊥交AM 于点Q ，如图：
因为圆O 的半径为2，
由题意2π
22cos 22cos 33
PQ θ=-=-=，所以APM 的面积为
1
4362
⨯⨯=（2）连接AP ，设AOP 的面积为1,S APM 的面积为2S ，又11
22sin 2sin 2S θθ=
⨯⨯⨯=，()()211
421cos 41cos 22
S AM PQ θθ=⋅=⨯⨯⨯-=-，
由题意212S S =，
所以()41cos 4sin θθ-=，即sin cos 1θθ+=，所以π2
sin 42
θ⎛⎫+
= ⎪
⎝
⎭，因为()0,πθ∈，所以ππ5π,444θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以π3π44θ+=，所以π2
θ=，所以当π
2
θ=
时，使得APM 的面积等于AOP 的面积的2倍.16.【解析】
（1）证明：连接1AC ，交点1A C 于点F ，则F 为1AC 的中点.又D 是AB 的中点.连接DF ，则1BC ∥DF .因为DF ⊂平面1,A CD BC ⊄平面1A CD .所以1BC ∥平面1A CD
.
（2
）解：由2
AC CB AB ==
，得AC BC ⊥.以C 为坐标原点，1,,CA CB CC
的方向分别为x 轴､y 轴､z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系
C xyz
-不妨设2CA =，则()()()11,1,0,0,2,1,2,0,2D E A .
所以()()()11,1,0,0,2,1,2,0,2CD CE CA ===
.
设()111,,n x y z =
是平面1A CD 的法向量.
则10
n CD n CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即11110220x y x z +=⎧⎨+=⎩，取()1,1,1n =-- .
同理，设()222,,m x y z =
是平面1A CE 的法向量，
则100
m CE m CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即222220220y z x z +=⎧⎨+=⎩，取()2,1,2m =- .
从而cos ,3n m n m n m ⋅==
，故sin ,3
n m =
.
所以二面角1D A C E --
的正弦值为3
.17.【解析】
解答：（1）1124268
15
C C P C ==（2）X 的可能取值为0,1,2,3,4.
()224222666
0225
C C P X C C ==⋅=，
()221111
3442422222666672
1225
C C C C C C P X C C C C ==⋅+⋅=，
()11221122
33444224222222666666114
2225C C C C C C C C P X C C C C C C ==⋅+⋅+⋅=，
()2211113242422222666632
3225C C C C C C P X C C C C ==⋅+⋅=，
()222222661
4225
C C P X C C ==⋅=，
所以X 的分布列为
X 01234
P
622572225114225322251225
()67211432116012342252252252252259
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯=.18.【解析】
解：（1）()f x 的定义域为()()2
0,,a x a
f x x x x
∞'-+=-=，
当0a 时，()0f x '>恒成立，故()f x 的单调递增区间是()0,∞+，无单调递减区间；
当0a >时，令()0f x '>得x >；令()0f x '<得0x <<；
所以()f x 单调递减区间为(；单调递增区间为)
∞
+（2）①法一；
当0a =时，()f x 没有零点，不符合题意；当0a <时，函数()f x 在()0,∞+单调递增，因为()()2211
ln 122
f x x a x x a x =
-<--，
取0m a =>，则()0f m <，又()1
102
f =
>，故存在唯一()0,1x m ∈，使得()00f x =，符合题意；（此处用极限说明也可以）
当0a >时，由（1）可知，()f x 有唯一零点只需0f =，
即
ln 022
a a
a -=，解得e a =；综上，a 的取值范围为(){},0e ∞-⋃.法二：
当0a =时，()f x 没有零点，不符合题意；
所以()2
1ln 02x f x a x =⇔
=，令()2ln x x x ϕ=，则()3
12ln x
x x ϕ'-=，
当(x ∈时，()()0,x x ϕϕ'>单调递增；
当)
x ∞∈+时，()()0,x x ϕϕ'<单调递减；
又lim ()0x x ϕ→+∞
=.
所以
102a <或1122e
a ϕ==，即0a <或e a =，
综上，a 的取值范围为(){},0e ∞-⋃.②由①得出e a =，令()1e 2e (0)2x
h x x x x ⎛
⎫
=--
> ⎪⎝
⎭
()()1e 2e x h x x =+-'，
()()2e 0x h x x =+'>'，所以()h x '单调递增，又()10h '=，
故当()0,1x ∈时，()()0,h x h x '<单调递减；当()1,x ∞∈+时，()()0,h x h x '>单调递增；故()()10h x h = ，故()1e 2e 2x
g x x x ⎛⎫=-
⎪⎝
⎭
要证()()4g x f x >'+，只需证明()1e
2e 442x f x x x
⎛⎫->'+=-+ ⎪⎝
⎭，即证()()2
2e 1e 4e 0x x --++>，
由2
2229595Δ12e 167e 12e e 16e e 12e 16e 2222⎛
⎫=+-=-
+-=-+- ⎪⎝
⎭95e 12 2.7167.2022⎛⎫
<-⨯+-⨯< ⎪⎝⎭
，
所以()()2
2e 1e 4e 0x x --++>成立.故不等式得证.
19.【解析】
解：（1）因为4785a a a ===，所以(){}54,7,8A =，则()53s =.（2）依题意()1,1,2,,i s a i n = ，
则有()11i s a ，因此()()()
12111n n s a s a s a +++ ，又因为
()()()
12111
n n s a s a s a +++= ，所以()1i s a =，所以12,,,n a a a 互不相同.（3）依题意12,a a a b ==.
由()i i j A a +∈或()
j i j A a +∈，知i j i a a +=或i j j a a +=.令1j =，可得1i i a a +=或11i a a +=，对于2,3,,1i n =- 成立，故32a a =或31a a =.
①当a b =时，34n a a a a ==== ，所以12n a a a na +++= ②当a b ≠时，3a a =或3a b =.
当3a a =时，由43a a =或41a a =，有4a a =，
同理56n a a a a ==== ，所以()121n a a a n a b +++=-+ 当3a b =时，此时有23a a b ==，
令1,3i j ==，可得()4A a ∈或()4A b ∈，即4a a =或4a b =.
令1,4i j ==，可得()5A a ∈或()5A b ∈.令2,3i j ==，可得()5A b ∈.所以5a b =.若4a a =，则令1,4i j ==，可得5a a =，与5a b =矛盾.所以有4a b =.不妨设()235,
k a a a b k ==== 令(),12,3,,1i t j k t t k ==+-=- ，可得()1k A b +∈，因此1k a b +=.令1,i j k ==，则1k a a +=或1k a b +=.故1k a b +=.所以()121n a a a n b a +++=-+ 综上，a b =时，12n a a a na +++= .
3a a b =≠时，()121n a a a n a b +++=-+ .。