新教材适用高考数学二轮总复习等差数列与等比数列核心考点2等差数列等比数列的性质教师用书(含答案)

新教材适用高考数学二轮总复习教师用书：
核心考点2 等差数列、等比数列的性质
核心知识·精归纳
1.等差数列的常用性质
已知{a n }为等差数列，d 为公差，S n 为该数列的前n 项和．
(1)等差数列{a n }中，当m ＋n ＝p ＋q 时，a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *
)． 特别地，若m ＋n ＝2p ，则a m ＋a n ＝2a p (m ，n ，p ∈N *
)．
(2)相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等差数列，公差为md (k ，m ∈N *
)．
(3)⎩⎨⎧⎭
⎬⎫S n n 也成等差数列，其首项与{a n }首项相同，公差为12d .
(4)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n …也成等差数列，公差为n 2
d .
(5)若数列{a n }，{b n }均为等差数列且其前n 项和分别为S n ，T n ，则a n b n ＝S 2n －1
T 2n －1
.
(6)等差数列的函数性质 ①等差数列与一次函数的关系
a n ＝a 1＋(n －1)d 可化为a n ＝dn ＋a 1－d 的形式．当d ≠0时，a n 是关于n 的一次函数；
当d >0时，数列为递增数列；当d <0时，数列为递减数列．
②等差数列前n 项和公式可变形为S n ＝d
2n 2
＋⎝ ⎛
⎭⎪⎫
a 1－d 2n .当d ≠0时，它是关于n 的二次函
数，表示为S n ＝An 2
＋Bn (A ，B 为常数)．
2.等比数列常用的性质
设数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和．
(1)若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q ，其中m ，n ，p ，q ∈N *
.特别地，若m ＋n ＝2p ，则a m a n
＝a 2
p ，其中m ，n ，p ∈N *
.
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m
(k ，m ∈N *
)．
(3)若数列{a n }，{b n }是两个项数相同的等比数列，则数列{ba n }，{pa n ·qb n }和⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
pa n qb n (其
中b ，p ，q 是非零常数)也是等比数列．
(4)对于等比数列有S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…成等比数列(q ＝－1且m 为偶数情况除外)．
多维题组·明技法
角度1：等差数列的性质的应用
1. (2023·平顶山模拟)已知数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，a 2＋S 3＝4，a 2＋
a 3＋a 4＋a 5＝7，则S 9等于( D )
A ．63
B ．632
C ．45
D ．452
【解析】 因为数列{a n }是等差数列，则a 2＋S 3＝4a 2＝4，可得a 2＝1，且a 2＋a 3＋a 4＋
a 5＝2(a 2＋a 5)＝2(1＋a 5)＝7，可得a 5＝5
2，所以S 9＝9a 5＝452
.故选D ．
2. (2023·阿拉善盟一模)等差数列{a n }中，若a 2，a 2 020为方程x 2
－10x ＋16＝0的两根，则a 1＋a 1 011＋a 2 021等于_15__.
【解析】 ∵a 2，a 2 020为方程x 2
－10x ＋16＝0的两根，∴a 2＋a 2 020＝10，由等差数列的性质得2a 1 011＝10，即a 1 011＝5，∴由等差中项的性质，a 1＋a 1 011＋a 2 021＝3a 1 011＝15.故答案为15.
角度2：等比数列的性质
3. (2023·河南驻马店统考二模)设等比数列{a n }的前n 项之积为S n ，若S 3＝1，S 9＝512，则a 11＝( C )
A ．2
B ．4
C ．8
D ．16
【解析】 因为S 3＝1，S 9＝512，所以a 1a 2a 3＝a 3
2＝1，a 1a 2a 3…a 9＝a 9
5＝512，解得a 2＝1，
a 5＝2，则q 3＝a 5
a 2
＝2，故a 11＝a 2q 9＝23＝8.
4. (多选)(2023·广东佛山高二佛山市荣山中学校考期中)在正项等比数列{a n }中，公比为q ，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n ＋1a n ＋2a n ＋3＝324，下列说法正确的是( BD )
A ．q 2
＝3 B ．a 3
2＝4 C ．a 4a 6＝2 3
D ．n ＝12
【解析】 正项等比数列{a n }的公比为q ，则a n ＝a 1q n －1
，由a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，得
a 32＝4，a 35＝12，B 正确；而a 5＝a 2q 3，于是(a 2q 3)3＝12，即q 9
＝3，A 错误；而a 5＝
3
12，则a 4a 6＝a 25＝2
3
18，C 错误；由a n ＋1a n ＋2a n ＋3＝324，得a 3n ＋2＝324，即(a 2q n )3＝324，因为a 32＝4，因此q 3n ＝81＝34＝(q 9)4＝q 36
，显然q >1，所以3n ＝36，解得n ＝12，D 正确．故选BD ．
5. (2023·广西梧州高二苍梧中学校考阶段练习)等比数列{a n }的前n 项和是S n ，且a 1
＝1，若
S 10S 5＝3132，则S 15
S 10
＝( D ) A ．32
B ．31
32
C ．－132
D ．993992
【解析】 设S 5＝32x ，则S 10＝31x ，所以S 10－S 5＝－x ，由等比数列性质知S 5，S 10－S 5，
S 15－S 10成等比数列，所以32x (S 15－S 10)＝(－x )2
，得S 15－S 10＝x 32
，所以S 15＝31x ＋x 32
＝99332
x ，
所以S 15S 10＝993
32x
31x ＝993992
，故选D ．
角度3：等差等比数列的综合
6. (多选)(2023·齐齐哈尔二模)已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列，{b n }是公差大于0的等差数列，且a 3＝b 3，a 7＝b 7，则( BCD )
A ．a 5＝b 5
B ．a 5<b 5
C ．a 1>b 1
D ．a 9>b 9
【解析】 由题意设等比数列{a n }的公比为q (q >0)，等差数列{b n }的公差为d (d >0)，则
a n ＝a 1q n －1，a n >0，
b n ＝b 1＋(n －1)d ，由a 3＝b 3，a 7＝b 7，可得a 5＝a 3·a 7，b 5＝b 3＋b 72
＝a 3＋a 7
2
，
由基本不等式得a 3·a 7≤
a 3＋a 7
2
，当且仅当a 3＝a 7时等号成立，显然等差数列{b n }不是常数
列，则a 5<b 5，故B 正确，A 错误；由a 3＝b 3，a 7＝b 7，可得a 1q 2
＝b 1＋2d ，a 1q 6
＝b 1＋6d ，即有3a 1q 2－a 1q 6＝2b 1，即为3q 2－q 6＝2b 1a 1
，q >0且q ≠1.设f (x )＝3x 2－x 6
，x >0，f ′(x )＝6x
－6x 5＝6x (1－x 2)(1＋x 2
)，当0<x <1时，f ′(x )>0，f (x )递增；当x >1时，f ′(x )<0，f (x )递减，则f (x )在x ＝1处取得极大值，且为最大值2，则3q 2－q 6
＝2b 1a 1
<2，即有a 1>b 1，故C
正确；又a 9－b 9＝a 7q 2－(b 7＋2d )＝a 7(q 2－1)－2d >a 7(q 2－1)－(a 1q 2－a 1)＝(q 2
－1)(a 7－a 1)＝
a 1(q 2－1)2(q 4＋q 2＋1)>0，可得a 9>
b 9，故D 正确．故选BCD ．
7. (2023·虹口区校级三模)已知等比数列{a n }中a n >0，若4a 1，1
2
a 3,3a 2成等差数列，则
a 2 021－a 2 023
a 2 020－a 2 022
＝_4__.
【解析】 设等比数列{a n }的公比为q ，因为4a 1，1
2a 3,3a 2成等差数列，所以4a 1＋3a 2
＝a 3，所以4a 1＋3a 1q ＝a 1q 2
，且a 1≠0，所以q 2
－3q －4＝0，解得q ＝4或q ＝－1，为保证
a 2 021－a 2 023a 2 020－a 2 022有意义，则q 2
≠1，所以q ＝4，所以a 2 021－a 2 023a 2 020－a 2 022＝q a 2 020－a 2 022a 2 020－a 2 022
＝q ＝4.故答案
为4.
方法技巧·精提炼
等差、等比数列的性质问题的求解策略
(1)抓关系，抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手，选择恰当的性质进行求解．
(2)用性质，数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题．
加固训练·促提高
1. (2023·广东广州高二广东华侨中学校考期中)若前n 项和为S n 的等差数列{a n }满足
a 5＋a 7＝12－a 9，则S 13－2＝( C )
A ．46
B ．48
C ．50
D ．52
【解析】 由a 5＋a 7＝12－a 9，有a 5＋a 7＋a 9＝12，根据等差数列性质可知a 5＋a 9＝2a 7，所以3a 7＝12，故a 7＝4，所以S 13＝
13
a 1＋a 13
2
＝13a 7＝52，所以S 13－2＝50.故选C ．
2. (2023·大观区校级三模)在等比数列{a n }中，a 2a 3a 4＝4，a 5a 6a 7＝16，则a 8a 9a 10＝( D ) A ．4 B ．8 C ．32
D ．64
【解析】 因为a 2a 3a 4＝a 3
3＝4，a 5a 6a 7＝a 3
6＝16，又a 2
6＝a 3a 9，故a 6
6＝a 33a 3
9，则162
＝4a 3
9，解得a 3
9＝64，即a 8a 9a 10＝64.故选D ．
3.在各项都为正数的等比数列{a n }中，已知0<a 1<1，其前n 项之积为T n ，且T 12＝T 6，则
T n 取最小值时，n 的值是_9__.
【解析】 由T 12＝T 6得
T 12T 6
＝1，即a 7a 8a 9a 10a 11a 12＝(a 9a 10)3
＝1故a 9a 10＝1，因为a 1a 18＝a 9a 10，则a 1a 18＝1，由于0<a 1<1，得a 18>1，所以等比数列{a n }是递增数列，故0<a 9<1<a 10，则T n 取最小值时，n ＝9，故答案为9.
4. (2023·广西模拟)已知数列{a n }通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
2n －3，n 为奇数，2n －1
，n 为偶数，
则数列{a n }的
前10项和为_717__.
【解析】 由a n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2n －3，n 为奇数
2n －1
，n 为偶数，可知数列{a n }的奇数项成等差数列，偶数项成
等比数列，则a 2n －1＝2(2n －1)－3＝4n －5，a 2n ＝22n －1
＝12
×4n
，则数列{a n }的前10项和为(a 1
＋a 3＋…＋a 9)＋(a 2＋a 4＋…＋a 8＋a 10)＝5
－1＋20－52＋
245
－1
4－1
＝35＋682＝717.故
答案为717.。