高数电子教案第二版11

（2）用 公式①或 ②时,要求 D 分
DⅡ
别 满足 :平 行于 y 轴 或 x 轴 的 直线 与 D 的 边 界相 交不多 于两 点 .如 果
Ⅰ Ⅲ
D不满足这个条件，则需把 D 分割
成 几 块 (见 右 图 ),然 后 分 块 计 算 ;
O
x
(3)一个重积分常常是既可以先对y 积分(公式①), 又可以先对x 积分(公式②),而这两种不同的积分次序， 往往导致计算的繁简程度差别很大,那么，该如何恰当地 选择积分次序呢?我们结合下述各例加以说明.
D
解 选用极坐标系计算，D 表示为: 0 ≤r ≤a ,0 ≤ ≤2π ,故有
e(x2y2)dxdy =
er2 rdrd
2π
d
a er2 rdr
0
0
D
D
=
2π - 1 er2
a
d

π(1 ea2 ).
0 2 0
例7 计算 x2dxdy,其中D是两圆x2y21和
数，则上述两步后所得的表达式f (x, y)x, y) 称为被积函
数,D为积分区域, f (x, y)d称为被积式,d 为面积
元素，x与 y称为积分变量.
二 重 积 分 的 几 何 意 义 ： 当 f(x,y)≥ 0时 二 重 积 分 代 表
解 画D的图形(见下图).选择先对x 积分,这
时
D的表示式为
y2

x

y2,
1y2 y
从而 2xy2dxdy=
2
dy
y22xy2dx
2
1
y2
D

2y2(x2)|
y2
dy
1
2
y
O
2(y44y34y2y6)dy 1
1
B ( 4 ,2 ) x y2
解画 出 D的 图 形 (见 下 图 ),D可 表 示 为
0 ≤ ≤ π , 0 ≤ r≤ 2 R co ,s
2
y
于是得到
f (x, y)d
D
O
π
2 R cos
2 d
f (r cos , r sin )rdr .
0
0
r 2 R c o s
D

2R x
例6 计 算e(x2y2)dxdy,D:x2y2≤ a2 .
上连续, 是区域 D 的面积，则在 D 上至少有一点
(,)使得下式成立 f (x, y)d f (,) .
D
二、在直角坐标系中计算二重积分
在 直 角 坐 标 系 中 我 们 采 用 平 行 于 x 轴 和 y 轴 的 直
线 把 区 域 D分 成 许 多 小 矩 形 ,于 是 面 积 元 素 ddxdy,
曲顶柱体的体积
设 f(x,y)≥ 0,求 曲 顶 柱 体 (如 下 图 )的 体 积 .
第一步：将区域D 无限细分，在微小区域d 上取
一点(x, y),用以f (x, y)为高，d 为底的平顶柱体体积
f (x, y)d近似代替d 上的小曲顶柱体体积，即得体积
微元
dV f (x, y)d.
y
= 2 π 1 cos 2 d 2 r 3 d r 15 π .
0
2
1
4
O 1 2x
例8 求 由 锥 面 z4 x2y2与 旋 转 抛 物 面
2zx2y2所 围 立 体 的 体 积 (见 下 图 ). z
4
解 选用极坐标计算.
V [(4 x2 y2)1(x2 y2)]dxdy
D x y 2
x A(1, 1)
=y5y44y3y72 156.
5
3 71 35
例 2求 椭 圆 抛 物 面 z 4 x2y2与 平 面 z 0所 4
围 成 的 立 体 体 积 .
解 画 出 所 围 立 体 的 示 意 图 (见 图a),考 虑 到 图 形 的 对 称 性 ， 只 需 计 算 第 一 卦 限 部 分 即 可 ,其 中 D如 图 (b)所 示 .
a
[
y2(x) f (x, y)dy]dx，
b
b y1(x)
所 以 f(x,y)dxdya[y2(x)f(x,y)dy]dx. b y1(x) D
上式也可简记为
f( x ,y ) d x d y a d x y 2 ( x )f( x ,y ) d y b y 1 ( x ) D
第一节 二重积分的概念与计算
一、二重积分的概念与性质
曲边梯形面积计算回顾
第 一 步 : 将 [a ,b ]无 限 细 分 , 在 微 小 区 间 [x,xd]上 x“ 以 直 代 曲 ” , 求 y 得 面 积 微 元 为 d A f(x)d x 这 一 步 即 局 部 线 性 化 .
第 二 步 : 将 微 元 d A 在 [ a , b ] 上 无
x1( y )≤ x ≤ x2( y ) , c ≤ y ≤ d. y
完 全 类 似 地 可 得 d
f(x,y)dxdy
D
d dy
x2(y) f(x,y)dx
②
c
x1(y)
x x (y)
1
c
x

x 2
(y)
D
O
x
化二重积分为累次积分时,需注意以下几点：
（1）累次积分的下限必须小于上限; y
D
2
D
=4r
D
r2 2
rdrd

,
O
y
x
求 立 体 在 xOy
面 上 的 投 影 区 域 D .由
z 4 x2 y2

2z x2 y2
,
消 去 x , y 得 ( z 4 )2 2 z即 z 2 1 0 z 1 6 0
xydxdy
1
dx
1x2xydy1x(1y2)
D
00
02
11x(1x2)dx1(x2x4)11. 1
02
22 4 0 8
D
本 题 若 先 对 x 积 分 ， 解 法 类 似 . O x 1
x
例2 计算2xy2dxdy,其中D由抛物线 y2x及直
D
线yx2所围成.
z z f (x, y)
D
y
y

y (x) 2
y y1(x)
y

y (x) 1
Oa x
bx
O ax b x
( a ) ( b )
在[a,b]上任意固定一点x0 ,过 x0 作垂直于x
轴的平面与柱体相交,截出的面积设为S(x0) ,由定
积分可知
S(x0 ) =
y2 (x0 ) y1(x0 )
例1计 算 xdyxdy,其 中 D:x2y2≤1
D
x≥0，y≥0.
解 作 D 的 图 形 (见 下 图 ).先 对 y 积 分 (固 定
x), y 的 变 化 范 围 由 0 到 1 x2 ,然 后 再 在 x 的
最 大 变 化 范 围 [0,1]内 对 x 积 分 ， 于 是 得 到
y
16
π.
0
y 4 y 16 4 x2
z
z 4 x2 y2
4
D
O
2
x
(a)
O
2 x
(b)
4
y
三、在坐标系中计算二重积分
1. 极坐标系下的面积元素
设函数的积分区域为 D，用 r取一系列常数 (得 到 一 族 中 心 在 极 点 的 同 心 圆 )和 取 一 系 列 常 数 (得 到 一 族 过 极 点 的 射 线 )的 两 组 曲 线 ，将 D 分 成 许 多 小 区 域 (见 下 图 ),于 是 得 到 了 极 坐 标 系 下 的 面 积元素为
二 重 积 分 可 以 写 成 f(x,y)dxdy.
D
设 D 可 表 示 为 不 等 式 ( 如 下 页 图 ( a ) ) y 1 (x )≤ y≤ y 2(x ), a≤ x≤ b.
下 面 我 们 用 定 积 分 的 “ 切 片 法 ” 来 求 这 个 曲 顶 柱
体 体 积 .
y y y2( x)
设D(图 a)位于两条射线 和 之间，D 的
两段边界线极坐标方程为 r r1(),r r2()
则二重积分就可化为如下的累次积分
f (x, y)d

d
r2() f (r cos,r sin)rdr.

r1( )
D
如果极点O在D 内部(图 b),则有
曲 顶 柱 体 的 体 积 ； 特 别 地 ,当 f(x,y)=1时 ,d 表 示 区 域
D
D 的 面 积 .
3．二重积分的性质
性 质1 常 数 因 子 可 提 到 积 分 号 外 面 ， 即
kf(x,y)dkf(x,y)d.
D
D
性质 2 函数和与差的积分等于各函数积分的和与
差,即
f (x0, y)dy.
一般地,过[a,b]上任意一点x ,且垂直于 x 轴的平面
与柱体相交得到的截面面积为 S(x) = y2(x) f (x, y)dy. y1 ( x)
见上页图(b),由定积分的“平行截面面积为已知,
求立体体积”的方法可知,所求曲顶柱体体积为
V
a
S(x)dx
故 V 4
4 x 2 y 2 d x d y = 4
2
dx
16
4 x 2
4

x2
y 2 d y
D
4
0
0

4
= 4
2 4 0
y

x2y

1 12
y
3

16 0
d 4 x 2
x
=
16 3
2
(4
3
x 2)2d x
2π
r ( )
f (x, y)d d f (r cos,rsin)rdr.
D
0
0
r r ( )
r r2( )
r r1()


O
(a)
x
O x
(b)
例5 将二重积分f(x,y)d化为极坐标系下的
D
累次积分，其中D:x2y2≤2R,xy≥ 0 .
[f (x, y)g(x, y)]d=f (x, y)d g(x, y)d .
D
D
D
性质 3 若积分区域 D 分割为 D1 与 D2 两部分, 则有
f (x, y)d = f (x, y)d f (x, y)d .
D
D1
D2
性质 4 (中值定理) 设f (x, y) 在有界闭域D
①
公式①就是二重积分化为定积分的计算方法，该 方法也称为累次积分法.计算第一次积分时,视 x 为 常量，对变量 y由下限y1(x) 积到上限y2(x),这时计算 结果是一个关于 x的函数，计算第二次积分时,x 是积 分变量，积分限是常数,计算结果是一个定值.
设 积 分 区 域 D 可 表 示 为 不 等 式 (见 下 图 )
第十一章 多元函数积分学
第一节 二重积分的概念与计算 第二节 二重积分应用举例 *第三节 三重积分的概念与计算 *第四节 对坐标的曲线积分 *第五节 格林（Green）公式及其应用 *第六节 对坐标的曲面积分及其应用
第一节 二重积分的概念与计算
一、二重积分的概念与性质 二、在直角坐标系中计算二重积分 三、在极坐标系中计算二重积分
d rdrd .
再分别用x r cos , y sin 代换被
积函数 f (x, y) 中的x, y, 这样二重积分在
d rd
极坐标系下表达形式为
dr
f (x, y)d f (r cos,r sin )rdrd .
d
D
D
O

x
2.极坐标系下化二重积分为累次积分
D
x2y24之间的环形区域.
解 作 D 的 图 形 (见 下 图 ),选 用 极 坐 标 ，它 可 表 示
为 1 ≤ r ≤ 2 ,0 ≤ ≤ 2 π
于是
x 2 d x d y
2π
d
2 r 2 cos 2 r d r
2π
cos
2
d
2 r 3dr
0
1
0
1
D
限 累 积 ， 即 得 面 积 为
Oa
A af(x )d x. b
y f (x)
dA xxdx b x
下 面 我 们 把 这 种 思 想 推 广 到 平 面 区 域 D 上 的 二 元 函 数 f( x ,y ) .
1 . 引 例 : 曲 顶 柱 体 的 体 积
曲 顶 柱 体 ： 若 立 体 的 底 为 xOy 平 面 上 的 有 界 闭 区 域 D ,其侧面为以 D 的边界线为准线，而母线平行 z 轴 的 柱 面 ，其 顶 是 二 元 函 数 z f ( x, y ) 所 表 示 的 曲 面 . 这样的几何体称为曲顶柱体.
z z f (x,y)
第 二 步 : 将 体 积 微 元 dV f (x, y)d
在区域 D 上无 限累加(这一步记为
“ ”),则 得 所 求 曲 顶 柱 体 体 积 为
O
D
V f ( x, y )d .
D d
D
x
y
2．二重积分的概念
设z f (x, y)为定义在有界闭区域D 上的连续函