2019年高考物理二轮复习《极值法、极端法》问题专项训练(包含答案解析)

2019年高考物理二轮复习《极值法、极端法》问题专项训练
一、选择题
1、一人乘电梯上楼，在竖直上升过程中加速度a随时间t变化的图线如图所示，以竖直向上为a的正方向，则人对地板的压力
A．t=2s时最大B．t=2s时最小C．t=8.5s时最大D．t=8.5s时最小
2、在同一位置以相同的速率把三个小球分别沿水平、斜向上、斜向下方向抛出，不计空气阻力，则落在同一水平地面时的速度大小（）
A．一样大B．水平抛的最大C．斜向上抛的最大D．斜向下抛的最大
3、将两个质量均为m的小球a、b用细线相连后，再用细线悬挂于O点，如图所示．用力
F拉小球b，使两个小球都处于静止状态，且细线Oa与竖直方向的夹角保持θ＝30°，则F的最小值为()
mg
A. B. C．mg D.
2
v的小物块从4、如图所示，质量为M的小车置于光滑的水平面上，有一质量为m、速度为
水平方向射入小车光滑轨道上，假定小物块一直不离开轨道，则在轨道上上升的最大高度为（）
A.
20
2()mv M m g + B.202()Mv M m g + C. 202Mv mg D.20
2mv Mg
5、如图所示，一辆四分之一圆弧小车停在粗糙水平地面上，质量为m 的小球从静止开始由
车顶无摩擦滑下，若小车始终保持静止状态，当小球运动到半径与竖直方向夹角为θ时，关于夹角θ的大小和地面对小车的最大摩擦力，正确的是（ ）
A. 30º，2mg
B. 45º，2mg
C. 45º，1.5mg
D. 60º，1.5mg
6、一条宽为L 的河流，水流速度为u ，船在静水划行速度为v ，若v u <，要使它到达对岸时向下游行驶的距离最小，则它的航行方向与水流速度方向的夹角为（ ）
A. arcsin
v u B. arcsin u v C. arccos v u D. arccos u v
7、一条宽为L 的河流，水流速度为u ，船在静水划行速度为v ，若v u <，要使它到达对岸
时向下游行驶的距离最小，则最小距离为（ ）
A.
v L
u B. u
L v
C. D.
8、一列车以速度1v 向前行驶，司机突然发现在同一轨道上前方距车头S 处有另一辆列车正在沿着相同方向以较小的速度2v 做匀速运动，于是他立即使列车以加速度a 做匀减速运动，要使两列车不相撞，a 必须满足什么条件是（ ） A. 121()a v v S ≥
- B. 121
()2a v v S ≥- C. 2
121()a v v S ≥- D. 2121()2a v v S
≥-
9、如图所示的电路中，R 1=2Ω，R 2=4Ω，R 3=6Ω，当滑片P 由a 向b 的移动过程中， A 、B 两端总电阻的最大值为（ ）
A. 3 Ω
B. 4 Ω
C. 5 Ω
D. 2 Ω
10、给房屋设计屋顶时，把屋顶设计成斜面，设跨度为L ，如图所示，把雨水沿着屋顶滑下的运动理想化为小球沿光滑斜面滑下的情形，为了要使雨水能尽快地滑下并从屋檐落下，即雨水从屋顶到屋檐的时间最短，则时间最短为（ ）
A. B. C. D.
二、解答题
11、如图所示，质量为m的物体放在水平面上，物体与水平面间的动摩擦因数为μ=，物体做匀速直线运动。

求牵引力F的最小值和方向角θ。

v=10m/s沿光滑地面滑行，然后沿光滑曲12、如图所示，一个质量为m的小物块以初速度
面上升到顶部水平的高台上，并由高台上飞出．当高台的高度h为多大时，小物块飞行的水平距离s最大？这个距离是多少？（g取10m/s2）
13、如图所示，光滑轨道竖直放置，半圆部分半径为R，在水平轨道上停着一个质量为
v=400m/s的水平速度射入木块中，然M=0.99kg的木块，一颗质量为m=0.01kg的子弹，以
后一起运动到轨道最高点水平抛出，试分析：当圆半径R多大时，平抛的水平位移是最大？且最大值为多少？
14、如图所示，已知定值电阻R1，电源内阻r，滑动变阻器的最大阻值为R（R > R1+r），当
R多大时，在变阻器上消耗的功率最大？
滑动变阻器连入电路的电阻
x
15、如图所示，宽为L的金属导轨置于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向竖直向下．电源电动势为E，内阻为r，不计其它电阻和一切摩擦，求开关K闭合后，金属棒PQ速度多大时，安培力的功率最大？最大值是多少？
16、如图所示，顶角为2θ的光滑圆锥，置于磁感应强度大小为B，方向竖直向下的匀强磁场中，现有一个质量为m，带电量为+q的小球，沿圆锥面在水平面作匀速圆周运动，求小球作圆周运动的最小轨道半径。

17、如图所示为矩形的水平光滑导电轨道a bcd，a b边和cd边的电阻均为5R0，a d边和
bc边长均为L，a d边电阻为4R0，bc边电阻为2R0，整个轨道处于与轨道平面垂直的匀强
磁场中，磁感强度为B。

轨道上放有一根电阻为R0的金属杆mn，现让金属杆mn在平行轨道平面的未知拉力F作用下，从轨道右端以速率v匀速向左端滑动，设滑动中金属杆mn始终与a b、cd两边垂直，且与轨道接触良好。

a b和cd边电阻分布均匀，求滑动中拉力F的最小牵引功率。

18、一个质量为m的电子与一个静止的质量为M的原子发生正碰，碰后原子获得一定速度，并有一定的能量E被贮存在这个原子内部。

求电子必须具有的最小初动能是多少？
【答案与解析】
一、选择题
1、【答案】AD
【解析】0~4s ，加速度向上，人超重，设地板对人支持力为F N ，则ma mg F N =-，当s t 2=时，加速度最大，支持力就最大，根据牛顿第三定律，人对地板压力也最大；7~10s ，
加速度向下，人失重，设地板对人支持力为F N ，则ma F mg N =-，
ma mg F N -=当s t 5.8=时，加速度最大，支持力就最小，根据牛顿第三定律，人对地板压力也最小。

2、【答案】A
【解析】三个小球被抛出后，均仅在重力作用下运动，三球从同一位置落至同一水平地面时，设其下落高度为h ，并设小球的质量为m ，根据动能定理有：mgh ＝22
1
mv －202
1mv ，解得小球的末速度大小为：v ＝gh v 220+，与小球的质量无关，即三球的末速度大小相等，故选项A 正确。

3、【答案】C
【解析】以两个小球组成的整体为研究对象，分析受力，作出F 在三个方向时整体的受力图，如图所示：
根据平衡条件得知F 与T 的合力与总重力2mg 大小相等、方向相反，由力的合成图可知，当F 与绳子Oa 垂直时，F 有最小值，即图中2位置，F 的最小值F min ＝2mg sin 30°＝mg ，故选C. 4、【答案】B
【解析】此题可定量分析计算，按常规做法是用动量守恒和机械能守恒列式求解得到结论(略)，但费时较多。

用极限思维方法求解如果M →∞，则物块滑上小车时，可认为小车不
动，则由机械能守恒得物块上升的最大高度为2
2v g
，这在四个选择项中讨论M →∞，得B
正确，故应选B 。

5、【答案】C
【解析】设圆弧半径为R ，当小球运动到半径与竖直方向夹角为θ时，速度为v ，
根据机械能守恒定律和牛顿第二定律有：
2
cos v N mg m R
θ-=
21cos 2
mgR mv θ=
解得小球对小车的压力为：N =3mg cos θ， 其水平分量为 θθθ2sin 2
3
cos sin 3mg mg N x =
= 根据平衡条件，地面对小车的静摩擦力水平向右， 大小为： θ2sin 2
3
mg N f x =
=， 当sin2θ = 1，即θ = 45º时，地面对小车的静摩擦力最大， 其值为：mg f 2
3
max =
． 6、【答案】A
【解析】如图所示，以水流速度矢量u 的箭头端为圆心，以船的划行速度v 的大小为半径 ，作一圆周，分析可知，船航行的可能方向都由O 指向圆上的点 ，在v u <的情况下 ，当船航行的方向恰好与圆相切（图中OP ）时，到达对岸向下游行驶的距离最小，此时船的划行速度v 垂直于船航行方向（OP ）。

当sin v u θ=
，即arcsin v
u
θ=时船到达对岸时向下游行驶的距离最小。

故A 正确。

7、【答案】B
【解析】与上题解法相同，如图所示，最小距离是OA ，
由几何关系sin v L u OA θ=
=，所以u OA L v
=. 故选项B 正确。

8、【答案】D
【解析】设经任意时间t 后，后车与前车不相撞，则后车与前车的距离0S ∆≥
22211211
()()022
S S v t v t at at v v t S ∆=+--=--+≥ 这个关于t 的一元二次不等式的二次项系数1
02
a >，且t 取任何值不等式都要成立，
由2
40b ac -≤
所以[]2
121
()402
v v a S ∆=---⨯⨯≤ 解得2121
()2a v v S
≥
-，故选项D 正确。

9、【答案】A
【解析】P 由a 向b 滑动到P 点，设a P 间电阻为x ，由电阻并联规律
123123123123()()()()()()()
AB R x R R x R x R R x R R x R R x R R R ++-++-==+++-++ 因两个整数1()R x +，12()R R x +-之和为定值，则当它们相等时，它们的乘积最大（定和
求积原理），
故当1()R x +12()R R x =+-，2311
()42
x R R R =
+-=Ω时， AB R 有最大值，即max ()3AB R =Ω
故选项A 正确。

10、【答案】B
【解析】设斜面AB 的倾角为θ，当雨水（理想化为小球）从斜面滑下时，其加速度为a ，根据牛顿第二定律sin a g θ=，从A 到B 的距离为2cos L
θ
，
设从A 到B 的时间为t ，则21
sin 2cos 2
L g t θθ=⋅
得
2
t =
=
当2θ=90°，sin 2θ有最大值为1 所以，当θ= 45°时，t
有最小值：min t = 故选项B 正确。

二、解答题 11、
【答案】
3
mg 【解析】受力图如图
由牛顿第二定律有：cos 0F f α-=
sin F N mg α+= 并且f N μ=
联立解得cos sin mg
F μθμθ
=
+
令1
tan μβ
=
则
11sin cos cos sin cos sin cos sin cos sin sin β
βθμθθββθ
θθβ==+++
sin sin 60
sin()sin(60)
βθβθ=
=+
+
所以sin 60
sin(60)
mg F μθ⋅=
+
当30θ=时，牵引力F 最小， 最小值为min 1
sin 602
F mg mg μ=⋅= 12、【答案】2.5米；5米。

【解析】设小物块从曲面顶部的高台飞出的瞬间的速度为v ， 由机械能守恒定律
22
01122
mv mv mgh =+ ① 小物块做平抛运动，212
h gt
s vt
⎧
=⎪⎨⎪=⎩ ② 将①②联立，
s ===当5
2.52
h m =
=时，最大飞行距离：max 5s m =．
13、【答案】0.8m
【解析】子弹与木块发生碰撞的过程，动量守恒，设共同速度为1v ， 则01()mv M m v =+ 所以01v M
m m
v +=
= 4m/s ；
设在轨道最高点平抛时物块的速度为2v ，由于轨道光滑，故机械能守恒
2
2
21)(2
1)(2)(21v M m gR M m v m M +++=+
所以2v =
R 4016-=
则平抛后2
122
R gt =
位移2x v t ==2
2)2.0(04.044.04--=+-R R R
当R= 0.2m 时，平抛的最大水平位移是max 0.8x m =．
14、【答案】2
14()
E R r +
【解析】设变阻器连入电路的为x R （0x R R <≤）， 由闭合电路欧姆定律有：x
R R r E
I ++=
1，
则x
x
x x R R R r ER IR U ++=
=1，
x R 的最大功率
[])
(4)()(1212212r R R r R R R E r R R R E IU P x x x
x x R R X
X +++-=
++==， 要使x R P 有最大值，就是要[]2
1()x R R r -+有最小值， 所以当1x R R r =+时，x R 的功率最大， 故x R 的最大功率为2
max
14()
Rx E P R r =
+. 本题用“等效内阻”的方法，就简单多了，把1R r +看作内阻，x R 就是外电阻，最大输出
功率的条件是x R =1R r +，最大功率为2max 14()
Rx E P R r =+. 15、【答案】12E BL ⋅，24E r
【解析】开关闭合后，电路中的电流r
BLv E I -=
， 金属棒受到的安培力为)(r
BLv E BL BIL F -==， 可见，F 与v 是线性关系，作出F v -图线如图， 安培力的功率2
()Ev BLv P Fv BL r
-== 安培力的功率最大就是直角三角形内接矩形面积最大。

（直角三角形内接矩形的性质：设两直角边边长分别为a 、b
当2a x =时，2b y =，内接矩形面积最大，最大面积为max 4
ab S =） 根据直角三角形内接矩形的性质， 当金属棒PQ 的速度12E v BL =
⋅ （即最大速度的一半） 安培力为12BLE F r
=⋅ （即最大值的一半） 安培力的功率最大值为r
E BL E r BLE P m 421212
=⋅⋅⋅=． 当然也可以利用二次函数极值公式求解本题。

16、【解析】小球在运动时将受重力mg ，圆锥面对球的弹力N ，及洛仑兹力f 的作用．设小 球作匀速圆周运动的轨道半径为R ，速率为v ，
正交分解得
2
c o s v q v B N m R
θ-= sin 0N mg θ-= 解得20tan v mg m qvB R θ
-+= 因为v 有实数解，由240b ac -≥，
即 2()40t a n m m g qB R θ
--⨯⨯≥ 得 2224tan m g R q B θ
≥ ∴小球作圆周运动的最小半径为2min
224tan m g R q B θ
= 17、【答案】见解析。

【解析】mn 金属杆从右端向左端匀速滑动切割磁感线产生感应电动势E Bdv =， mn 相当于电源，电源电动势不变，但外电阻在变化，
设金属杆运动的距离为x 时，设左边的电阻为R 1，右边的电阻为R 2，
外电阻由两部分并联组成，设a b 和cd 边的长度为L 0100
01022512R x L x R R R R L L -=+⨯=- 020104R x R R L
=+ 外电阻21201251624
x R R L R R R R ⎛⎫-- ⎪⎝⎭==+ 可知当25
x L =时，外电阻最大时，外电阻最大值max 04R R =，总电阻最大值5 R 0 总电阻最大时，电功率最小，拉力的功率等于电功率
最小功率为22min 00
()55E Bdv P R R ==. 根据极值定理求最大外电阻：
1R 与2R 并联，且12016R R R +=，当1208R R R ==时，外电阻最大， 外电阻最大值max 04R R =。

这样就避免了前面的繁琐运算。

18、【答案】M m E M
+ 【解析】设电子碰前的速度为1v ，碰后的速度为1
v '，静止的原子被碰后的速度为2v '． 由动量守恒定律有11
2mv mv Mv ''=+ ① 由能量守恒有
222112111222
mv mv Mv E ''=++ ② 由①式解出112()m v v v M '-'=代入② 可得：2
221111()111222m v v mv mv M E M '-⎡⎤'=++⎢⎥⎣⎦
整理可得：2221111()2()0M m mv m v v m M mv ME ''+-+-+= 因电子碰后的速度1
v '必为实数，所以此方程的判别式240b ac -≥ 即 4221144()()20m v M m m m M mv ME ⎡⎤---+≥⎣⎦ 根据上式整理可得：2112M m mv E M
+≥ 所以电子必须具有的最小的初动能是min k M m E E M +=
．。