2021年高二数学周练18 理

2021年高二数学周练18 理
一、选择题：
1．双曲线的一个焦点坐标是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．（1，0）
2．某大学中文系共有本科生5000人，其中一、二、三、四年级的学生比为5：4：3：1，要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为260的样本，则应抽二年级的学生（ ） A ．
100人
B ． 60人
C ． 80人
D ． 20人
3．已知具有线性相关的两个变量之间的一组数据如下：
且回归方程是的预测值为 （ ）
A ．8.4
B ．8.3
C ．8.2
D ．8.1
4. 设且，则“函数在上是减函数 ”，是“函数在上是增函数”的（ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件
（D ）既不充分也不必要条件 5．函数有（ ）
A
．极大值，极小值 B ．极大值，极小值 C ．极大值，无极小值 D ．极小值，无极大值
6. 过抛物线 y 2
= 4x 的焦点作直线交抛物线于A （x
1, y 1）B （x 2, y 2
）两点，如果=10， 那么＝ （ ）
A. 11
B. 12 C .13 D .14 7．函数的图象如图所示，则导函数的图象大致是 （ ）
f
图
8．阅读如右图所示的算法框图，运行相应的程序，输出的结果是( ) A.1
B ．2
C ．3
D ．4
9．如图，A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱，∠BCA=90°，点D 1、F 1分别是A 1B 1、A 1C 1的中点，若BC=CA=CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10.已知椭圆与双曲线有共同的焦点，，椭圆的一个短轴端点为，直线与双曲线的一条渐近线平行，椭圆与双曲线的离心率分别为，则取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：
11．已知平面的法向量是，平面的法向量是，若，则的值是 . 12..已知=________;
13.命题“”为假命题，则实数的取值范围为 . 14.已知方程有实数解，则实数的取值范围是 。

15.抛物线的焦点为，在抛物线上，且，弦的中点在其准线上的射影为，则的最大值为 三．解答题。

16．我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出。

某市政府为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水量的标准，为了确定一个较为合理的标准，必须先了解全市居民日常用水量的分布情况。

现采用抽样调查的方式，获得了n 位居民某年的月均用水量（单位：t ），样本统计结果如下图表：
（I ）分别求出n ，a ，b 的值；
（II ）若从样本中月均用水量在[5，6]（单位：t ）的5位居民中任选2人作进一步的调查研究，求月均用水量最多的居民被选中的概率（5位居民的月均用水量均不相等）
17.已知定点F(2,0)和定直线，动点P到定点F的距离比到定直线的距离少1，记动点P的轨迹为曲线C
（1）求曲线C的方程.
（2）若以M(2,3)为圆心的圆与抛物线交于A、B不同两点，且线段AB是此圆的直径时，求直线AB的方程
18．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AB⊥BB1，AC＝BC＝BB1＝2，D为AB的中点，且CD⊥DA1.
( 1 ) 求证：BB1⊥平面ABC；
( 2 ) 求二面角C－DA1－C1的余弦值．
19.已知函数，其中是自然对数的底数，．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若，求的单调区间；
（3）若，函数的图象与函数的图象有3个不同的交点，求实数的取值范围.
德化一中高二数学（理）周练18参考答案
一、选择题：ACBAC BDDAD
二、11.6 12.1 13. 14. 15.
三．解答题。

16．本题考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、推理论证能力和运算求解能力，考查数形结合、有限与无限等数学思想方法．满分12分．
解：（Ⅰ）由频率分布直方图得月均用水量在的频率为0．25，即=0．25------------- 2分
又，----------------------------------4分
---------------------------------------------6分
（Ⅱ）记样本中月均用水量在（单位：t ）的5位居民为a ,b ,c ,d ,e , 且不妨设e 为月均用水量最多的居民．记月均用水量最多的居民被选中为事件，所以基本事件为：（a ，b ），（a ，c ），（a ，d ），（a ，e ），（b ，c ），（b ，d ），（b ，e ），（c ，d ），（c ，e ），（d ，e ） 共计10个基本事件--------10分 事件包含的基本事件有（a ，e ），（b ，e ），（c ，e ），（d ，e ），共4个--------12分 所以月均用水量最多的居民被选中概率---------------------------13分
17.（1）由题意知，P 到F 的距离等于P 到直线的距离， …………………………4分 所以P 的轨迹C 是以F 为焦点，直线为准线的抛物线，它的方程为 ……………………………6分
（2）设则 ………………………7分 ……………………………9分 由AB 为圆M 的直径知，
故直线的斜率为 ……………………………12分
直线AB 的方程为即 ……………………………13分
18.(1)证明：∵AC ＝BC ，D 为AB 的中点，∴CD ⊥AB ，……………………………2分
又CD ⊥DA 1，AB ∩A 1D ＝D ，∴CD ⊥平面AA 1B 1B ，∴CD ⊥BB 1，……………………………4分 又BB 1⊥AB ，AB ∩CD ＝D ，∴BB 1⊥平面ABC .……………………………6分
(2)以C 为原点，分别以CB →，CC 1→，CA →
的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立 空间直角坐标系(如图所示)，
则C (0,0,0)，B (2,0,0)，A (0,0,2)，C 1(0,2,0)，A 1(0,2,2)，D (1,0,1)．…………………7分 设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面DCA 1的法向量，
则有⎩⎨⎧
n 1·CD →＝0n 1
·CA 1
→
＝0
，即⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 1＋z 1＝0
2y 1＋2z 1＝0，∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 1＝－z 1
y 1＝－z 1，
故可取n 1＝(1,1，－1)．………9分
同理设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面DC 1A 1的法向量，且C 1D →＝(1，－2,1)，C 1A 1→
＝(0,0,2)． 则有⎩⎨⎧
n 2
·C 1
D →
＝0n 2·C 1A 1
→＝0
，即⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 2－2y 2＋z 2＝0
2z 2＝0，∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 2＝2y 2
z 2＝0.
故可取n 2＝(2,1,0)．……10分
∴cos〈n 1，n 2〉＝
n 1·n 2|n 1||n 2|＝33×5
＝15
5，……………………………12分
又二面角C －DA 1－C 1的平面角为锐角，所以其余弦值为15
5
.……………………13分
19. 解：（1），，
， ………………1分
曲线在点处的切线斜率为. …………2分 又，所求切线方程为，即．……3分 （2），
①若，当或时，； 当时，.
的单调递减区间为，；
单调递增区间为. …………………5分 ②若，，
的单调递减区间为. …………………6分 ③若，当或时，； 当时，.
的单调递减区间为，；
单调递增区间为. …………………8分 （3）当时，由（2）③知，在上单调递减， 在单调递增，在上单调递减， 在处取得极小值，
在处取得极大值. ……………10分 由，得. 当或时，；当时，.
在上单调递增，在单调递减，在上单调递增. 故在处取得极大值，
在处取得极小值. …………………12分 函数与函数的图象有3个不同的交点， ，即. .…………14分 \
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