罗田县第二中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题

罗田县第二中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是AA 1，AD 的中点，则CD 1与EF 所成角为（ ）
A ．0°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
2．
设集合（ ）
A
． B
．
C
．
D
．
3． 下面茎叶图表示的是甲、乙两个篮球队在3次不同比赛中的得分情况，其中有一个数字模糊不清，在图中以m 表示．若甲队的平均得分不低于乙队的平均得分，那么m 的可能取值集合为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4． 如图在圆O 中，AB ，CD 是圆O 互相垂直的两条直径，现分别以OA ，OB ，OC ，OD 为直径作四个 圆，在圆O 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）
A ．
π
1
B ．π21
C ．π121-
D ．π2141-
【命题意图】本题考查几何概型概率的求法，借助圆这个载体，突出了几何概型的基本运算能力，因用到圆的几何性质及面积的割补思想，属于中等难度．
5． 若等边三角形ABC 的边长为2，N 为AB 的中点，且AB 上一点M 满足CM xCA yCB =+，
D
A
B
C
O
则当
14
x y
+取最小值时，CM CN ⋅=（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3
6． 函数的定义域为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．（，1）
7． 在△ABC 中，AB 边上的中线CO=2，若动点P 满足=（sin 2θ）
+（cos 2θ）
（θ∈R ），则（
+
）
•
的最小值是（ ）
A ．1
B ．﹣1
C ．﹣2
D ．0
8． 四棱锥P ﹣ABCD 的底面是一个正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=2，E 是棱PA 的中点，则异面直线BE 与AC 所成角的余弦值是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9． 已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足f （x ）=2x ﹣4（x ＞0），则{x|f （x ﹣1）＞0}等于（ ） A ．{x|x ＞3} B ．{x|﹣1＜x ＜1} C ．{x|﹣1＜x ＜1或x ＞3} D ．{x|x ＜﹣1}
10．已知P （x ，y ）为区域内的任意一点，当该区域的面积为4时，z=2x ﹣y 的最大值是（ ）
A ．6
B ．0
C ．2
D ．2
11．数列﹣1，4，﹣7，10，…，（﹣1）n （3n ﹣2）的前n 项和为S n ，则S 11+S 20=（ ）
A ．﹣16
B ．14
C ．28
D ．30
12．点集{（x ，y ）|（|x|﹣1）2
+y 2=4}表示的图形是一条封闭的曲线，这条封闭曲线所围成的区域面积是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
13．自圆C ：22
(3)(4)4x y -++=外一点(,)P x y 引该圆的一条切线，切点为Q ，切线的长度等于点P 到原点O 的长，则PQ 的最小值为（ ） A ．
1310 B ．3 C ．4 D ．2110
【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离，意在考查逻辑思维能力、转化能力、运算求解能力、数形结合的思想．
14．已知f （x ）＝x （e x ＋a e －x ）为偶函数，则a ＝________．
15．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是 ．
16．已知函数2
1()sin cos sin 2f x a x x x =-+
的一条对称轴方程为6
x π
=，则函数()f x 的最大值为（ ） A ．1 B ．±1 C ．2 D ．2±
【命题意图】本题考查三角变换、三角函数的对称性与最值，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、转化思想与方程思想．
17．若6
()mx y +展开式中3
3
x y 的系数为160-，则m =__________．
【命题意图】本题考查二项式定理的应用，意在考查逆向思维能力、方程思想．
三、解答题
18．（本小题满分10分）选修41-：几何证明选讲
如图所示，已知PA 与⊙O 相切，A 为切点，过点P 的割线交圆于C B ,两点，弦AP CD //，BC AD ,相 交于点E ，F 为CE 上一点，且EC EF DE ⋅=2． （Ⅰ）求证：P EDF ∠=∠；
（Ⅱ）若2,3,2:3:===EF DE BE CE ，求PA 的长．
19．已知函数
．
（1）求f （x ）的周期．
（2）当时，求f （x ）的最大值、最小值及对应的x 值．
20．圆锥底面半径为1cm ，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长．
21．【启东中学2018届高三上学期第一次月考（10月）】设1a >,函数()()
21x f x x e a =+-.
（1）证明在(上仅有一个零点；
（2）若曲线在点
处的切线与轴平行,且在点
处的切线与直线
平行,（O 是坐标原点）,
证明:1m ≤
22．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知tanA=，c=．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若三角形△ABC的面积为，求角C．
23．已知函数f（x）=xlnx+ax（a∈R）．
（Ⅰ）若a=﹣2，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对任意x∈（1，+∞），f（x）＞k（x﹣1）+ax﹣x恒成立，求正整数k的值．（参考数据：ln2=0.6931，ln3=1.0986）
罗田县第二中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参考答案）
一、选择题
1．【答案】C
【解析】解：连结A1D、BD、A1B，
∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是AA1，AD的中点，∴EF∥A1D，
∵A1B∥D1C，∴∠DA1B是CD1与EF所成角，
∵A1D=A1B=BD，
∴∠DA1B=60°．
∴CD1与EF所成角为60°．
故选：C．
【点评】本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．2．【答案】B
【解析】解：集合A中的不等式，当x＞0时，解得：x＞；当x＜0时，解得：x＜，
集合B中的解集为x＞，
则A∩B=（，+∞）．
故选B
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
3．【答案】C
【解析】【知识点】样本的数据特征茎叶图
【试题解析】由题知：
所以m可以取：0，1，2．
故答案为：C
4．【答案】C
【解析】设圆O的半径为2，根据图形的对称性，可以选择在扇形OAC中研究问题，过两个半圆的交点分别
向OA ，OC 作垂线，则此时构成一个以1为边长的正方形，则这个正方形内的阴影部分面积为
12
-π
，扇形
OAC 的面积为π，所求概率为π
π
π
12112
-=
-=P ． 5． 【答案】D 【解析】
试题分析：由题知(1)CB BM CM CB xCA y =-=+-，BA CA CB =-；设B
M k B A =，则,1x k y k =-=-，
可得1x y +=，当
14x y +取最小值时，()141445x y
x y x y x y y x
⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，最小值在4y x x y =时取到，此时21,33y x ==，将()
1,CN 2
CM xCA yCB CA CB =+=+代入，则
()22111233322233x y CM CN xCA yCB CA CB x y +⎛⎫
⋅=++⋅=+=+= ⎪⎝⎭
.故本题答案选D.
考点：1.向量的线性运算；2.基本不等式． 6． 【答案】C
【解析】解：要使原函数有意义，则log 2（4x ﹣1）＞0，
即4x ﹣1＞1，得
x ．
∴函数
的定义域为
．
故选：C ．
【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题．
7． 【答案】 C 【解析】解：
∵ =（sin 2θ
）+（cos 2θ
）（θ∈R ），
且sin 2θ+cos 2
θ=1，
∴=（1﹣cos 2θ
）+（cos 2θ
）
=
+cos 2θ•
（
﹣
），
即
﹣
=cos 2θ•
（
﹣
），
可得
=cos 2
θ•
，
又∵cos 2
θ∈[0，1]，∴P 在线段OC 上，
由于AB 边上的中线CO=2，
因此（
+）
•
=2
•，设
||=t ，t ∈[0，2]，
可得（
+
）
•
=﹣2t （2﹣t ）=2t 2﹣4t=2（t ﹣1）2﹣2，
∴当t=1
时，（
+
）
•
的最小值等于﹣2．
故选C ．
【点评】本题着重考查了向量的数量积公式及其运算性质、三角函数的图象与性质、三角恒等变换公式和二次函数的性质等知识，属于中档题．
8．【答案】B
【解析】解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
则B（2，0，0），E（0，0，1），A（0，0，0），C（2，2，0），
=（﹣2，0，1），=（2，2，0），
设异面直线BE与AC所成角为θ，
则cosθ===．
故选：B．
9．【答案】C
【解析】解：当x＞0时，由f（x）＞0得2x﹣4＞0，得x＞2，
∵函数f（x）是奇函数，
当x＜0时，﹣x＞0，则f（﹣x）=2﹣x﹣4=﹣f（x），
即f（x）=4﹣2﹣x，x＜0，
当x＜0时，由f（x）＞0得4﹣2﹣x＞0，得﹣2＜x＜0，
即f（x）＞0得解为x＞2或﹣2＜x＜0，
由x﹣1＞2或﹣2＜x﹣1＜0，
得x＞3或﹣1＜x＜1，
即{x|f（x﹣1）＞0}的解集为{x|﹣1＜x＜1或x＞3}，
故选：C．
【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性的性质先求出f（x）＞0的解集是解决本题的关键．10．【答案】A
解析：解：由作出可行域如图，
由图可得A（a，﹣a），B（a，a），
由，得a=2．
∴A（2，﹣2），
化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，
∴当y=2x﹣z过A点时，z最大，等于2×2﹣（﹣2）=6．
故选：A．
11．【答案】B
【解析】解：∵a n=（﹣1）n（3n﹣2），
∴S11=（）+（a2+a4+a6+a8+a10）
=﹣（1+7+13+19+25+31）+（4+10+16+22+28）
=﹣16，
S20=（a1+a3+…+a19）+（a2+a4+…+a20）
=﹣（1+7+...+55）+（4+10+ (58)
=﹣+
=30，
∴S11+S20=﹣16+30=14．
故选：B．
【点评】本题考查数列求和，是中档题，解题时要认真审题，注意分组求和法和等差数列的性质的合理运用．
12．【答案】A
【解析】解：点集{（x，y）|（|x|﹣1）2+y2=4}表示的图形是一条封闭的曲线，关于x，y轴对称，如图所示．
由图可得面积S==+=+2．
故选：A．
【点评】本题考查线段的方程特点，由曲线的方程研究曲线的对称性，体现了数形结合的数学思想．
二、填空题
13．【答案】D
【解析】
14．【答案】
【解析】解析：∵f（x）是偶函数，∴f（－x）＝f（x）恒成立，
即（－x）（e－x＋a e x）＝x（e x＋a e－x），
∴a（e x＋e－x）＝－（e x＋e－x），∴a＝－1.
答案：－1
15．【答案】．
【解析】解：在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥，
8个三棱锥的体积为：=．
剩下的凸多面体的体积是1﹣=．
故答案为：．
【点评】本题考查几何体的体积的求法，转化思想的应用，考查空间想象能力计算能力．
16．【答案】A
【解析】
17．【答案】2-
【解析】由题意，得33
6160
C m=-，即38
m=-，所以2
m=-．
三、解答题
18．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查相交弦定理、三角形相似、切割线定理等基础知识，意在考查逻辑推理能力．
19．【答案】
【解析】解：（1）∵函数．
∴函数f（x）=2sin（2x+）．
∴f（x）的周期T==π
即T=π （2
）∵
∴
，
∴﹣1≤sin （
2x+）≤2 最大值2，2x
=
，此时， 最小值﹣1，
2x
=
此时
【点评】本题简单的考察了三角函数的性质，单调性，周期性，熟练化为一个角的三角函数形式即可．
20．
【答案】2
cm ． 【解析】
试题分析：画出图形，设出棱长，根据三角形相似，列出比例关系，求出棱长即可．
试题解析：过圆锥的顶点S 和正方体底面的一条对角线CD 作圆锥的截面，得圆锥的轴截面SEF ，正方体对角面11CDD C ，如图所示．
设正方体棱长为，则1CC x =
，11C D =，
作SO EF ⊥于O
，则SO =1OE =，
∵1ECC EOS ∆∆，∴
11
CC EC SO EO =
121
=，
∴2
x =
cm
，即内接正方体棱长为2．
考点：简单组合体的结构特征．
21．【答案】（1）f x （）在∞+∞（﹣，）上有且只有一个零点（2）证明见解析 【解析】试题分析：
试题解析：
（1）()(
)
()2
2211x x
f x e x x e x +='=++，()0f x ∴'≥，
()()2
1x
f x x e
a ∴=+-在(),-∞+∞上为增函数．
1a >，()010f a ∴=-<，
又(
)
1f
a a =-=-，
10,1a ->∴>，即0f >，
由零点存在性定理可知，()f x 在(),-∞+∞上为增函数，且()00f f
⋅<，
()
f x ∴在(上仅有一个零点。

（2）()()2
1x f x e x ='+，设点()00,P x y ，则()()0
2
001x f x e
x '=+，
()y f x =在点P 处的切线与x 轴平行，()()0
2
0010x f x e x ∴+'==，01x ∴=-，
21,P a e ⎛⎫
∴-- ⎪⎝⎭
，2OP k a e ∴=-，
点M 处切线与直线OP 平行，
∴点M 处切线的斜率()()2
21m k f m e m a e
=+'==-
，
又题目需证明1m ≤
，即()3
21m a e
+≤-， 则只需证明()3
2
11m m e m +≤+，即1m m e +≤。

令()()1m
g m e m =-+，则()1m
g m e '=-，
易知，当(),0m ∈-∞时，()0g m '<，单调递减， 当()0,m ∈+∞时，()0g m '>，单调递增，
()()min 00g m g ∴==，即()()10m g m e m =-+≥，
1m m e ∴+≤，
∴≤，得证。

m
1
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由题意知，tanA=，
则=，即有sinA﹣sinAcosC=cosAsinC，
所以sinA=sinAcosC+cosAsinC=sin（A+C）=sinB，
由正弦定理，a=b，则=1；…
（Ⅱ）因为三角形△ABC的面积为，a=b、c=，
所以S=absinC=a2sinC=，则，①
由余弦定理得，=，②
由①②得，cosC+sinC=1，则2sin（C+）=1，sin（C+）=，
又0＜C＜π，则C+＜，即C+=，
解得C=…．
【点评】本题考查正弦定理，三角形的面积公式，以及商的关系、两角和的正弦公式等，注意内角的范围，属于中档题．
23．【答案】
【解析】解：（I）a=﹣2时，f（x）=xlnx﹣2x，则f′（x）=lnx﹣1．
令f′（x）=0得x=e，
当0＜x＜e时，f′（x）＜0，当x＞e时，f′（x）＞0，
∴f（x）的单调递减区间是（0，e），单调递增区间为（e，+∞）．
（II）若对任意x∈（1，+∞），f（x）＞k（x﹣1）+ax﹣x恒成立，
则xlnx+ax＞k（x﹣1）+ax﹣x恒成立，即k（x﹣1）＜xlnx+ax﹣ax+x恒成立，
又x﹣1＞0，则k＜对任意x∈（1，+∞）恒成立，
设h（x）=，则h′（x）=．
设m（x）=x﹣lnx﹣2，则m′（x）=1﹣，
∵x∈（1，+∞），∴m′（x）＞0，则m（x）在（1，+∞）上是增函数．
∵m（1）=﹣1＜0，m（2）=﹣ln2＜0，m（3）=1﹣ln3＜0，m（4）=2﹣ln4＞0，
∴存在x0∈（3，4），使得m（x0）=0，
当x∈（1，x0）时，m（x）＜0，即h′（x）＜0，
当x∈（x0，+∞）时，m（x）＞0，h′（x）＞0，
∴h（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，
∴h（x）的最小值h min（x）=h（x0）=．
∵m（x0）=x0﹣lnx0﹣2=0，∴lnx0=x0﹣2．∴h（x0）==x0．
∴k＜h min（x）=x0．
∵3＜x0＜4，
∴k≤3．
∴k的值为1，2，3．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，函数的最值，函数恒成立问题，构造函数求出h（x）的最小值是解题关键，属于难题．。