柯西不等式

柯西不等式
一.知识点摘要
柯西不等式结构：
2222222123123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++ 等式成立的条件：当且仅当
312123
a a a
b b b ==. 二.例题讲解 【例1】已知,,a b
c R +∈，且1a b c ++=.
求222(1)49a b c +++的最小值.
【例2】已知,,a b c R +∈，且1a b c ++=.
求S =
+.
【例3】已知,,a b c R +∈，且3a b c ++=.求：22log (2)2log (2)a b a c +++的最大值.
【例4】已知正数,,a b c 满足：1a b c ++=.
（1）求证：33319a b c ++≥
； （2）求
111a b c b c c a a b
++++++++的最小值.
柯西不等式练习
1.设1x y z ++=，则22223F x y z =++的最小值为_________________.
2.若,,a b c R +∈，证明：
1222a b c b c c a a b ++≥+++.
3.设,,a b c R +∈且1a b c ++=，求证：222111100()()().3
a b c a b c +++++≥
4.求函数y =.
5. 设,,a b c R +∈且1abc =，求证：(2)(2)(2)27a b c +++≥.
6.已知,,a b c R +∈且1a b c ++=，求证：19
abc bc ca ab ≤++.
7.若不等式|1|22a x y z -≥++.对满足2221x y z ++=的一切实数,,x y z 恒成立，求实数a 的取值范围.
8. 已知,,a b c R +∈且3a b c ++=. 证明：2222()()()4()3
a c
b a
c b a c a b c ---++≥-.
9.已知实数,,x y z 是正数.
（1）若21x y +=，求22
212x y x y
+++的最小值； （2）若2x y z t +++=，且222
21x y z t y z z x y x
+++=+++，求实数t 的取值范围.
10. 已知实数,,a b c 满足232a b c ++=.
（1）求22223a b c ++的最小值；
（2）当,,0a b c >，求证：
1632(23)(3)(2)abc a b c b a c c a b ≥+++++.
11.已知函数()f x ，当0x >时，满足()2x f x x ≥+，令11()(),()(())n n f x f x f x f f x +== n N *∈，求证：当0x >时，()2(21)n n n x f x x ≥+-，n N *∈.。