22.2降次-解一元二次方程

1．通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫做配方法.可以看出, 配方是为了降次,把一个一元二次方程转化成两个一元二次方程来解.
2. 一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由方程的系数a,b,c 确定.因此,解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式20ax bx c ++=,当2
40b ac -≥,将a,b,c 代入式
子2b x a
-±=就得到方程的根.这个式子就叫做一元二次方程的求根公式,利用它解一元二次方程的方法叫做公式法.由求根公式可知, 一元二次方程最多有两个实数根.
3.用因式分解的方法使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0.从而实现降次,这种解法叫做因式分解法.
4.配方法要先配方,再降次;通过配方法可以推出求根公式,公式法直接利用求根公式; 因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘,另一边为0,再分别使各个一次式等于0.配方法、公式法适用于所有一元二次方程, 因式分解法用于某些一元二次方程.总之,解一元二次方程的基本思想是:将二次方程化为一次方程,即降次.
例1． 用配方法解下列方程：
（1）2820x x -+= （2）2
2490x x +-=
解:(1)移项，得282x x -=-
配方 2228424x x -+=-+ 2(4)14x -=
由此可得 4x -=
124,4x x ==.
(2) 移项，得2249x x +=
二次项系数化为1,得2922
x x += 配方22292112x x ++=+ 即 211(1)2
x +=
∴12
x +=±∴121,122x x =-=-- 评注：运用配方法解一元二次方程,先移项把含有未知数的项移到方程左边,常数项移到方程的右边,再在方程的两边同时除以二次项的系数,把二次项的系数化为“1” 的形式,然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方,把方程化为2
()ax b m +=的形式,再用直接开平方的方法求解.配方的关键是在二次项系数为1的形式下,方程的两边同时加上一次项系数一半的平方.
(A) k>43 (B) k>43且k ≠1 (C) k<43 (D) k>-43且k ≠1 例2. 解下列方程
(1)2
104
x -+= (2)(3)30x x x --+= 解
:(1)11,4a b c ===
,2214(4114b ac -=-⨯⨯=
x ==
12x x =
= (2)因式分解,得(1)(3)0x x --=
于是得 10x -=或30x -=
121,3x x ==
评注：掌握好一元二次方程的求根公式是本节的重点,这是学好本章内容的关键. 因式分解法求根,解答过程较简单,但并不具有普遍意义.解一元二次方程具有普遍意义的是一元二次方程的求根公式.
一、选一选（请将唯一正确答案的代号填入题后括号内）
1.用配方法解方程x 2+x =2，应把方程的两边同时（ ）.
(A)加41 (B)加2
1 (C)减41 (D)减21 2．用配方法解关于x 的方程20x px q ++=时，此方程可变形为（ ）.
(A)224()24p p q x -+= (B)2
2424p q p x -⎛⎫+= ⎪⎝⎭ (C)22422p p q x -⎛⎫-= ⎪⎝⎭ (D)22424p q p x -⎛⎫-= ⎪⎝⎭
3. 下列方程中,没有实数根的是（ ）.
（A ）23240x x --= （B ）210x x -+= （C ）230x x -= （D ）2
210x x ++=
4.不解方程,判别方程x 2-3x+1=0的根的情况是( ).
(A)有两个相等的实数根 (B)有两个不相等的实数根
(C)只有一个实数根 (D)没有实数根
5.若关于x 的一元二次方程(k-1)x 2-2kx+k-3=0有不等的两实根,则k 的范围是( ).
6. 用因式分解法解方程x(x-3)=2(x+1)-8时, 方程可变形为（ ）.
(A)(x-1)(x+6)=0 (B)(x+1)(x-6)=0 (C)(x+2)(x+3)=0 (D)(x-2)(x-3)=0
7.若关于x 的方程x 2+mx+n=0的两根为x 1=2，x 2=-3，三项式x 2
+mx+n 可分解为（ ）.
（A ）(x+2)(x+3) （B ）(x-2)(x-3) （C ）(x+2)(x-3) （D ）(x-2)(x+3)
8.若关于x 的方程（a+c ）x 2+2bx-a+c=0有两个相等的实数根，其中a 、b 、c 分别为△ABC 的三边，则△ABC 的一定是（ ）.
(A)等腰三角形 (B)等边三角形 (C)直角三角形 (D)等腰直角三角形
二、填一填
9.将方程2430x x -+=用配方法化成()2x m n +=的形式为__________，此方程的根为_____.
10.方程4x 2
-kx+1=0有两个相等的实数根，则k 的值是 .
11.若方程2x 2-8x+m=0有解，则m 的取值范围为 .
12.多项式212x px ++可分解为两个一次因式的积，请你任意写出一个符合条件的p 值 .
三、做一做
13. 解下列方程
(1)2470x x --=. (2)2230x x +-= (3)3(1)2(1)x x x -=-
14.阅读材料解答问题
为解方程222(1)5(1)40x x ---+=,我们可以将21x -视为一个整体,设21x -=y,则222(1)x y -=,原方程化为2540y y -+=,解得124,1y y ==.
当y=4时,214x x -=∴=
当y=1时,211x x -=∴=.
∴原方程的解为1234x x x x ==请利用上述方法解方程:42
60x x --=
15．如图，有一块梯形铁板ABCD ，AB ∥CD ，∠A =90°，AB =6 m ，CD =4 m ，AD =2 m ，现在梯形中裁出一内接矩形铁板AEFG ，使E 在AB 上，F 在BC 上，G 在AD 上，若矩形
铁板的面积为5 m 2，则矩形的一边EF 长为多少？
四、试一试
16.某商店如果将进货为8元的商品按每件10元售出,每天可销售200件,通过一段时间的摸索.该店发现这种商品每涨价0.5元,其销量就减少10件,每降价0.5元,其销量就增加10件.
(1)你能帮助店主设计一种方案,使每天的利润达到700元吗?
(2)将售价定为每件多少时,能使这天所获得的利润最大?最大利润是多少?
一、1.A 2.A 3.B 4.B 5.B 6.D 7.D 8.C
二、9.()221x -=,121,2x x == 10.4k =± 11.8m ≤ 12.13、8等
三、13.(1)1222x x ==；(2)1231,2x x ==-
；（3）1221,3
x x == .
14.12x x ==
15.设EF=x 米，依题意有：(6)5x x -=.解得121,5()x x ==舍去∴EF=5米.
16.(1)解:每件商品提高x 元,依题意得(x+2)(200-20x)=700,整理得28150x x -+=,解得123,5x x ==,∴把每件商品定为每件13元或者15元能使每天利润达到700元.
(2)设每天利润为y 元.依题意有2(2)(20020)20(4)720y x x x =+-=--+ 2220(4)0420(4)720,720x x x --≤∴=--+ 当时,最大最大值为.
即每件售价为14元时,每天所获得利润最大,最大利润为720元.。