微分方程的拉普拉斯变换

微分方程的拉普拉斯变换
拉普拉斯方程（laplace's equation）又称调和方程、位势方程，是一种偏微分方程，因由法国数学家拉普拉斯首先提出而得名。

拉普拉斯方程表示液面曲率与液体表面压强之
间的关系的公式。

基本概述
一个伸展的表面称作曲面，通常用适当的两个曲率半径去叙述曲面，即为在曲面上某
点作旋转轴表面的直线，再通过此线并作一平面，此平面与曲面的截线为曲线，在该点与
曲线切线的圆半径称作该曲线的曲率半径r1。

通过表面垂线并旋转轴第一个平面再并作第二个平面并与曲面平行，可以获得第二条截线和它的曲率半径r2，用 r1与r2可以则表
示出来液体表面的伸展情况。

若液面就是伸展的，液体内部的应力p1与液体外的应力p2
就可以相同，在液面两边就可以产生应力高△p= p1- p2，表示额外应力，其数值与液面
曲率大小有关，可以则表示为：
式中γ是液体表面张力系数，该公式称为拉普拉斯方程。

在数理方程中
拉普拉斯方程的解称为调和函数。

如果等号右边就是一个取值的函数f（x，y，z），即为：
则该方程称为泊松方程。

拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的椭圆型偏微分方程。

偏微分算子（可以在任意维空间中定义这样的算子）称为拉普拉斯算子，英文是laplace operator或简称作laplacian。

方程的求解
称为调和函数，此函数在方程成立的区域内是解析的。

任意两个函数，如果它们都满
足拉普拉斯方程（或任意线性微分方程），这两个函数之和（或任意形式的线性组合）同
样满足前述方程。

这种非常有用的性质称为叠加原理。

可以根据该原理将复杂问题的已知
简单特解组合起来，构造适用面更广的通解。