高中数学 第2章 第21课时 平面向量数量积的物理背景及

课时作业(二十一) 平面向量数量积
的物理背景及其含义
A 组 基础巩固
1．若|a |＝2，|b |＝4，向量a 与向量b 的夹角为120°，则向量a 在向量b 方向上的投影等于( )
A ．－3
B ．－2
C ．2
D ．－1
解析：a 在b 方向上的投影是|a |cos θ＝2×cos120°＝－1，故选D. 答案：D
2.2015·山西大同市高一检测已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3，且3a ＋2b 与λa －b 垂直，则λ等于( )
A.32 B ．－32 C ．±3
2
D ．1
解析：∵(3a ＋2b )·(λa －b )＝3λa 2＋(2λ－3)a·b －2b 2＝3λa 2－2b 2
＝12λ－18＝0.
∴λ＝3
2，故选A.
答案：A
3．已知向量a ，b 满足a·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|2a －b |等于( ) A ．0 B ．2 2 C ．4 D ．8
解析：|2a －b |2＝(2a －b )2＝4|a |2－4a·b ＋|b |2
＝4×1－4×0＋4＝8，∴|2a －b |＝22，故选B.
答案：B
4.2015·山东德州市高一检测在边长为1的等边△ABC 中，设BC →＝a ，CA →＝b ，AB →
＝c ，则a·b ＋b·c ＋c·a 等于( )
A ．－3
2 B ．0
C.3
2
D ．3 解析：a·b ＝BC →·CA →＝－CB →·CA →＝－|CB →||CA →
|cos60°＝－12.同理b·c ＝－1
2
，c·a ＝
－12
， ∴a ·b ＋b·c ＋c·a ＝－3
2
，故选A.
答案：A
5．若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，则a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°
解析：由(2a ＋b )·b ＝0，得2a·b ＋b 2
＝0，设a 与b 的夹角为θ，
∴2|a ||b |cos θ＋|b |2
＝0.
∴cos θ＝－|b |22|a ||b |＝－|b |22|b |2＝－1
2
，
∴θ＝120°，故选C. 答案：C
6.2015·河北沧州市高一统测若向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模为( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．12
解析：∵a ·b ＝|a |·|b |·cos60°＝2|a |，
∴(a ＋2b )·(a －3b )＝|a |2－6|b |2－a·b ＝|a |2
－2|a |－96＝－72. ∴|a |＝6，故选C. 答案：C 7．已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝|b |＝4，那么b ·(2a ＋b )的值为__________．
解析：b ·(2a ＋b )＝2a·b ＋|b |2＝2×4×4×cos120°＋42
＝0. 答案：0
8．给出下列结论：
①若a ≠0，a·b ＝0，则b ＝0；②若a·b ＝b·c ，则a ＝c ；③(a·b )c ＝a (b ·c )；④a ·[b (a·c )－c (a·b )]＝0.
其中正确结论的序号是__________．
解析：因为两个非零向量a 、b 垂直时，a·b ＝0，故①不正确；当a ＝0，b ⊥c 时，a·b ＝b·c ＝0，但不能得出a ＝c ，故②不正确；向量(a·b )c 与c 共线，a (b·c )与a 共线，故③不正确；④正确，a ·[b (a·c )－c (a·b )]＝(a·b )(a·c )－(a·c )(a·b )＝0.
答案：④
9．设非零向量a 、b 、c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则〈a ，b 〉＝__________.
解析：∵a ＋b ＝c ，∴|c |2＝|a ＋b |2＝a 2＋2a·b ＋b 2
.
又|a |＝|b |＝|c |，∴2a·b ＝－b 2
，
即2|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝－|b |2
.
∴cos 〈a ，b 〉＝－1
2
，∴〈a ，b 〉＝120°.
答案：120° 10．设n 和m 是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a ＝2m ＋n 与b ＝2n －3m 的夹角． 解析：∵|n |＝|m |＝1且m 与n 夹角是60°，
∴m·n ＝|m ||n |cos60°＝1×1×12＝1
2
.
|a |＝|2m ＋n |＝
2m ＋n
2
＝4×1＋1＋4m·n ＝
4×1＋1＋4×1
2
＝7，
|b |＝|2n －3m |＝2n －3m 2
＝4×1＋9×1－12m·n
＝4×1＋9×1－12×1
2
＝7，
a·b ＝(2m ＋n )·(2n －3m )
＝m·n －6m 2＋2n 2
＝12－6×1＋2×1＝－72
. 设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b |a ||b |＝－
72
7×7
＝－12.
又θ∈[0，π]，∴θ＝2π3，故a 与b 的夹角为2π
3
.
B 组 能力提升
11．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足AP →＝2PM →，则AP →·(PB →＋PC →
)等于( )
A.49
B.43 C ．－43 D ．－49
解析：∵AM ＝1，且AP →＝2PM →
， ∴|AP →
|＝2
3
.
如图，AP →·(PB →＋PC →)＝AP →·2PM →＝AP →·AP →＝AP →
2
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝49
.
答案：A
12.2015·福建三明市高一月考设向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，(a －b )⊥c ，a ⊥b ，若|a |＝1，则|a |2＋|b |2＋|c |2的值是__________．
解析：由a ＋b ＋c ＝0，得(a ＋b ＋c )2＝0，a 2＋b 2＋c 2
＋2(a ·b ＋b ·c ＋c·a )＝0. 又∵(a －b )⊥c ，a ⊥b ，∴(a －b )·c ＝0，a ·b ＝0， ∴a·c ＝b·c .
∴a 2＋b 2＋c 2＝－4b·c ，b 2＋c 2
＝－1－4b·c .①
由a ＋b ＋c ＝0，得b ＋c ＝－a ，故(b ＋c )2＝1，即b 2＋c 2
＋2b·c ＝1.②
由①②得b·c ＝－1，故a 2＋b 2＋c 2＝4，即|a |2＋|b |2＋|c |2
＝4. 答案：4
13．已知a ，b 是两个非零向量，当a ＋t b (t ∈R )的模取得最小值时， (1)求t 的值(用a ，b 表示)； (2)求证：b 与a ＋t b 垂直．
解析：(1)|a ＋t b |2
＝a 2
＋t 2b 2
＋2t a·b ＝b 2
⎝
⎛⎭⎪⎫t ＋a·b b 22＋a 2
－
a·b 2
b 2.当t ＝－
a·b
b 2
时，|a ＋t b |取最小值．
(2)因为：(a ＋t b )·b ＝a·b ＋t b 2
＝a·b －
a·b b 2
×b 2
＝0，所以a ＋t b 与b 垂直． 14．已知a ，b 均是非零向量，设a 与b 的夹角为θ，是否存在这样的θ，使|a ＋b |＝3|a －b |成立？若存在，求出θ的值；若不存在，请说明理由．
解析：假设存在满足条件的θ， ∵|a ＋b |＝3|a －b |，
∴(a ＋b )2＝3(a －b )2
.
∴|a |2＋2a·b ＋|b |2＝3(|a |2－2a·b ＋|b |2
)．
∴|a |2－4a·b ＋|b |2
＝0.
∴|a |2－4|a ||b |cos θ＋|b |2
＝0. ∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
cos θ＞0，
Δ＝4|b |cos θ2－4|b |2
≥0，
解得cos θ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，1.
又∵θ∈[0，π]，∴θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3.故当θ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π3时，
|a ＋b |＝3|a －b |成立．
15.附加题·选做
2015·福建三明市高一月考(1)已知向量a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝0，且|a |＝5，|b |＝7，|c |＝10，求a 、b 的夹角的余弦值；
(2)已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 的夹角为60°，若a ＋λb 与λa ＋b 的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．
解析：(1)由a ＋b ＋c ＝0知，a ＋b ＝－c ，
∴|a ＋b |＝|c |，(a ＋b )2＝c 2
，
即a 2＋2a·b ＋b 2＝c 2
.
∴a·b ＝c 2－a 2－b 22＝|c |2－|a |2－|b |22＝102－52－72
2
＝13.
则cos 〈a ，b 〉＝a·b |a |·|b |＝1335.故a 、b 的夹角的余弦值为13
35
.
(2)由题意可得a·b ＝|a ||b |cos60°＝2×3×1
2
＝3.
又(a ＋λb )·(λa ＋b )＝λa 2＋(λ2＋1)a·b ＋λb 2
， 而a ＋λb 与λa ＋b 的夹角为锐角，
∴λa 2＋(λ2＋1)a·b ＋λb 2
＞0，
而a 2＝|a |2＝4，b 2＝|b |2
＝9，a·b ＝3，
∴3λ2
＋13λ＋3＞0，
解得λ＞133－136或λ＜－13－133
6
.
但是当λ＝1时，a ＋λb 与λa ＋b 共线，其夹角不为锐角．
故λ的取值范围是⎝ ⎛
⎭⎪⎫－∞，－13－1336∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫133－136，1∪(1，＋∞).。