2019年高考数学(文科)一轮分层演练：第10章概率、统计和统计案例第5讲(含答案解析)

[学生用书P281(单独成册)]
一、选择题
1．某商品的销售量y (件)与销售价格x (元/件)存在线性相关关系．根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^
＝－5x ＋150，则下列结论正确的是( )
A ．y 与x 具有正的线性相关关系
B ．若r 表示y 与x 之间的线性相关系数，则r ＝－5
C ．当销售价格为10元时，销售量为100件
D ．当销售价格为10元时，销售量为100件左右
解析：选D ．由回归直线方程知，y 与x 具有负的线性相关关系，A 错，若r 表示y 与x 之间的线性相关系数，则|r |≤1，B 错．当销售价格为10元时，y ^
＝－5×10＋150＝100，即销售量为100件左右，C 错，故选D ．
2．(2018·湖南湘中名校联考)利用独立性检验来考虑两个分类变量X 和Y 是否有关系时，通过查阅下表来确定“X 和Y 有关系”的可信度．如果k >3．841，那么有把握认为“X 和Y 有关系”的百分比为( )
A C ．99．5%
D ．95%
解析：选D ．由图表中数据可得，当k >3．841时，有95%的把握认为“X 和Y 有关系”，故选D ． 3．(2018·湖北七市(州)联考)广告投入对商品的销售额有较大影响．某电商对连续5个年度的广告费x 和销售额y 进行统计，得到统计数据如下表(单位：万元)：
由上表可得回归方程为y ^＝10．2x ＋a ，据此模型，预测广告费为10万元时销售额约为( ) A ．101．2万元 B ．108．8万元 C ．111．2万元
D ．118．2万元
解析：选C ．根据统计数据表，可得x －＝15×(2＋3＋4＋5＋6)＝4，y －＝1
5×(29＋41＋50＋59＋71)＝50，
而回归直线y ^＝10．2x ＋a ^经过样本点的中心(4，50)，所以50＝10．2×4＋a ^，解得a ^
＝9．2，所以回归方程为y ^
＝10．2x ＋9．2，所以当x ＝10时，y ＝10．2×10＋9．2＝111．2，故选C ．
4．某考察团对10个城市的职工人均工资x (千元)与居民人均消费y (千元)进行调查统计，得出y 与x 具
有线性相关关系，且回归方程为y ^
＝0．6x ＋1．2．若某城市职工人均工资为5千元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为( )
A ．66%
B ．67%
C ．79%
D ．84%
解析：选D ．因为y 与x 具有线性相关关系，满足回归方程y ^
＝0．6x ＋1．2，该城市居民人均工资为x ＝5，所以可以估计该城市的职工人均消费水平y ^
＝0．6×5＋1．2＝4．2，所以可以估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为4.2
5
＝84%．
二、填空题
5．经调查某地若干户家庭的年收入x (万元)和年饮食支出y (万元)具有线性相关关系，并得到y 关于x 的回归直线方程：y ^
＝0．245x ＋0．321，由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．
解析：x 变为x ＋1，y ^
＝0．245(x ＋1)＋0．321＝0．245x ＋0．321＋0．245，因此家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加0．245万元．
答案：0．245
6．在2018年1月15日那天，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示：
由散点图可知，销售量y 与价格x 之间有较强的线性相关关系，其线性回归方程是y ^
＝－3．2x ＋40，且m ＋n ＝20，则n ＝________．
解析：x －＝9＋9.5＋m ＋10.5＋115＝8＋m 5，y －＝11＋n ＋8＋6＋55＝6＋n 5，回归直线一定经过样本中心(x －
，
y －
)，即6＋n 5
＝－3．2⎝⎛⎭⎫8＋m 5＋40， 即3．2m ＋n ＝42．
又因为m ＋n ＝20，即⎩⎪⎨⎪⎧3.2m ＋n ＝42，m ＋n ＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝10，n ＝10，
故n ＝10． 答案：10 三、解答题
7．某公司的广告费支出x (单位：万元)与销售额y (单位：万元)之间有下列对应数据：
(1)(2)根据表中提供的数据，求出y 与x 的回归方程y ^＝b ^x ＋a ^
；
(3)预测销售额为115万元时，大约需要多少万元广告费． 解：(1)散点图如图．
由图可判断：广告费与销售额具有相关关系．
(2)x －＝15×(2＋4＋5＋6＋8)＝5，y －＝1
5
×(30＋40＋60＋50＋70)＝50，
∑5i ＝1x i y i ＝2×30＋4×40＋5×60＋6×50＋8×70＝1 380，
∑5
i ＝
1
x 2i ＝22＋42＋52＋62＋82
＝145， b ^＝
∑5
i ＝
1x i y i －5x －y －
∑5i ＝
1
x 2
i －5x －2＝1 380－5×5×50145－5×52＝6．5， a ^＝y －－b ^x －＝50－6．5×5＝17．5．所以线性回归方程为y ^
＝6．5x ＋17．5． (3)由题得y ＝115时，6．5x ＋17．5＝115，得x ＝15． 故预测销售额为115万元时，大约需要15万元的广告费．
8．(2018·郑州第一次质量预测)近年来郑州空气污染较为严重，现随机抽取一年(365天)内100天的空气中PM2．5指数的检测数据，统计结果如下：
企业没有造成经济损失；当x 在区间(100，300]内时对企业造成的经济损失成直线模型(当PM2．5指数为150时造成的经济损失为500元，当PM2．5指数为200时，造成的经济损失为700元)；当PM2．5指数大于300时造成的经济损失为2 000元．
(1)试写出S (x )的表达式；
(2)试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S 大于500元且不超过900元的概率；
(3)若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面列联表，并判断是否有95%的把握认为郑州市本年度空气重度污染与供暖有关？
附：
K 2
＝n （ad －bc ）（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），其中n ＝a ＋b ＋c ＋d ．
解：(1)依题意，可得S (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧0，x ∈[0，100]4x －100，x ∈（100，300].2 000，x
∈（300，＋∞）
(2)设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S 大于500元且不超过900元”为事件A ， 由500<S ≤900，得150<x ≤250，频数为39
，P (A )＝39
100．
(3)根据题中数据得到如下2×2列联表：
K 2
的观测值k ＝100×（63×8－22×7）85×15×30×70≈4．575>3．841，
所以有95%的把握认为空气重度污染与供暖有关．
1．中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”．为了了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研．人社部从网上年龄在15～65的人群中随机调查100人，调查数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下：
退休年龄政策”的支持度有差异；
(2)若以458人参加某项活动．现从这8人中随机抽取2人，求至少有1人是45岁以上的概率．
参考数据：
K 2
＝n （（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）
解：(1)
因为K 2
＝100×（35×5－45×15）50×50×80×20
＝6．25>3．841，
所以有95%的把握认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异． (2)从不支持“延迟退休”的人中，45岁以下应抽6人，45岁以上应抽2人． 记45岁以下的为1，2，3，4，5，6；45岁以上的为A ，B ， 则有1→2，3，4，5，6，A ，B ， 2→3，4，5，6，A ，B ， 3→4，5，6，A ，B ， 4→5，6，A ，B ， 5→6，A ，B ， 6→A ，B ， A →B ，
故所求概率为13
28
．
2．(2018·广东汕头模拟)二手车经销商小王对其所经营的A 型号二手汽车的使用年数x 与销售价格y (单位：万元/辆)进行整理，得到如下数据：
下面是z 关于x
(1)由折线图可以看出，可以用线性回归模型拟合z 与x 的关系，请用相关系数加以说明；
(2)求y 关于x 的回归方程，并预测某辆A 型号二手车当使用年数为9年时售价约为多少；(b ^、a ^
小数点后保留两位有效数字)
(3)基于成本的考虑，该型号二手车的售价不得低于7 118元，请根据(2)求出的回归方程预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过多少年．
参考公式：b ^
＝
∑n
i ＝
1
（x i －x －）（y i －y －
）∑n
i ＝
1
（x i －x －）2
＝
∑n
i ＝
1
x i y i －n x －y －
∑n
i ＝
1
x 2i －n x －2，a ^＝y －－b ^x －
，r ＝
∑n
i ＝
1 （x i －x －）（y i －y －
）∑n
i ＝
1
（x i －x －）2∑n
i ＝
1
（y i －y －）2
参考数据：
∑6i ＝1
x i y i ＝187．4，∑6i ＝1
x i z i ＝47．64，∑6
i ＝
1
x 2i ＝139， ∑6
i ＝
1 （x i －x －）2
≈4．18， ∑6
i ＝
1
（y i －y －）2≈13．96， ∑6
i ＝
1
（z i －z －）2≈1．53，ln 1．46≈0．38，ln 0．711 8≈－0．34． 解：(1)由题意，知x －＝1
6×(2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4．5，
z －＝1
6
×(3＋2．48＋2．08＋1．86＋1．48＋1．10)＝2，
又∑6
i ＝
1x i z i ＝47．64， ∑6
i ＝
1 （x i －x －）2
≈4．18， ∑6
i ＝
1
（z i －z －）2≈1．53， 所以r ＝47.64－6×4.5×24.18×1.53
＝－ 6.366.395 4≈－0．99，
所以z 与x 的相关系数大约为－0．99，说明z 与x 的线性相关程度很高． (2)b ^＝47.64－6×4.5×2
139－6×4.5
2＝－6.3617.5≈－0．36，
所以a ^＝z －－b ^x －
＝2＋0．36×4．5＝3．62， 所以z 与x 的线性回归方程是z ^
＝－0．36x ＋3．62， 又z ＝ln y ，
所以y 关于x 的回归方程是y ^＝e －0．36x ＋3．
62． 令x ＝9，
得y ^＝e －0．36×9＋3．62＝e 0．
38，因为ln 1．46≈0．38，所以y ^＝1．46， 即预测某辆A 型号二手车当使用年数为9年时售价约为1．46万元． (3)当y ^
≥0．711 8， 即e
－0．36x ＋3．62
≥0．711 8＝e ln 0
．711 8
＝e
－0．34
时，
则有－0．36x ＋3．62≥－0．34， 解得x ≤11，
因此，预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过11年．。